Первая группа когомологий

Первая группа когомологий топологического пространства — абелева группа, состоящая из аддитивных целозначных функций на первой группе гомологий этого пространства. Она является простейшим вариантом Шаблон:Нп5 — одного из центральных понятий теории гомологий и алгебраической топологии.

Определение

Первой группой когомологийШаблон:Sfn топологического пространства $X$ называется группа гомоморфизмов

$H^1(X):=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(H_1(X),\mathbb{Z})$,

где $H_1(X)$ — его первая группа гомологий.

Свойства

Первая группа когомологий компактного пространства является конечно порождённой. Она тривиальна тогда и только тогда, когда первая группа гомологий этого пространства конечна.

Первые группы когомологий гомеоморфных или гомотопически эквивалентных пространств изоморфны.

Функториальность

Сопоставление $X\to H^1(X)$ продолжается до функтора из категории топологических пространств в категорию абелевых групп, причем контравариантного. А именно, каждому непрерывному отображению $f:X\to Y$ сопоставляется гомоморфизм $f^{\ast }:H^1(Y)\to H^1(X)$, где образ $f^{\ast }(\phi ):H_1(X)\to \mathbb{Z}$ гомоморфизма $\phi :H_1(Y)\to \mathbb{Z}$ определяется правилом

$[a]\mapsto \phi ([f(a)])$,

где символ $[a]$ обозначает гомологический класс одномерного цикла $a$.

Иными словами, данный функтор является композицией $X\mapsto H_1(X)\mapsto H^1(X)$ ковариантного функтора первой группы гомологий и контравариантного hom-функтора, представленного группой $\mathbb{Z}$.

Если два отображения $f,g:X\to Y$ гомотопны, то они индуцируют одинаковые гомоморфизмы первых групп когомологий: $f^{\ast }=g^{\ast }$. В связи с этим сопоставление $X\to H^1(X)$ продолжается до контравариантного функтора из Шаблон:Нп5 в категорию абелевых групп.

Связь с фундаментальной группой

Если $X$ линейно связно, его первая группа гомологий изоморфна абелианизации его фундаментальной группы. В этом случае, согласно универсальному свойству абелианизации, имеется изоморфизм групп гомоморфизмов:

$H^1(X)\cong \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}({\pi }_1(X),\mathbb{Z})$.

Связь с отображениями в окружность

Каждое непрерывное отображение $f:X\to S^1$ индуцирует гомоморфизм фундаментальных групп:

$f_{\ast }:{\pi }_1(X)\to {\pi }_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$.

Следовательно, если пространство $X$ линейно связно, оно определяет элемент первой группы когомологий: $f_{\ast }\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}({\pi }_1(X),\mathbb{Z})\cong H^1(X)$. Поскольку гомотопные отображения индуцируют одинаковые гомоморфизмы, данная конструкция задаёт функцию

$[X,S^1]\to H^1(X)$

из множества гомотопических классов отображений $X\to S^1$ в первую группу когомологий пространства $X$. Она биективна, поскольку для окружности, как и для любого пространства Эйленберга-Маклейна, подобная конструкция осуществляет взаимно-однозначное соответствиеШаблон:Sfn между гомотопическими классами отображений $X\to K(G,1)$ и гомоморфизмами ${\pi }_1(X)\to G$.

Имеется следующее описание прообраза сложения из первой группы когомологий $H^1(X)$ в множестве $[X,S^1]$ гомотопических классов. Для $f,g:X\to S^1$ определим отображение $f\ast g:X\to S^1$ правилом

$x\mapsto f(x)\times g(x)$,

где $\times$ — стандартная групповая операция на окружности. Тогда $(f\ast g{)}_{\ast }=f_{\ast }+g_{\ast }$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга