Двойственная кривая

Взаимно двойственные кривые

Двойственная кривая (или дуальная кривая) к заданной кривой на проективной плоскости — это кривая на двойственной проективной плоскости, состоящая из касательных к заданной гладкой кривой. В этом случае кривые называются взаимно двойственными (дуальными). Понятие может быть обобщено для негладких кривых и на многомерное пространство.

Двойственные кривые являются геометрическим выражением преобразования Лежандра в гамильтоновой механике.

Двойственная проективная плоскость

Шаблон:Main Точки и прямые на проективной плоскости играют симметричные роли по отношению друг к другу: для любой проективной плоскости $P$ можно рассмотреть двойственную проективную плоскость $P^{*}$, в которой точками по определению являются прямые исходной плоскости $P$. В этом случае прямым плоскости $P^{*}$ будут соответствовать точки $P$, а отношение инцидентности будет то же самое с точностью до перестановки аргументов.

Определение

Пусть дана гладкая кривая $C$ на проективной плоскости $P$ . Рассмотрим множество всех её касательных $C^{*}$. Это множество можно рассмотреть как множество точек двойственной плоскости $P^{*}$. Оно будет образовывать кривую (не обязательно гладкую) в $P^{*}$, которая называется двойственной кривой к $C$.

Из-за симметрии между пространством и двойственным пространством, кривой, двойственной к кривой в $P^{*}$ (то есть к однопараметрическому семейству прямых в $P$), будет кривая в $P$. Эта кривая называется огибающей семейства прямых.

Файл:Dual.webm

Пример

Рассмотрим эллипс, заданный уравнением $(x/2{)}^2+(y/3{)}^2=1$ (см. рисунок). Касательными к нему будут прямые, заданные уравнениями $\alpha x+\beta y=1$, где $(2\alpha {)}^2+(3\beta {)}^2=1$. Таким образом, двойственная к этому эллипсу кривая задаётся уравнением $(2\alpha {)}^2+(3\beta {)}^2=1$ в координатах $\alpha$, $\beta$.

Свойства

Двойственные кривые обладают следующими свойствами:

• Кривая, двойственная к двойственной кривой, будет исходной кривой: $(C^{*}{)}^{*}=C$.
• Если исходная кривая — кривая второго порядка, то двойственная ей кривая тоже будет второго порядка.
• Каждой двойной касательной (то есть касательной к двум точкам) исходной кривой соответствует точка самопересечения двойственной кривой.
• Каждой точке перегиба исходной кривой соответствует точка возврата двойственной кривой.

Связь с преобразованиями Лежандра

Двойственные кривые применяются для описания преобразований Лежандра в гамильтоновой механике. А именно, преобразование Лежандра — это переход от кривой к двойственной кривой, записанный в аффинных координатах. Это связано со следующим свойством: график строго выпуклой функции двойственен графику преобразования Лежандра для этой функции.

Параметризация

Для параметрически заданной кривой двойственная кривая определяется уравнениями:

$X=\frac{y^{\prime }}{y{x}^{\prime }-x{y}^{\prime }}$

$Y=\frac{x^{\prime }}{x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }}$

Обобщения

Негладкие кривые

Понятие двойственности можно обобщить для ломаных и вообще для негладких кривых, если вместо касательных рассматривать опорные прямые. Прямая на плоскости называется опорной к кривой, если она содержит точку кривой, но при этом вся кривая лежит в одной полуплоскости от этой прямой. Для гладких кривых единственной опорной прямой, проходящей через данную точку кривой, является касательная к этой кривой. Таким образом, можно обобщить понятия двойственности для негладких кривых: двойственной кривой к произвольной кривой называется множество её опорных прямых.

Множество опорных прямых для ломаной также образует ломаную: опорные прямые, проходящие через вершины исходной ломаной, образуют отрезок двойственной плоскости. Эта ломаная называется двойственной ломаной. Её вершины получаются из отрезков исходной ломаной. В частности, двойственным к многоугольнику будет многоугольник, который называется Шаблон:Iw.

Двойственная гиперповерхность

Понятие двойственности можно обобщить и на проективное пространство произвольной размерности. Двойственным проективным пространством называется пространство, состоящее из гиперплоскостей исходного пространства.

Для заданной выпуклой гиперповерхности в проективном пространстве множество гиперплоскостей, опорных к этой гиперповерхности, называется двойственной гиперповерхностью.

Примеры

Пусть дана окружность, заданная в некоторой системе координат уравнением $x^2+y^2=1$. Касательной к окружности в точке $(a,b)$, где $a^2+b^2=1$, является прямая $ax+by=1$. Координатами этой прямой в двойственной системе координат будет пара $(a,b)$. Таким образом, двойственной кривой к окружности будет множество точек двойственной кривой с координатами $(a,b)$, где $a^2+b^2=1$, то есть опять окружность.

В более общем случае, если в пространстве ${ℝ}^n$ задана норма, то в сопряжённом пространстве ${{ℝ}^n}^{*}$ можно рассмотреть Шаблон:Iw. Каждой точке $p$ пространства ${{ℝ}^n}^{*}$ соответствует гиперплоскость, заданная уравнением $px=1$. Оказывается, что поверхность, сопряжённая единичной сфере в пространстве ${ℝ}^n$ (в смысле заданной нормы), является двойственной к единичной сфере в двойственном пространстве в смысле сопряжённой нормы.

Так, например, куб — это «сфера» в смысле равномерной нормы ($L^{\mathrm{\infty }}$). Норма, сопряжённая $L^{\mathrm{\infty }}$, является $L^1$-нормой. Следовательно, поверхностью, двойственной к кубу, будет «сфера» в $L^1$, то есть октаэдр.

Более того, двойственной поверхностью к многограннику будет двойственный многогранник.

См. также

• Огибающая

Примечания

Шаблон:Дифференциальные преобразования кривых Шаблон:Кривые