Четырёхкратная секущая

Альтернированная четырёхкратная секущая трилистника.

Четырёхкратная секущая — прямая, проходящая через четыре точки данной пространственной кривой.

Свойства

• Кривые общего положения не имеют секущих кратности 5 и больше.
  • Для таких кривых четырёхкратные секущие образуют дискретное множество прямых.
• В трёхмерном евклидовом пространстве каждый нетривиальный узел или зацепление имеет четырёхкратную секущую. Более того, любой узел имеет альтернированную четырёхкратную секущую, то есть секущую в которой четыре точки пересечения появляются в разных циклических порядках на узле и на прямой. Это утверждение было доказано Эрикой Паннвиц для ручных узлов, результат был обобщён на узлы общего положения, а затем на все нетривиальные ручные узлы и зацепления.
  • Из этого утверждения легко выводится теорема Фари — Милнора о повороте узла.
  • Не известно любой ли дикий узел имеет бесконечное число четырёхкратных секущих.

• Формула Кейли даёт число четырёхкратных секущих алгебраической кривой в трёхмерном комплексном проективном пространстве в зависимости от степени $d$ и рода $g$:

  $\frac{(d-2)(d-3{)}^2(d-4)}{12}-\frac{g(d^2-7d+13-g)}{2}.$

Предполагается, что кривая не особая; для особых кривых требуются поправочные члены.

• В трёхмерном евклидовом пространстве каждый набор из четырёх скрещивающихся прямых в общем положении имеет либо две четырёхкратные секущие либо ни одной.

Литература

• Шаблон:Статья