Дифференциальные операторы в различных системах координат

Здесь приведён список векторных дифференциальных операторов в различных системах координат.

Общее выражение

Общее выражение для оператора ∇, действующего на векторное поле A в произвольной системе ортогональных координат можно записать так:

$\mathrm{\nabla }\circ 𝐀=\sum _m{i}_m\circ \frac{\partial 𝐀}{\partial r_m}=i_1\circ \frac{\partial 𝐀}{\partial r_1}+i_2\circ \frac{\partial 𝐀}{\partial r_2}+i_3\circ \frac{\partial 𝐀}{\partial r_3}$,

где "$\circ$" - любой из трех значков, соответствующих действию оператора ∇:

• " " - градиент;
• " · " - дивергенция;
• " × " - ротор.

Элементы $\partial r_m$ в этой записи соответствуют элементам радиус-вектора в соответствующей системе координат:

$d𝐫=\sum _m{i}_m\partial r_m=i_1\partial r_1+i_2\partial r_2+i_3\partial r_3$

Иначе говоря, первым действием является взятие частной производной $\frac{\partial 𝐀}{\partial r_m}$ по проекции радиус-вектора от всего вектора $𝐀$ (с учетом производных орт в данной системе координат), и лишь потом умножение (простое для градиента, скалярное для дивергенции и векторное для ротора) орта направления на $\frac{\partial 𝐀}{\partial r_m}$.

При этом достаточно знать выражения:

• в цилиндрических координатах: $\frac{\partial i_{\rho }}{\partial \phi }=i_{\phi }$ и $\frac{\partial i_{\phi }}{\partial \phi }=-i_{\rho }$;
• в сферических координатах: $\frac{\partial i_r}{\partial \theta }=i_{\theta }$, $\frac{\partial i_{\theta }}{\partial \theta }=-i_r$, $\frac{\partial i_r}{\partial \phi }=i_{\phi }\sin \theta$, $\frac{\partial i_{\theta }}{\partial \phi }=i_{\phi }\cos \theta$ и $\frac{\partial i_{\phi }}{\partial \phi }=-i_r\sin \theta -i_{\theta }\cos \theta$.

Например: в приведенной ниже таблице запись дивергенции в цилиндрических координатах получена следующим образом:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀=i_{\rho }\cdot \frac{\partial }{\partial \rho }(i_{\rho }{A}_{\rho }+i_{\phi }{A}_{\phi }+i_z{A}_z)+\frac{1}{\rho }{i}_{\phi }\cdot \frac{\partial }{\partial \phi }(i_{\rho }{A}_{\rho }+i_{\phi }{A}_{\phi }+i_z{A}_z)+i_z\cdot \frac{\partial }{\partial z}(i_{\rho }{A}_{\rho }+i_{\phi }{A}_{\phi }+i_z{A}_z)=$

$=\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \rho }+(\frac{1}{\rho }{i}_{\phi }\cdot \frac{\partial i_{\rho }}{\partial \phi }{A}_{\rho })+\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }+\frac{\partial A_z}{\partial z}=(\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \rho }+\frac{A_{\rho }}{\rho })+\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }+\frac{\partial A_z}{\partial z}=$

$=\frac{1}{\rho }\frac{\partial (\rho A_{\rho })}{\partial \rho }+\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }+\frac{\partial A_z}{\partial z}$

Таблица операторов

Здесь используются стандартные физические обозначения. Для сферических координат, Шаблон:Math обозначает угол между осью Шаблон:Math и радиус-вектором точки, Шаблон:Math — угол между проекцией радиус-вектора на плоскость Шаблон:Math и осью Шаблон:Math.

