Сферический цилиндр

Сферический цилиндр можно рассматривать как гиперобъём между двумя параллельными и равными 2-сферами (3-шарами) в 4-мерном пространстве, на данном рисунке стереографически спроецированным в трёхмерное пространство.

Сферический цилиндр (сферическая призма, Шаблон:Lang-en) — объект занимательной математики в четырёхмерном евклидовом пространстве, определяемый как прямое произведение трёхмерного шара радиуса $r_1$ и отрезка линии длиной $2r_2$:

$D=\{(x,y,z,w)\mid x^2+y^2+z^2⩽r_1^2,w^2⩽r_2^2\}$.

В трёхмерном пространстве при стереографической проекции отражается как две концентрические сферы, подобно тому, как тессеракт (кубическая призма) может быть спроецирован как два концентрических куба, и как цилиндр может быть спроецирован в двухмерное пространство как две концентрические окружности.

Как и дуоцилиндр, является четырёхмерным аналогом трёхмерного цилиндра (который является декартовым произведением круга на отрезок прямой). Если в трёхмерном пространстве цилиндр можно считать промежуточным звеном между кубом и сферой, то четырёхмерном пространстве есть три промежуточные формы между тессерактом и гиперсферой:

• тессеракт (отрезок × отрезок × отрезок × отрезок), гиперповерхность которого представляет собой восемь кубов, соединённых в 24 квадратах;
• кубический цилиндр (круг × отрезок × отрезок);
• сферический цилиндр (шар × отрезок);
• дуоцилиндр (круг × круг);
• гиперсфера (четырехмерный шар),

эти построения соответствуют пяти разбиениям числа 4.

Вращение сферического цилиндра в четырёхмерном пространстве

Можно определить «цилиндро-сферическую» систему координат $(r,\vartheta ,\phi ,w)$, состоящую из сферических координат с дополнительной координатой $w$ аналогично тому, как определяются цилиндрические координаты (полярные координаты $r$ и $\phi$ с координатой высоты $z$). Такие координаты можно преобразовать в декартовы координаты по формулам:

$\begin{array}{cc}x& =r\cos \phi \sin \theta \\ y& =r\sin \phi \sin \theta \\ z& =r\cos \theta \\ w& =w\end{array}$

где $r$ — радиус, $\theta$ — зенитный угол, $\phi$ — азимутальный угол, а $w$ — высота. Декартовы координаты можно преобразовать в «цилиндро-сферические» преобразуются по формулам:

$\begin{array}{cc}r& =\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ \phi & =\mathrm{arctg}\frac{y}{x}\\ \theta & =\mathrm{arcctg}\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ w& =w\end{array}$

Элемент гиперобъёма для сферических координат равен $\mathrm{d}H=r^2\sin \theta \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi \mathrm{d}w$, который может быть получен путём вычисления якобиана.

Гиперобъём сферического цилиндра с основанием радиуса $r$ и высотой $h$ равен:

$H=\frac{4}{3}\pi r^{3}h$.

Объём поверхности сферического цилиндра складывается из трёх частей: объёмов верхнего и нижнего основания ($\frac{4}{3}\pi r^3$ каждый) и объёма боковой поверхности ($4\pi r^{2}h$), то есть:

$SV=\frac{8}{3}\pi r^3+4\pi r^{2}h$.

См. также

• Тор КлиффордаШаблон:Уточнить

Литература

• Henry P. Manning. The Fourth Dimension Simply Explained // N. Y.: Munn & Company, 1910
• Chris McMullen. The Visual Guide To Extra Dimensions: Visualizing The Fourth Dimension, Higher-Dimensional Polytopes, And Curved Hypersurfaces. 2008, Шаблон:Isbn