Пересечение (евклидова геометрия)

Пересечение в евклидовой геометрии — точка или кривая, общие для двух или более объектов (таких как кривые, плоскости и поверхности). Простейший случай — пересечение двух различных прямых на плоскости, которое либо является одной точкой, либо не существует, если прямые параллельные.

Красная точка представляет собой точку пересечения двух линий

Задача нахождения пересечения плоскостей — двумерных линейных геометрических объектов, встроенных в многомерное пространство — сводится к решению системы линейных уравнений.

В общем случае, пересечение определяется системой нелинейных уравнений, которая может быть решена численно, например, с использованием метода Ньютона. Задачи о пересечении прямой и конического сечения (круг, эллипс, парабола и т. д. ) или квадрики (сфера, цилиндр, гиперболоид и т. д. ) приводят к квадратным уравнениям, которые легко решаются. Пересечения между квадриками приводят к уравнениям четвёртой степени, которые можно решить алгебраически.

На плоскости

Шаблон:Подробно

Две линии

Шаблон:Main Для определения точки пересечения двух непараллельных прямых:

a_{1} x + b_{1} y = c_{1}, a_{2} x + b_{2} y = c_{2}

можно использовать, например, правило Крамера, или подставляя переменную, координаты точки пересечения $(x_{s}, y_{s})$ :

x_{s} = \frac{c_{1} b_{2} - c_{2} b_{1}}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}}, y_{s} = \frac{a_{1} c_{2} - a_{2} c_{1}}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}}

.

(Если $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ , то эти линии параллельны, а это значит, что эти формулы нельзя использовать, так как они предполагают деление на 0.)

Два отрезка

Шаблон:See also

Для двух непараллельных линейных отрезков $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ и $(x_{3}, y_{3}), (x_{4}, y_{4})$ эта точка не обязательно является точкой пересечения (см. диаграмму), потому что точка пересечения $(x_{0}, y_{0})$ соответствующих линий не обязательно должна содержаться в линейных отрезках. Для проверки ситуации используются параметрические представления линий:

(x (s), y (s)) = (x_{1} + s (x_{2} - x_{1}), y_{1} + s (y_{2} - y_{1})),

(x (t), y (t)) = (x_{3} + t (x_{4} - x_{3}), y_{3} + t (y_{4} - y_{3})) .

Отрезки пересекаются только в общей точке $(x_{0}, y_{0})$ соответствующих линий, если соответствующие параметры $s_{0}, t_{0}$ удовлетворяют условию $0 \leq s_{0}, t_{0} \leq 1$ . Параметры $s_{0}, t_{0}$ являются решением линейной системы

s (x_{2} - x_{1}) - t (x_{4} - x_{3}) = x_{3} - x_{1},

s (y_{2} - y_{1}) - t (y_{4} - y_{3}) = y_{3} - y_{1} .

Его можно решить для s и t с помощью правила Крамера (см. выше). Если выполняется условие $0 \leq s_{0}, t_{0} \leq 1$ , то вставляется $s_{0}$ или $t_{0}$ в соответствующее параметрическое представление и получается точка пересечения $(x_{0}, y_{0})$ .

Пример: Для отрезков $(1, 1), (3, 2)$ и $(1, 4), (2, - 1)$ получается линейная система

2 s - t = 0

s + 5 t = 3

и $s_{0} = \frac{3}{11}, t_{0} = \frac{6}{11}$ . Это означает: линии пересекаются в точке $(\frac{17}{11}, \frac{14}{11})$ .

Примечание: Рассматривая прямые, а не отрезки, определяемые парами точек, каждое условие $0 \leq s_{0}, t_{0} \leq 1$ может быть опущено, и метод даёт точку пересечения линий (см. выше).

Линия и круг

Для пересечения отрезка $a x + b y = c$ и окружности $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ решают линейное уравнение для Шаблон:Mvar или Шаблон:Mvar и подставляют в уравнение окружности и получают решение (используя формулу квадратного уравнения) $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ с:

x_{1 / 2} = \frac{a c \pm b \sqrt{r^{2} (a^{2} + b^{2}) - c^{2}}}{a^{2} + b^{2}}

,

y_{1 / 2} = \frac{b c \mp a \sqrt{r^{2} (a^{2} + b^{2}) - c^{2}}}{a^{2} + b^{2}}

,

если $r^{2} (a^{2} + b^{2}) - c^{2} \geq 0$ . Если это условие выполняется со строгим неравенством, то существуют две точки пересечения; в этом случае прямая называется секущей линией окружности, а отрезок прямой, соединяющий точки пересечения, называется хордой окружности.