Запись оператора Гамильтона в различных системах координат

Оператор	Прямоугольные координаты (Шаблон:Math)	Цилиндрические координаты (Шаблон:Math)	Сферические координаты (Шаблон:Math)	Параболические координаты (Шаблон:Math)
Формулы преобразования координат	$\begin{array}{ccc}\rho & =& \sqrt{x^2+y^2}\\ \phi & =& \mathrm{arctg}(y/x)\\ z& =& z\end{array}$	$\begin{array}{ccc}x& =& \rho \cos \phi \\ y& =& \rho \sin \phi \\ z& =& z\end{array}$	$\begin{array}{ccc}x& =& r\sin \theta \cos \phi \\ y& =& r\sin \theta \sin \phi \\ z& =& r\cos \theta \end{array}$	$\begin{array}{ccc}x& =& \sigma \tau \\ y& =& \frac{1}{2}({\tau }^2-{\sigma }^2)\\ z& =& z\end{array}$
	$\begin{array}{ccc}r& =& \sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ \theta & =& \arccos (z/r)\\ \phi & =& \mathrm{arctg}(y/x)\end{array}$	$\begin{array}{ccc}r& =& \sqrt{{\rho }^2+z^2}\\ \theta & =& \mathrm{arctg}(\rho /z)\\ \phi & =& \phi \end{array}$	$\begin{array}{ccc}\rho & =& r\sin \theta \\ \phi & =& \phi \\ z& =& r\cos \theta \end{array}$	$\begin{array}{ccc}\rho \cos \phi & =& \sigma \tau \\ \rho \sin \phi & =& \frac{1}{2}({\tau }^2-{\sigma }^2)\\ z& =& z\end{array}$
Радиус-вектор произвольной точки	$x\widehat{𝐱}+y\widehat{𝐲}+z\widehat{𝐳}$	$\rho \hat{\mathit{\rho }}+z\widehat{𝒛}$	$r\widehat{𝒓}$	$\frac{1}{2}\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}\sigma \hat{\mathit{\sigma }}+\frac{1}{2}\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}\tau \hat{\mathit{\tau }}+z\widehat{𝐳}$
Связь единичных векторов	$\begin{array}{ccc}\hat{\mathit{\rho }}& =& \frac{x}{\rho }\widehat{𝐱}+\frac{y}{\rho }\widehat{𝐲}\\ \hat{\mathit{\phi }}& =& -\frac{y}{\rho }\widehat{𝐱}+\frac{x}{\rho }\widehat{𝐲}\\ \widehat{𝐳}& =& \widehat{𝐳}\end{array}$	$\begin{array}{ccc}\widehat{𝐱}& =& \cos \phi \hat{\mathit{\rho }}-\sin \phi \hat{\mathit{\phi }}\\ \widehat{𝐲}& =& \sin \phi \hat{\mathit{\rho }}+\cos \phi \hat{\mathit{\phi }}\\ \widehat{𝐳}& =& \widehat{𝐳}\end{array}$	$\begin{array}{ccc}\widehat{𝐱}& =& \sin \theta \cos \phi \widehat{𝒓}+\cos \theta \cos \phi \hat{\mathit{\theta }}-\sin \phi \hat{\mathit{\phi }}\\ \widehat{𝐲}& =& \sin \theta \sin \phi \widehat{𝒓}+\cos \theta \sin \phi \hat{\mathit{\theta }}+\cos \phi \hat{\mathit{\phi }}\\ \widehat{𝐳}& =& \cos \theta \widehat{𝒓}-\sin \theta \hat{\mathit{\theta }}\end{array}$	$\begin{array}{ccc}\hat{\mathit{\sigma }}& =& \frac{\tau }{\sqrt{{\tau }^2+{\sigma }^2}}\widehat{𝐱}-\frac{\sigma }{\sqrt{{\tau }^2+{\sigma }^2}}\widehat{𝐲}\\ \hat{\mathit{\tau }}& =& \frac{\sigma }{\sqrt{{\tau }^2+{\sigma }^2}}\widehat{𝐱}+\frac{\tau }{\sqrt{{\tau }^2+{\sigma }^2}}\widehat{𝐲}\\ \widehat{𝐳}& =& \widehat{𝐳}\end{array}$
	$\begin{array}{ccc}\widehat{𝐫}& =& \frac{x\widehat{𝐱}+y\widehat{𝐲}+z\widehat{𝐳}}{r}\\ \hat{\mathit{\theta }}& =& \frac{xz\widehat{𝐱}+yz\widehat{𝐲}-{\rho }^2\widehat{𝐳}}{r\rho }\\ \hat{\mathit{\phi }}& =& \frac{-y\widehat{𝐱}+x\widehat{𝐲}}{\rho }\end{array}$	$\begin{array}{ccc}\widehat{𝐫}& =& \frac{\rho }{r}\hat{\mathit{\rho }}+\frac{z}{r}\widehat{𝐳}\\ \hat{\mathit{\theta }}& =& \frac{z}{r}\hat{\mathit{\rho }}-\frac{\rho }{r}\widehat{𝐳}\\ \hat{\mathit{\phi }}& =& \hat{\mathit{\phi }}\end{array}$	$\begin{array}{ccc}\hat{\mathit{\rho }}& =& \sin \theta \widehat{𝐫}+\cos \theta \hat{\mathit{\theta }}\\ \hat{\mathit{\phi }}& =& \hat{\mathit{\phi }}\\ \widehat{𝐳}& =& \cos \theta \widehat{𝐫}-\sin \theta \hat{\mathit{\theta }}\end{array}$	.
Векторное поле $𝐀$	$A_x\widehat{𝐱}+A_y\widehat{𝐲}+A_z\widehat{𝐳}$	$A_{\rho }\hat{\mathit{\rho }}+A_{\phi }\hat{\mathit{\phi }}+A_z\widehat{𝒛}$	$A_r\widehat{𝒓}+A_{\theta }\hat{\mathit{\theta }}+A_{\phi }\hat{\mathit{\phi }}$	$A_{\sigma }\hat{\mathit{\sigma }}+A_{\tau }\hat{\mathit{\tau }}+A_{\phi }\widehat{𝒛}$
