Поток (математика)

Поток в фазовом пространстве, задаваемом дифференциальным уравнением маятника. На горизонтальной оси — положение маятника, а на вертикальной — его скорость.

Шаблон:Нет определения Поток формализует идею движения частиц в жидкости. Потоки распространены повсеместно в науке, включая инженерию и физику. Понятие потока является базовым для изучения обыкновенных дифференциальных уравнений. Неформально поток можно рассматривать как непрерывное движение точек с течением времени. Более формально поток — это групповое действие вещественных чисел на множестве.

Идея векторного потока, то есть потока, определяемого векторным полем, встречается в областях дифференциальной топологии, римановой геометрии и групп Ли. Через поток обычно определяется производная Ли. Конкретные примеры векторных потоков включают геодезический поток, гамильтонов поток, поток Риччи, поток средней кривизны, и потоки Аносова. Потоки также могут быть определены для систем случайных величин и случайных процессов, и встречаться при изучении эргодических динамических систем.

Определение

Поток на множестве Шаблон:Mvar — это действие аддитивной группы вещественных чисел на Шаблон:Mvar. Более явно поток — это отображение

$\phi :X\times ℝ\to X$

такое, что для всех Шаблон:Math и всех действительных чисел Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar,

$\begin{array}{cc}& \phi (x,0)=x;\\ & \phi (\phi (x,t),s)=\phi (x,s+t).\end{array}$

Принято писать Шаблон:Math вместо Шаблон:Math, так что приведённые выше уравнения можно выразить как ${\phi }^0=\text{Id}$ (единичная функция) и ${\phi }^s\circ {\phi }^t={\phi }^{s+t}$ (групповой закон). Тогда для всех Шаблон:Mvar ∈ $R$, отображение Шаблон:Math $:X\to X$ является биекцией с обратным Шаблон:Math $:X\to X$. Это следует из приведённого выше определения, и действительный параметр Шаблон:Mvar может быть принят как обобщенная функциональная мощность, как при итерации функции.

Обычно требуется, чтобы потоки были совместимы со структурами представленными на множестве Шаблон:Mvar. В частности, если Шаблон:Mvar имеет топологию, то обычно требуется, чтобы Шаблон:Mvar было непрерывным. Если Шаблон:Mvar имеет дифференцируемую структуру, тогда требуется, чтобы Шаблон:Mvar было дифференцируемым. В этих случаях поток образует однопараметрическую группу гомеоморфизмов и диффеоморфизмов соответственно.

В определённых ситуациях можно также рассмотреть Шаблон:Visible anchor, который определён только в некотором подмножестве. Шаблон:Visible anchor из Шаблон:Mvar называется

$\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\phi )=\{(x,t)|t\in [a_x,b_x],a_x<0<b_x,x\in X\}\subset X\times ℝ.$

Это часто имеет место с потоками векторных полей.

Альтернативные обозначения

Во многих областях, включая инженерию, физику и изучение дифференциальных уравнений, для потока очень распространено использование неявного обозначения. Таким образом, Шаблон:Math записывается как ${\phi }^t(x_0)$, и можно сказать, что переменная Шаблон:Mvar зависит от времени Шаблон:Mvar и начального условия Шаблон:Math. Примеры приведены ниже.

В случае потока векторного поля Шаблон:Mvar на гладком многообразии Шаблон:Mvar, поток часто обозначается таким образом, что его генератор становится явным. Например,

${\mathrm{\Phi }}_V:X\times ℝ\to X;(x,t)\mapsto {\mathrm{\Phi }}_V^t(x).$

Орбиты

Учитывая Шаблон:Mvar в Шаблон:Mvar, множество $\{\phi (x,t):t\in ℝ\}$ называется орбитой Шаблон:Mvar при Шаблон:Mvar. Неофициально его можно рассматривать как траекторию частицы, которая изначально была расположена в точке Шаблон:Mvar. Если поток генерируется векторным полем, то его орбиты являются изображениями его интегральных кривых.

Примеры

Алгебраическое уравнение

Пусть $f:ℝ\to X$ — зависящая от времени траектория, являющаяся биективной функцией. Тогда поток может быть определён с помощью

$\phi (x,t)=f(t+f^{-1}(x)).$

Автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть $𝑭:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ — независимое от времени векторное поле и $𝒙:ℝ\to {ℝ}^n$ решение задачи при начальных условиях

$\dot{𝒙}(t)=𝑭(𝒙(t)),𝒙(0)={𝒙}_0.$

Тогда $\phi ({𝒙}_0,t)=𝒙(t)$ — это поток векторного поля Шаблон:Mvar. Это чётко определённый локальный поток при условии, что векторное поле $𝑭:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ является непрерывным по Липшицу. Тогда $\phi :{ℝ}^n\times ℝ\to {ℝ}^n$ также является непрерывным по Липшицу везде, где определено. В общем случае может быть трудно показать, что поток Шаблон:Mvar определён глобально, но один простой критерий заключается в том, что векторное поле Шаблон:Mvar поддерживается на компакте.

Обыкновенные дифференциальные уравнения, зависящие от времени

В случае векторных полей $𝑭:{ℝ}^n\times ℝ\to {ℝ}^n$, зависящих от времени, обозначается ${\phi }^{t,t_0}({𝒙}_0)=𝒙(t+t_0),$ где $𝒙:ℝ\to {ℝ}^n$ — решение

$\dot{𝒙}(t)=𝑭(𝒙(t),t),𝒙(t_0)={𝒙}_0.$

Тогда ${\phi }^{t,t_0}({𝒙}_0)$ — это зависящий от времени поток Шаблон:Mvar. Это не «поток» по приведённому выше определению, но его легко можно рассматривать как таковой, переставив его аргументы. А именно, отображение

$\phi :({ℝ}^n\times ℝ)\times ℝ\to {ℝ}^n\times ℝ;\phi (({𝒙}_0,t_0),t)=({\phi }^{t,t_0}({𝒙}_0),t+t_0)$

действительно удовлетворяет групповому закону для последней переменной:

$\begin{array}{cc}\phi (\phi (({𝒙}_0,t_0),t),s)& =\phi (({\phi }^{t,t_0}({𝒙}_0),t+t_0),s)\\ & =({\phi }^{s,t+t_0}({\phi }^{t,t_0}({𝒙}_0)),s+t+t_0)\\ & =({\phi }^{s,t+t_0}(𝒙(t+t_0)),s+t+t_0)\\ & =(𝒙(s+t+t_0),s+t+t_0)\\ & =({\phi }^{s+t,t_0}({𝒙}_0),s+t+t_0)\\ & =\phi (({𝒙}_0,t_0),s+t).\end{array}$

Можно рассматривать зависящие от времени потоки векторных полей как частные случаи не зависящих от времени потоков с помощью следующего приема. Определить

$𝑮(𝒙,t):=(𝑭(𝒙,t),1),𝒚(t):=(𝒙(t+t_0),t+t_0).$

Тогда Шаблон:Math является решением задачи о «не зависящем от времени» начальном значении

$\dot{𝒚}(s)=𝑮(𝒚(s)),𝒚(0)=({𝒙}_0,t_0)$

тогда и только тогда, когда Шаблон:Math является решением исходной задачи о начальных значениях, зависящих от времени. Кроме того, тогда отображение Шаблон:Mvar — это в точности поток «независимого от времени» векторного поля Шаблон:Mvar.

Потоки векторных полей на многообразиях

Потоки не зависящих от времени векторных полей определяются на гладких многообразиях точно так же, как они определены в евклидовом пространстве ${ℝ}^n$ и их локальное поведение такое же. Однако глобальная топологическая структура гладкого многообразия сильно проявляется в том, какие глобальные векторные поля оно может поддерживать, и потоки векторных полей на гладких многообразиях действительно являются важным инструментом в дифференциальной топологии. Основная часть исследований динамических систем проводится на гладких многообразиях, которые в приложениях рассматриваются как «пространства параметров».

Формально: пусть $ℳ$ — дифференцируемое многообразие. ${\mathrm{T}}_pℳ$ обозначим касательное пространство точки $p\in ℳ.$ Пусть $\mathrm{T}ℳ$ будет полным касательным многообразием, то есть $\mathrm{T}ℳ={\cup }_{p\in ℳ}{\mathrm{T}}_pℳ.$ Пусть $$f:ℝ\times ℳ\to \mathrm{T}ℳ$$ — зависящее от времени векторное поле на $ℳ$; то есть Шаблон:Mvar является гладкой картой, такой, что для каждого $t\in ℝ$ и $p\in ℳ$, имеется $f(t,p)\in {\mathrm{T}}_pℳ;$, то есть карта $x\mapsto f(t,x)$ сопоставляет каждую точку элементу её собственного касательного пространства. Для подходящего интервала $I\subseteq ℝ$, содержащего 0, поток Шаблон:Mvar — это функция $\varphi :I\times ℳ\to ℳ$, которая удовлетворяет $$\begin{array}{ccc}\varphi (0,x_0)& =x_0& \mathrm{\forall }{x}_0\in ℳ\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{|}_{t=t_0}\varphi (t,x_0)& =f(t_0,\varphi (t_0,x_0))& \mathrm{\forall }{x}_0\in ℳ,t_0\in I\end{array}$$

См. также

• Уравнение Абеля
• Итерированная функция
• Уравнение Шредера

Ссылки

• Шаблон:Springer
• Шаблон:Springer
• Шаблон:Springer