Дифференциальное уравнение Дарбу

Дифференциальное уравнение называется уравнением Дарбу, если оно имеет следующий вид

$M(x,y)dx-L(x,y)dy+N(x,y)(xdy-ydx)=0$,

где $M(x,y)$, $L(x,y)$ и $N(x,y)$ — многочлены переменных $x$ и $y$.

Нормальная (разрешённая относительно производной) форма этого уравнения такова:

$y^{\prime }(x)=\frac{yN(x,y)-M(x,y)}{xN(x,y)-L(x,y)}$,

которая также может иметь набор особых точек, которые удовлетворяют следующей системе

$\{\begin{array}{c}yL(x,y)-xM(x,y)=0\\ L=xN(x,y)\end{array}$

Решение уравнения

Общий случай.

Поскольку уравнение Дарбу является обобщением уравнения Риккати (например, если положить $N(x,y)=L(x,y)=1$, $M(x,y)=P_2(x)y^2+P_1(x)y+P_0(x)$), решение его, вообще говоря, не может быть выражено в квадратурах. Уравнение Дарбу может быть решено в тех случаях, когда найдено достаточное количество различных частных решений, которые являются несократимыми многочленами ${\check{P}}_i(x,y)$, $1⩽i⩽p$. Обозначим далее $m=\max (\mathrm{deg}M,\mathrm{deg}L,\mathrm{deg}N)$.

Случай 1.

Если $p⩾\frac{1}{2}m(m+1)+2$, общее решение необходимо искать в форме $u(x,y)=C$, где $u(x,y)=\prod _{i=1}^{p}g(x,y,z{)}^{{\alpha }_i}$, $g_i(x,y,z)={\check{P}}_i(\frac{x}{z},\frac{y}{z})z^{\mathrm{deg}{\check{P}}_i}$, ${\alpha }_i$ — числа, находимые методом неопределённых коэффициентов, а переменная $z$ в этом произведении сокращается.

Случай 2.

Если $p=\frac{1}{2}m(m+1)+1$, данное уравнение Дарбу допускает нахождение интегрирующего множителя, который имеет такую же форму, как и произведение $u(x,y)$, обозначенное выше.

Однородный случай.

Если многочлены $M(x,y)$, $L(x,y)$ и $N(x,y)$ исходного уравнения являются однородными и при этом $M(x,y)$ и $L(x,y)$ имеют одинаковые степени, решение может быть найдено в квадратурах и для этого существует чёткий алгоритм.

Обозначим $\mathrm{deg}M=\mathrm{deg}L=k$, $\mathrm{deg}N=n$. Если $k-n=1$, исходное уравнение является однородным по аргументу и решается таким же образом, как и указано далее.

Подстановка в уравнение $y(x)=xt(x)$ приводит к уравнению Бернулли относительно обратной функции $x=x(t)$.

Поскольку $M(x,y)$, $L(x,y)$ и $N(x,y)$ — однородные многочлены степеней $k$, $k$ и $n$ соответственно, существуют многочлены $\mu (t)$, $\lambda (t)$ и $\nu (t)$ такие, что

$M(x,y)=x^k\mu \left(\frac{y}{x}\right)=x^k\mu (t)$, $L(x,y)=x^k\lambda \left(\frac{y}{x}\right)=x^k\lambda (t)$, и $N(x,y)=x^n\nu \left(\frac{y}{x}\right)=x^n\nu (t)$.

Подставив всё в исходное уравнение, получим $x{t}^{\prime }(x)=\frac{x^{n+1}t\nu (t)-x^k\mu (t)}{x^{n+1}\nu (t)-x^k\nu (t)}-t=\frac{x^k(\lambda (t)-\mu (t))}{x^{n+1}\nu (t)-x^k\lambda (t)}=\frac{\lambda (t)-\mu (t)}{x^{n+1-k}\nu (t)-\lambda (t)}$.

Если $k-n=1$ полученное уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными. В противном случае по теореме о производной обратной функции

$x^{\prime }(t)+\frac{\lambda (t)}{\lambda (t)-\mu (t)}x(t)=\frac{\nu (t)}{\lambda (t)-\mu (t)}(x(t){)}^{n+2-k}$.

Полученное уравнение является уравнением Бернулли.

Обобщённое уравнение Дарбу

Уравнение, имеющее вид

$\varphi \left(\frac{y}{x}\right)dx+\psi \left(\frac{y}{x}\right)dy+x^k\chi \left(\frac{y}{x}\right)(xdy-ydx)=0$,

называется обобщённым (однородным) уравнением Дарбу, где функции $\varphi (\frac{y}{x})=\varphi (t)$, $\psi (\frac{y}{x})=\psi (t)$ и $\chi (\frac{y}{x})=\chi (t)$ — произвольные.

Данное уравнение также может быть сведено к уравнению Бернулли тем же методом, что и описан выше. Подстановка $y(x)=xt(x)$ приводит к уравнению

$(\varphi (t)+t\psi (t))dx+(x\psi (t)+x^{k+2}\chi (t))dt=0$,

или, в форме, разрешённой относительно производной,

$x^{\prime }(t)+\frac{\psi (t)}{\varphi (t)+t\psi (t)}x(t)+\frac{\chi (t)}{\varphi (t)+t\psi (t)}(x(t){)}^{k+2}=0$,

которое либо допускает разделение переменных при $k=-2$, либо во всех остальных случаях есть уравнение Бернулли относительно $x=x(t)$.

См. также

• Уравнение Бернулли
• Уравнение Риккати
• Уравнение Якоби