Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Формирование дифференциального исчисления связано с именами Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница. Именно они чётко сформировали основные положения и указали на взаимно-обратный характер дифференцирования и интегрирования. Создание дифференциального исчисления (вместе с интегральным) открыло новую эпоху в развитии математики, положив начало теории рядов, теории дифференциальных уравнений и многому другому. Методы математического анализа нашли применение во всех разделах математики и расширили применение математики в естественных науках и технике.

Дифференциальное исчисление базируется на важнейших понятиях математики, определение и исследование которых и составляют предмет введения в математический анализ: действительные числа (числовая прямая), функция, предел, непрерывность. Все эти понятия получили современную трактовку в ходе развития и обоснования дифференциального и интегрального исчислений.

Основная идея дифференциального исчисления состоит в изучении функции при малых изменениях. Точнее, дифференциальное исчисление дает аппарат для исследования функций, поведение которых в достаточно малой окрестности каждой точки близко к поведению линейной функции или многочлена. Основу этого аппарата составляют центральные понятия дифференциального исчисления: производная и дифференциал.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Производная

Шаблон:Main Шаблон:Проще Пусть функция $g(h)$ определена в окрестности $h=0$ и для любого $ϵ$ > 0 найдётся такое $\delta$, что

$|g(h)/h^n|<ϵ$, лишь только $|h|<\delta ,$

тогда говорят, что $g(h)$ — бесконечно малое порядка $o(h^n)$.

Пусть $f(x)$ — вещественнозначная функция, заданная на отрезке $(a,b)$. Эту функцию называют бесконечно дифференцируемой на интервале $(a,b)$, если

$f(x+h)=f(x)+f^{\prime }(x)h+\frac{1}{2!}{f}^{″}(x)h^2+\dots \frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x)h^n+o(h^n)$

для любого $x\in (a,b)$ и любого $n$. Таким образом, локально, в окрестности любой точки отрезка, функция сколь угодно хорошо приближается многочленом. Гладкие на отрезке $(a,b)$ функции образуют кольцо гладких функций $C^{\mathrm{\infty }}(a,b)$.

Коэффициенты $f^{(n)}(x)$

$f^{(m)}(x+h)=f^{(m)}(x)+f^{(m+1)}(x)h+\dots \frac{1}{n!}{f}^{(m+n)}(x)h^n+o(h^n)$

Эти функции называют производными функции $f(x)$. Первая производная может быть вычислена как предел

$f^{\prime }(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.

Оператор, сопоставляющий функции $f(x)$ её производную $f^{\prime }(x)$ обозначают как

$D=\frac{d}{dx}$

При этом для двух гладких функций f и g верно

$D(f+g)=Df+Dg$ и $D(fg)=fDg+gDf$

Оператор, обладающий указанными свойствами, называют дифференцированием кольца гладких функций.

Всякая аналитическая функция, голоморфная на отрезке $(a,b)$, является гладкой функцией, но обратное неверно. Главное различие аналитических и гладких функций состоит в том, что первые полностью определяются своим поведением в окрестности одной точки, вторые — нет. Напр., гладкая функция может быть равна постоянной в окрестности одной точки, но не быть постоянной всюду. Элементарные функции в своей (открытой) области определения являются аналитическими, а, следовательно, и гладкими функциями. Однако, в отличие от аналитических функций, гладкие функции могут быть заданы на разных интервалах разными элементарными выражениями.

Касательная прямая

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Прямая

$y=f(c)+f^{\prime }(c)(x-c)$

пересекает кривую

$y=f(x)$

в точке $(c,f(c))$ таким образом, что знак выражения

$f(x)-f(c)-f^{\prime }(c)(x-c)=\frac{1}{2}{f}^{″}(c)(x-c{)}^2+o((x-c{)}^2)$

при условии $f^{″}(c)=0$ всё время остаётся одним и тем же, поэтому кривая

$y=f(x)$

лежит по одну сторону от прямой

$y=f(c)+f^{\prime }(c)(x-c)$

Прямую, обладающую указанным свойством, называют касательной к кривой в точке $x=c$ (по Б. Кавальери). Точку $x=c$, в которой кривая

$y=f(x)$

не лежит по одну сторону от прямой

$y=f(c)+f^{\prime }(c)(x-c)$

называют точкой перегиба, при этом прямую все равно именуют касательной. Для единообразия часто само понятие касательной вводят иначе с тем, чтобы оба случая подпадали под него.

Точки экстремума

Точка $x=c$ называется точкой локального максимума (минимума), если

$f(c)-f(c+h)>0(f(c)-f(c+h)<0)$

для всех достаточно малых по модулю $h$. Из соотношения

$f^{\prime }(c)h+\frac{1}{2}{f}^{″}(c)h^2+o(h^2)<0$

сразу видно, что $f^{\prime }(c)=0$ — необходимое условие максимума, а $f^{″}(c)<0$ — достаточное условие максимума. Условие $f^{″}(c)=0$ выделяет точки максимума, минимума и перегиба.

Непрерывные функции

Пусть $f$ определена и на концах интервала $[a,b]$; говорят, что она непрерывна на $[a,b]$, если для любого $ϵ$ найдётся такое $\delta$, что

$|f(x)-f(x+h)|<ϵ$, лишь только $|h|<\delta ,$

и точки $x,x+h$ не выходят за границы интервала $[a,b]$. Теорема Вейерштрасса утверждает, что гладкая на отрезке функция достигает на отрезке своего минимального и максимального значений. Понятие непрерывности функции обычно увязывается с понятием предела функции. Непрерывные на интервале $[a,b]$ функции образуют кольцо непрерывных функций $C[a,b]$.

История

В XII веке математик Шарафуддин ат-Туси тюрко-монгольского государства Хулагу был первым, кто нашел производную от кубической функции, важный результат в дифференциальном исчислении. Был написан «Трактат об уравнениях», в котором были разработаны концепции, связанные с дифференциальным исчислением, такие, как производная функции и максимумы и минимумы кривых, для решения кубических уравнений, которая не может иметь положительного решения.

Основные теоремы дифференциального исчисления

Кольцо непрерывных на $[a,b]$ и гладких на $(a,b)$ функций обладает рядом важных свойств:

• Теорема Ролля: если $f(a)=f(b)$, то имеется точка $c\in (a,b)$ максимума или минимума, в которой $f^{\prime }$ обращается в нуль.
• Теорема Лагранжа: существует такая точка $c\in (a,b)$, что

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$

• Теорема Коши: если $g^{\prime }=0$ на $(a,b)$, то существует такая точка $c\in (a,b)$, что

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}$

Из теоремы Лагранжа выводят формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: на любом отрезке $(a^{\prime },b^{\prime })\subset (a,b)$ найдутся такие точки $c_n$, что

$f(b^{\prime })=f(a^{\prime })+f^{\prime }(a^{\prime })(b^{\prime }-a^{\prime })+\frac{1}{2!}{f}^{″}(a^{\prime })(b^{\prime }-a^{\prime }{)}^2+\dots \frac{1}{n!}{f}^{(n)}(a^{\prime })(b^{\prime }-a^{\prime }{)}^n+R_n$

где

$R_n=\frac{1}{(n+1)!}{f}^{(n+1)}(c_n)(b^{\prime }-a^{\prime }{)}^{n+1}$

При помощи этой формулы можно приближённо вычислять значения функции в точке $b^{\prime }$ по известным значениям функции и её производных в точке $a^{\prime }$.

Из теоремы Коши выводят правило Лопиталя: если $f(b)=g(b)=0$ или $f(b)=g(b)=\mathrm{\infty }$, и $g^{\prime }=0$ на $(a,b)$, то

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to b-0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to b-0}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)},$

причём существование второго предела влечёт существование первого.

См. также

• Вариационное исчисление
• Анализ функций многих переменных
• Интегральное исчисление
• Исторический очерк и библиографию см. в статье Математический анализ.
• Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами

Литература

• Шаблон:ВТ-ЭСБЕ
• Виноградов И. М. (ред.) Математическая энциклопедия. Том 2. — Москва: Советская энциклопедия, 1977.
• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1981.