Конус (топология)

Конус окружности. Исходное пространство выделено голубым цветом, стянутая конечная точка выделена зелёным цветом.

Конус в топологии — топологическое пространство, получающееся из исходного пространства $X$ стягиванием подпространства $X\times \{0\}$ его цилиндра ($X\times [0,1]$) в одну точку, то есть, факторпространство $(X\times [0,1])/(X\times \{0\})$. Конус над пространством $X$ обозначается $\mathrm{C}X$.

Если $X$ — компактное подмножество евклидова пространства, то конус над $X$ гомеоморфен объединению отрезков из $X$ в выделенную точку пространства, то есть, определение топологического конуса согласуется с определением конуса геометрического. Однако топологический конус является более общей конструкцией.

Примеры

Конус над точкой $p$ вещественной прямой — это интервал $\{p\}\times [0,1]$, конус над интервалом вещественной прямой — заполненный треугольник (2-симплекс), конус над многоугольником $P$ — это пирамида с основанием $P$. Конус над кругом — это классический конус (с внутренностью); конус над окружностью — боковая поверхность классического конуса:

$\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid x^2+y^2=z^2\wedge 0⩽z⩽1\}$,

гомеоморфная кругу.

В общем случае конус над гиперсферой гомеоморфен замкнутому $(n+1)$-мерному шару. Конус над $n$-симплексом — $(n+1)$-симплекс.

Свойства

Конус $\mathrm{C}X$ может быть сконструирован как цилиндр постоянного отображения $X\to \{0\}$ Шаблон:Sfn.

Все конусы являются линейно связными, поскольку любую точку можно соединить с вершиной. Более того, любой конус является стягиваемым к вершине с помощью гомотопии, задаваемой формулой $h_t(x,s)=(x,(1-t)s)$.

Если $X$ является компактным и хаусдорфовым, то конус $\mathrm{C}X$ можно представить как пространство отрезков, соединяющих каждую точку $X$ с единственной точкой; если $X$ не является компактным или хаусдорфовым, то это не так, поскольку в общем случае топология на факторпространстве $\mathrm{C}X$ будет тоньше, чем множество отрезков, соединяющих $X$ с точкой.

В алгебраической топологии конусы широко применяются благодаря тому, что представляют пространства как вложения в стягиваемое пространство; в этой связи также важен следующий результат: пространство $X$ стягиваемо тогда и только тогда, когда оно является ретрактом своего конуса.

Конический функтор

Отображение $X\mapsto \mathrm{C}X$ порождает конический функтор — эндофунктор $\mathrm{C}:𝐓𝐨𝐩\to 𝐓𝐨𝐩$ над категорией топологических пространств $𝐓𝐨𝐩$.

Приведённый конус

Приведённый конус — конструкция над Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn $(X,x_0)$:

$\mathrm{C}(X,x_0)=(X\times [0,1])/((X\times \left\{0\right\})\cup (\left\{x_0\right\}\times [0,1]))$.

Естественное вложение $x\mapsto (x,1)$ позволяет рассмотреть всякое пунктированное пространство как замкнутое подмножество своего приведённого конусаШаблон:Sfn.

См. также

• Надстройка (топология)
• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5
• Джойн (топология)

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга