Теорема Вейерштрасса — Стоуна

Теорема Вейерштра́сса — Стоуна — утверждение о возможности представления любой непрерывной функции на хаусдорфовом компакте пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций особого класса — алгебры СтоунаШаблон:Переход.

Первоначально сформулирована и доказана Карлом Вейерштрассом в 1885 году для непрерывных на отрезке вещественной прямой функций, устанавливая возможность их равномерно приблизить последовательностью многочленовШаблон:Переход. В 1937 году Маршалл Стоун существенно обобщил результатШаблон:Переход, распространив результат на функции, непрерывные на произвольном T₂-отделимом компактном пространстве, образующие кольцо, а в качестве равномерно сходящихся последовательностей функций вместо многочленов — функции из специфичного подкласса непрерывных функций, образующего подкольцо.

Позднее найдены и другие обобщения результатаШаблон:Переход.

Теорема Вейерштрасса

Пусть $f$ — непрерывная функция, определённая на отрезке $[a,b]$. Тогда для любого $\epsilon >0$ существует такой многочлен $p$ с вещественными коэффициентами, что для всех $x$ из $[a,b]$ одновременно выполнено условие $|f(x)-p(x)|<\epsilon$.

Если $f(x)$ непрерывна на круге (периодична), то утверждение верно и для тригонометрических многочленов.

Теорема справедлива и для комплекснозначных функций, но тогда коэффициенты полинома $p$ следует считать комплексными числами и к полиномам следует добавить их комплексные сопряжения.

Схема доказательства Вейерштрасса

Теорема была установлена Карлом Вейерштрассом в 1885 году как следствие более общего утверждения: для вещественной непрерывной на $ℝ$ ограниченной функции $f$ и четной положительной функции $\psi$ со сходящимся интегралом

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\psi (x)dx$

при всех $x\in ℝ$ имеет место равенство

$f(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{k\to 0}\frac{1}{2k\omega }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\psi \left(\frac{x-y}{k}\right)f(y)dy$.

Из прямого доказательства сразу следует, что предел не только существует и равен $f(x)$, но и что сходимость равномерная по $x$, меняющемся на любом конечном отрезке.

В случае, когда $\psi (x)=e^{-x^2}$, каждая функция из семейства:

$F_k(x)=\frac{1}{2k\omega }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\psi \left(\frac{x-y}{k}\right)f(y)dy,k>0,$

вполне определена при всех комплексных $x$ и является целой. Поэтому её можно равномерно в круге любого радиуса приблизить полиномами (теорема Абеля). Отсюда сразу следует, что любую непрерывную функцию $f(x)$ можно равномерно приблизить многочленами на любом конечном интервале.

Если к тому же $f(x)$ — периодическая функция с периодом $T$, то функции $F_k(x)$ являются целыми периодическими функциями. Но тогда:

$F_k(\frac{T}{2\pi i}\ln z)$

является однозначной и голоморфной функцией в области $z=0$ и, следовательно, разлагается в ряд Лорана:

$F_k=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n\exp \left(\frac{2\pi }{T}inx\right)$,

поэтому $F_k(x)$, а значит и $f(x)$ можно приблизить тригонометрическими многочленами.

Значение результата Вейерштрасса

В середине XIX века представление о функции как аналитическом выражении казалось полностью изжившим себя, а формирующийся на базе интегрального и дифференциального исчисления анализ занимался произвольными функциями, так, Герман Ханкель особо отмечал: «о функции $y$ от $x$ говорят, когда каждому значению переменной $x$, [лежащей] внутри некоторого интервала, соответствует определенное значение $y$; при этом не существенно, зависит ли $y$ от $x$ во всем интервале по одному закону, и может ли эта зависимость быть выраженной при помощи математических операций», подчёркивая, что не всякая функция может быть представлена при помощи аналитического выражения. В ответ на это Вейерштрасс и написал работу «Об аналитическом представлении так называемых произвольных функций», в которой было показано, что произвольная непрерывная функция есть предел многочленов. В дальнейшем выяснилось, что и самые «патологические» функции, например, функция Дирихле, допускают такого рода представления, но лишь с большим числом предельных переходов.

Топологические следствия

Согласно теореме Вейерштрасса пространство непрерывных вещественно- или комплекснозначных функций на отрезке с равномерной нормой сепарабельно: пространство многочленов с рациональными или комплексно-рациональными коэффициентами является требуемым счётным всюду плотным подпространством.

Обобщение Стоуна

Шаблон:ЯкорьВ 1935 году Стоун доказал, что всякую функцию из кольца $C(K)$ непрерывных на хаусдорфовом компакте $K$ вещественнозначных функций можно равномерно приблизить функциями специального класса — составляющими алгебру Стоуна, то есть любая алгебра Стоуна $C_0$ является всюду плотной в пространстве непрерывных функций на компакте: $\overline{C_0}=C(K)$. В качестве нормы равномерной сходимости на $C(K)$ берётся $\Vert f\Vert =\max {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in K}|f(x)|$, а алгебра Стоуна определяется как подалгебра $C_0\subseteq C(K)$, элементы которой разделяют точки $K$.

Шаблон:ЯкорьБолее точно, алгебра Стоуна $C_0$ — это множество функций из кольца $C(K)$, удовлетворяющее следующим условиям:

1. вместе с любыми её элементами $f,g\in C_0$ в алгебру Стоуна входят элементы: $cf$ ($c\in ℝ$), $f+g$, $fg$;
2. алгебра Стоуна содержит постоянную функцию $1$;
3. для каждой пары различных точек $x_1,x_2\in K$ найдётся хотя бы одна функция $f\in C_0,$ такая, что $f(x_1)\ne f(x_2)$.

Дальнейшие обобщения

Существует серия обобщений теоремы Вейерштрасса — Стоуна в различных направлениях. Например, по теореме Мергеляна всякую функцию, непрерывную на всяком компакте со связным дополнением на комплексной плоскости и голоморфную в его внутренних точках можно равномерно приблизить комплексными многочленами. Также были найдены обобщения, позволяющие вместо хаусдорфова компакта рассматривать функции, непрерывные на произвольном тихоновском пространстве.

См. также

• Многочлен Бернштейна

Литература

• Шаблон:Из
• Шаблон:Книга