Если выполняется $r^{2} (a^{2} + b^{2}) - c^{2} = 0$ , то существует только одна точка пересечения и прямая касается окружности. Если слабое неравенство не выполняется, линия не пересекает окружность.

Если середина круга не является началом координатШаблон:Sfn, можно рассматривать пересечение прямой и параболы или гиперболы.

Две окружности

Определение точек пересечения двух окружностей:

(x - x_{1})^{2} + (y - y_{1})^{2} = r_{1}^{2}, (x - x_{2})^{2} + (y - y_{2})^{2} = r_{2}^{2}

сводится к предыдущему случаю пересечения прямой и окружности. Путём вычитания двух данных уравнений получается линейное уравнение:

2 (x_{2} - x_{1}) x + 2 (y_{2} - y_{1}) y = r_{1}^{2} - x_{1}^{2} - y_{1}^{2} - r_{2}^{2} + x_{2}^{2} + y_{2}^{2} .

Эта особая линия является радикальной осью двух окружностей.

Пересечение двух окружностей с центрами на оси абсцисс, их радикальная ось тёмно-красного цвета.

Особый случай $x_{1} = y_{1} = y_{2} = 0$ ; в этом случае начало координат — это центр первого круга, а второй центр лежит на оси абсцисс (см. диаграммуШаблон:Уточнить). Уравнение радикальной прямой упрощается до: $2 x_{2} x = r_{1}^{2} - r_{2}^{2} + x_{2}^{2}$ а точки пересечения можно записать как $(x_{0}, \pm y_{0})$ с

x_{0} = \frac{r_{1}^{2} - r_{2}^{2} + x_{2}^{2}}{2 x_{2}}, y_{0} = \sqrt{r_{1}^{2} - x_{0}^{2}} .

В случае $r_{1}^{2} < x_{0}^{2}$ окружности не имеют общих точек.
В случае $r_{1}^{2} = x_{0}^{2}$ окружности имеют одну общую точку, а радикальная ось является общей касательной.

Любой общий случай, как написано выше, можно превратить сдвигом и поворотом в частный случай.

Пересечение двух кругов (внутренности двух окружностей) образует форму, называемую Шаблон:Нп5.

Два конических сечения

Задача пересечения эллипса, гиперболы, параболы с другим коническим сечением сводится к системе квадратных уравнений, которую в частных случаях легко решить, исключив одну координату. Специальные свойства конических сечений могут быть использованы для получения решения. В общем, точки пересечения могут быть определены путём решения уравнения с помощью итерации Ньютона. Если а) обе коники заданы неявно (посредством уравнения), необходима двумерная итерация Ньютона; б) одна неявно, а другая параметрически — необходимо, чтобы была задана 1-мерная итерация Ньютона.

Две плавные кривые

Трансверсальное пересечение двух кривых.

Касание пересечения (слева), касание (справа).

Две кривые в $ℝ^{2}$ (двумерном пространстве), которые непрерывно дифференцируемы (то есть нет резкого изгиба), имеют точку пересечения, если они имеют общую точку плоскости и имеют в этой точке

a: разные касательные (трансверсальное пересечение) или

b: касательная линия общая, и они пересекают друг друга (касание пересечения, см. диаграмму).

Если обе кривые имеют общую точку Шаблон:Mvar и касательную, но не пересекают друг друга, они просто «касаются» в точке Шаблон:Mvar.

Поскольку касания пересечений возникают редко и с ними трудно справиться, следующие соображения не учитывают этот случай. В любом случае ниже предполагаются все необходимые дифференциальные условия. Определение точек пересечения всегда приводит к одному или двум нелинейным уравнениям, которые можно решить с помощью итерации Ньютона. Список возникающих случаев следующий:

Пересечение параметрической и неявной кривых.

Если заданы обе кривые явно: $y = f_{1} (x), y = f_{2} (x)$ , приравнивание их даёт уравнение

f_{1} (x) = f_{2} (x) .

Если заданы обе кривые параметрически: $C_{1} : (x_{1} (t), y_{1} (t)), C_{2} : (x_{2} (s), y_{2} (s)) .$

Приравнивая их, получаем два уравнения с двумя переменными:

x_{1} (t) = x_{2} (s), y_{1} (t) = y_{2} (s) .

Если заданы одна кривая параметрически, а другая неявно: $C_{1} : (x_{1} (t), y_{1} (t)), C_{2} : f (x, y) = 0 .$

Это простейший случай помимо явного. Нужно вставить параметрическое представление

C_{1}

в уравнение

f (x, y) = 0

кривой

C_{2}

, и получится уравнение:

f (x_{1} (t), y_{2} (t)) = 0 .

Если заданы обе кривые неявно: $C_{1} : f_{1} (x, y) = 0, C_{2} : f_{2} (x, y) = 0 .$

Здесь точка пересечения — это решение системы

f_{1} (x, y) = 0, f_{2} (x, y) = 0 .

Любая итерация Ньютона требует удобных начальных значений, которые можно получить, визуализировав обе кривые. Параметрически или явно заданная кривая может быть легко визуализирована, потому что для любого параметра Шаблон:Mvar или Шаблон:Mvar соответственно легко вычислить соответствующую точку. Для неявно заданных кривых эта задача не так проста. В этом случае необходимо определить точку кривой с помощью начальных значений и итерацииШаблон:Sfn.

Примеры:

1:

C_{1} : (t, t^{3})

и окружность

C_{2} : (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} - 10 = 0

(см диаграмму).

Итерация Ньютона

t_{n + 1} : = t_{n} - \frac{f (t_{n})}{f^{'} (t_{n})}

для функции

f (t) = (t - 1)^{2} + (t^{3} - 1)^{2} - 10

должна быть выполнена. В качестве начальных значений можно выбрать −1 и 1.5.

Точки пересечения: (−1.1073, −1.3578), (1.6011, 4.1046)

2:

C_{1} : f_{1} (x, y) = x^{4} + y^{4} - 1 = 0,

C_{2} : f_{2} (x, y) = (x - 0.5)^{2} + (y - 0.5)^{2} - 1 = 0

(см диаграмму).

Итерация Ньютона

(\binom{x_{n + 1}}{y_{n + 1}}) = (\binom{x_{n} + δ_{x}}{y_{n} + δ_{y}})

должна быть выполнена, где

(\binom{δ_{x}}{δ_{y}})

является решением линейной системы

(\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x} & \frac{\partial f_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial f_{2}}{\partial x} & \frac{\partial f_{2}}{\partial y} \end{matrix}) (\binom{δ_{x}}{δ_{y}}) = (\binom{- f_{1}}{- f_{2}})

в точке

(x_{n}, y_{n})

. В качестве начальных значений можно выбрать (−0.5, 1) и (1, −0.5).

Линейная система может быть решена по правилу Крамера.

Точками пересечения являются (−0.3686, 0.9953) и (0.9953, −0.3686).

Два многоугольника

Пересечение двух многоугольников: метод окон.

Если кто-то хочет определить точки пересечения двух многоугольников, можно проверить пересечение любой пары линейных сегментов многоугольников (см. выше). Для многоугольников с большим количеством сегментов этот метод довольно трудоёмок. На практике алгоритм пересечения ускоряется с помощью оконных тестов. В этом случае можно разделить многоугольники на маленькие подполигоны и определить наименьшее окно (прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат) для любого подполигона. Перед началом трудоёмкого определения точки пересечения двух отрезков линии любая пара окон проверяется на наличие общих точекШаблон:Sfn

В пространстве (три измерения)

Шаблон:Further В трёхмерном пространстве есть точки пересечения (общие точки) между кривыми и поверхностями. В следующих разделах мы рассматриваем только трансверсальное пересечение.

Линия и плоскость

Шаблон:Main

Пересечение прямой и плоскости в общем положении в трёх измерениях является точкой.

Обычно линия в пространстве представляется параметрически $(x (t), y (t), z (t))$ , а плоскость — уравнением $a x + b y + c z = d$ . Вставка представления параметра в уравнение даёт линейное уравнение

a x (t) + b y (t) + c z (t) = d,

для параметра $t_{0}$ точки пересечения $(x (t_{0}), y (t_{0}), z (t_{0}))$ .

Если линейное уравнение не имеет решения, либо прямая лежит на плоскости, либо параллельна ей.

Шаблон:Hider hiding

Три плоскости

Если линия определяется двумя пересекающимися плоскостями $ε_{i} : {\vec{n}}_{i} \cdot \vec{x} = d_{i}, i = 1, 2$ и должна пересекаться третьей плоскостью $ε_{3} : {\vec{n}}_{3} \cdot \vec{x} = d_{3}$ , необходимо оценить общую точку пересечения трёх плоскостей.

Три плоскости $ε_{i} : {\vec{n}}_{i} \cdot \vec{x} = d_{i}, i = 1, 2, 3$ с линейно независимыми нормальными векторами ${\vec{n}}_{1}, {\vec{n}}_{2}, {\vec{n}}_{3}$ имеют точку пересечения

{\vec{p}}_{0} = \frac{d_{1} ({\vec{n}}_{2} \times {\vec{n}}_{3}) + d_{2} ({\vec{n}}_{3} \times {\vec{n}}_{1}) + d_{3} ({\vec{n}}_{1} \times {\vec{n}}_{2})}{{\vec{n}}_{1} \cdot ({\vec{n}}_{2} \times {\vec{n}}_{3})} .

Для доказательства следует установить ${\vec{n}}_{i} \cdot {\vec{p}}_{0} = d_{i}, i = 1, 2, 3,$ используя правила тройного скалярного произведения. Если тройное скалярное произведение равно 0, то плоскости либо не имеют тройного пересечения, либо это прямая (или плоскость, если все три плоскости одинаковы).

Кривая и поверхность

Пересечение кривой $(t, t^{2}, t^{3})$
с поверхностью $x^{4} + y^{4} + z^{4} = 1$

Аналогично плоскому случаю следующие случаи приводят к нелинейным системам, которые могут быть решены с использованием 1- или 3-мерной итерации НьютонаШаблон:Sfn:

параметрическая кривая $C : (x (t), y (t), z (t))$ и

параметрическая поверхность

S : (x (u, v), y (u, v), z (u, v)),

параметрическая кривая $C : (x (t), y (t), z (t))$ и

неявная поверхность

S : f (x, y, z) = 0 .

Пример:

параметрическая кривая

C : (t, t^{2}, t^{3})

и

неявная поверхность

S : x^{4} + y^{4} + z^{4} - 1 = 0

(см. рисунок).

Точки пересечения: (−0.8587, 0.7374, −0.6332), (0.8587, 0.7374, 0.6332).

Шаблон:Нп5 — это частный случай.

Как и в случае линии и плоскости, пересечение кривой и поверхности в общем положении состоит из дискретных точек, но кривая может частично или полностью содержаться на поверхности.

Прямая и многогранник

Шаблон:Main

Две поверхности

Шаблон:Main Две трансверсально пересекающиеся поверхности дают Шаблон:Нп5. Самый простой случай — линия пересечения двух непараллельных плоскостей.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Книга

Шаблон:Rq

Пересечение (евклидова геометрия)

Содержание

На плоскости

Две линии

Два отрезка

Линия и круг

Две окружности

Два конических сечения

Две плавные кривые

Два многоугольника

В пространстве (три измерения)

Линия и плоскость

Три плоскости

Кривая и поверхность

Прямая и многогранник

Две поверхности

Примечания

Литература

Навигация

Пересечение (евклидова геометрия)

На плоскости

Две линии

Два отрезка

Линия и круг

Две окружности

Два конических сечения

Две плавные кривые

Два многоугольника

В пространстве (три измерения)

Линия и плоскость

Три плоскости

Кривая и поверхность

Прямая и многогранник

Две поверхности

Примечания

Литература

Навигация

Поиск