Градиент $\mathrm{\nabla }f$	$\frac{\partial f}{\partial x}\widehat{𝐱}+\frac{\partial f}{\partial y}\widehat{𝐲}+\frac{\partial f}{\partial z}\widehat{𝐳}$	$\frac{\partial f}{\partial \rho }\hat{\mathit{\rho }}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial f}{\partial \phi }\hat{\mathit{\phi }}+\frac{\partial f}{\partial z}\widehat{𝒛}$	$\frac{\partial f}{\partial r}\widehat{𝒓}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta }\hat{\mathit{\theta }}+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial f}{\partial \phi }\hat{\mathit{\phi }}$	$\frac{1}{\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}}\frac{\partial f}{\partial \sigma }\hat{\mathit{\sigma }}+\frac{1}{\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}}\frac{\partial f}{\partial \tau }\hat{\mathit{\tau }}+\frac{\partial f}{\partial z}\widehat{𝒛}$
Дивергенция $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀$	$\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$	$\frac{1}{\rho }\frac{\partial \left(\rho A_{\rho }\right)}{\partial \rho }+\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }+\frac{\partial A_z}{\partial z}$	$\frac{1}{r^2}\frac{\partial \left(r^2{A}_r\right)}{\partial r}+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(A_{\theta }\sin \theta )+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }$	$\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}\frac{\partial A_{\sigma }}{\partial \sigma }+\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}\frac{\partial A_{\tau }}{\partial \tau }+\frac{\partial A_z}{\partial z}$
Ротор $\mathrm{\nabla }\times 𝐀$	$\begin{array}{cc}(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z})\widehat{𝐱}& +\\ (\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x})\widehat{𝐲}& +\\ (\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})\widehat{𝐳}& \end{array}$	$\begin{array}{cc}(\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_z}{\partial \phi }-\frac{\partial A_{\phi }}{\partial z})\hat{\mathit{\rho }}& +\\ (\frac{\partial A_{\rho }}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial \rho })\hat{\mathit{\phi }}& +\\ \frac{1}{\rho }(\frac{\partial (\rho A_{\phi })}{\partial \rho }-\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \phi })\widehat{𝒛}& \end{array}$	$\begin{array}{cc}\frac{1}{r\sin \theta }(\frac{\partial }{\partial \theta }(A_{\phi }\sin \theta )-\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \phi })\widehat{𝒓}& +\\ \frac{1}{r}(\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial A_r}{\partial \phi }-\frac{\partial }{\partial r}\left(r{A}_{\phi }\right))\hat{\mathit{\theta }}& +\\ \frac{1}{r}(\frac{\partial }{\partial r}\left(r{A}_{\theta }\right)-\frac{\partial A_r}{\partial \theta })\hat{\mathit{\phi }}& \end{array}$	$\begin{array}{cc}(\frac{1}{\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}}\frac{\partial A_z}{\partial \tau }-\frac{\partial A_{\tau }}{\partial z})\hat{\mathit{\sigma }}& -\\ (\frac{1}{\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}}\frac{\partial A_z}{\partial \sigma }-\frac{\partial A_{\sigma }}{\partial z})\hat{\mathit{\tau }}& +\\ \frac{1}{\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}}(\frac{\partial \left(s{A}_{\phi }\right)}{\partial s}-\frac{\partial A_s}{\partial \phi })\widehat{𝒛}& \end{array}$
Оператор Лапласа $\mathrm{\Delta }f={\mathrm{\nabla }}^{2}f$	$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}$	$\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}$	$\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}$	$\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\sigma }^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\tau }^2})+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}$
Векторный оператор Лапласа $\mathrm{\Delta }𝐀$	$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }{A}_x\widehat{𝐱}+\mathrm{\Delta }{A}_y\widehat{𝐲}+\mathrm{\Delta }{A}_z\widehat{𝐳}=\\ (\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial z^2})\widehat{𝐱}+\\ (\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial z^2})\widehat{𝐲}+\\ (\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial z^2})\widehat{𝐳}\end{array}$	$\begin{array}{cc}(\mathrm{\Delta }{A}_{\rho }-\frac{A_{\rho }}{{\rho }^2}-\frac{2}{{\rho }^2}\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi })\hat{\mathit{\rho }}& +\\ (\mathrm{\Delta }{A}_{\phi }-\frac{A_{\phi }}{{\rho }^2}+\frac{2}{{\rho }^2}\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \phi })\hat{\mathit{\phi }}& +\\ \left(\mathrm{\Delta }{A}_z\right)\widehat{𝒛}& \end{array}$	$\begin{array}{cc}(\mathrm{\Delta }{A}_r-\frac{2A_r}{r^2}-\frac{2}{r^2\sin \theta }\frac{\partial (A_{\theta }\sin \theta )}{\partial \theta }-\frac{2}{r^2\sin \theta }\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi })\widehat{𝒓}& +\\ (\mathrm{\Delta }{A}_{\theta }-\frac{A_{\theta }}{r^2{\sin }^2\theta }+\frac{2}{r^2}\frac{\partial A_r}{\partial \theta }-\frac{2\cos \theta }{r^2{\sin }^2\theta }\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi })\hat{\mathit{\theta }}& +\\ (\mathrm{\Delta }{A}_{\phi }-\frac{A_{\phi }}{r^2{\sin }^2\theta }+\frac{2}{r^2\sin \theta }\frac{\partial A_r}{\partial \phi }+\frac{2\cos \theta }{r^2{\sin }^2\theta }\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \phi })\hat{\mathit{\phi }}& \end{array}$	?
Элемент длины	$d𝐥=dx\widehat{𝐱}+dy\widehat{𝐲}+dz\widehat{𝐳}$	$d𝐥=d\rho \hat{\mathit{\rho }}+\rho d\phi \hat{\mathit{\phi }}+dz\widehat{𝒛}$	$d𝐥=dr\widehat{𝐫}+rd\theta \hat{\mathit{\theta }}+r\sin \theta d\phi \hat{\mathit{\phi }}$	$d𝐥=\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}d\sigma \hat{\mathit{\sigma }}+\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}d\tau \hat{\mathit{\tau }}+dz\widehat{𝒛}$
Элемент ориентированной площади	$\begin{array}{cc}d𝐒=& dydz\widehat{𝐱}+\\ & dxdz\widehat{𝐲}+\\ & dxdy\widehat{𝐳}\end{array}$	$\begin{array}{cc}d𝐒=& \rho d\phi dz\hat{\mathit{\rho }}+\\ & d\rho dz\hat{\mathit{\phi }}+\\ & \rho d\rho d\phi \widehat{𝐳}\end{array}$	$\begin{array}{cc}d𝐒=& r^2\sin \theta d\theta d\phi \widehat{𝐫}+\\ & r\sin \theta drd\phi \hat{\mathit{\theta }}+\\ & rdrd\theta \hat{\mathit{\phi }}\end{array}$	$\begin{array}{cc}d𝐒=& \sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}d\tau dz\hat{\mathit{\sigma }}+\\ & \sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}d\sigma dz\hat{\mathit{\tau }}+\\ & {\sigma }^2+{\tau }^{2}d\sigma d\tau \widehat{𝐳}\end{array}$
Элемент объёма	$dV=dxdydz$	$dV=\rho d\rho d\phi dz$	$dV=r^2\sin \theta drd\theta d\phi$	$dV=({\sigma }^2+{\tau }^2)d\sigma d\tau dz$

Некоторые свойства

Выражения для операторов второго порядка:

1. $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}f=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }f)={\mathrm{\nabla }}^{2}f=\mathrm{\Delta }f$ (Оператор Лапласа)
2. $\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}f=\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }f)=0$
3. $\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝐀=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)$
4. $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}𝐀=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=0$
5. $\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}𝐀=\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)-\mathrm{\Delta }𝐀$ (используя формулу Лагранжа для двойного векторного произведения)
6. $\mathrm{\Delta }(fg)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(fg)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(f\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}g+g\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}f)=f\mathrm{\Delta }g+2\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}f\cdot \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}g+g\mathrm{\Delta }f$

См. также

• Оператор Д’Аламбера
• Ортогональные координаты
• Криволинейные координаты
• Метод координат
• Шаблон:Не переведено