Нильпотентный элемент

Нильпотентный элемент — элемент кольца, некоторая степень которого обращается в ноль.

Рассмотрение нильпотентных элементов часто оказывается полезным в алгебраической геометрии, так как они позволяют получить чисто алгебраические аналоги ряда понятий, типичных для анализа и дифференциальной геометрии (бесконечно малые деформации и т. п.).

Термин ввёл Бенджамин Пирс в работе по классификации алгебрШаблон:Sfn.

Определение

Элемент x кольца R называется нильпотентным, если существует положительное целое число n, такое, что $x^n=0$Шаблон:Sfn.

Минимальное значение $n$, для которого справедливо это равенство, называется индексом нильпотентности элемента $a$.

Примеры

• Это определение может быть применено, в частности, к квадратным матрицам. Матрица

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

нильпотентна, поскольку $A^3=0$. Подробнее в статье Нильпотентная матрица.

• В факторкольце Z/9Z класс эквивалентности числа 3 нильпотентен, поскольку 3² сравнимо с 0 по модулю 9.
• Предположим, что два элемента a и b в кольце R удовлетворяют условию $ab=0$. Тогда элемент $c=ba$ нильпотентен, поскольку $c^2=(ba{)}^2=b(ab)a=0$. Пример для матриц (в качестве a и b):

$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right).$

Здесь $AB=0,BA=B$.

• Кольцо Шаблон:Не переведено 5 содержит конус нильпотентных элементов.

• По определению любой элемент Шаблон:Не переведено 5 нильпотентен.

Свойства

• Никакой нильпотентный элемент не может быть обратимым (за исключением тривиального кольца {0}, который имеет единственный элемент Шаблон:Nowrap). Все ненулевые нильпотентные элементы являются делителями нуля.

• Матрица A размером n-на-n с элементами из поля нильпотентна тогда и только тогда, когда её характеристический многочлен равен $t^n$.

• Если элемент x нильпотентен, то $1-x$ является обратимым элементом, поскольку из $x^n=0$ следует:

  $(1-x)(1+x+x^2+\cdots +x^{n-1})=1-x^n=1.$

• Более общо, сумма обратимого элемента и нильпотентного элемента является обратимым элементом, если они коммутируют.

Коммутативные кольца

Нильпотентные элементы коммутативного кольца $R$ образуют идеал $𝔑$, что является следствием бинома Ньютона. Этот идеал является нильрадикалом кольца. Любой нильпотентный элемент $x$ в коммутативном кольце содержится в любом простом идеале $𝔭$ этого кольца, поскольку $x^n=0\in 𝔭$. Таким образом, $𝔑$ содержится в пересечении всех простых идеалов.

Если элемент $x$ не нильпотентен, мы можем локализовать с учётом степеней $x$: $S=\{1,x,x^2,...\}$, чтобы получить ненулевое кольцо $S^{-1}R$. Простые идеалы локализованного кольца соответствуют в точности этим простым идеалам $𝔭$ кольца $R$ с $𝔭\cap S=\mathrm{\varnothing }$Шаблон:Sfn. Так как любое ненулевое коммутативное кольцо имеет максимальный идеал, который является простым, любой ненильпотентный элемент $x$ не содержится в некотором простом идеале. Тогда $𝔑$ является в точности пересечением всех простых идеаловШаблон:Sfn.

Характеристика, подобная Радикалу Джекобсона и аннигиляции простых модулей, доступна для нильрадикала — нильпотентные элементы кольца R это в точности те, которые аннигилируют все области целостности внутрь кольца R. Это следует из факта, что нильрадикал является пересечением всех простых идеалов.

Нильпотентные элементы Алгебры Ли

Пусть $𝔤$ — Алгебра Ли. Тогда элемент $𝔤$ называется нильпотентным, если он в $[𝔤,𝔤]$ и $\mathrm{ad}x$ является нильпотентным преобразованием. См. также Шаблон:Не переведено 5.

Нильпотентность в физике

Операнд Q, удовлетворяющий условию $Q^2=0$ нильпотентен. Шаблон:Не переведено 5, которые допускают представление фермионных полей через интегралы по траекториям, являются нильпотентными, поскольку их квадрат обращается в нуль. БРСТ заряд является важным примером в физике.

Линейные операторы образуют ассоциативную алгебру, а тогда и кольцо, это специальный случай первоначального определенияШаблон:SfnШаблон:Sfn. Более обще, принимая во внимание определения выше, оператор Q нильпотентен, если существует $n\in \mathbb{N}$, такой, что $Q^n=0$ (нулевая функция). Тогда линейное отображение нильпотентно тогда и только тогда, когда оно имеет нильпотентную матрицу в некотором базисе. Другим примером служит внешняя производная (снова с $n=2$). Оба примера связаны через суперсимметрию и теорию МорсаШаблон:Sfn как показал Эдвард Виттен в признанной статьеШаблон:Sfn.

Электромагнитное поле плоской волны без источников нильпотентно, если выражено в терминах Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn. Более обще, техника микроаддитивности, использует нильпотентные инфинитезимали и является частью гладкого инфинитезимального анализа.

Алгебраические нильпотенты

Двухмерные дуальные числа содержат нильпотентное пространство. Другие алгебры и числа, которые содержат нильпотентные пространства, включают Шаблон:Не переведено 5 (кокватернионы), Шаблон:Не переведено 5, бикватернионы $ℂ\otimes ℍ$ и комплексные октанионы $ℂ\otimes 𝕆$.

См. также

• Идемпотентный элемент
• Унипотентный элемент
• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5

Литература

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
  • Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга