ADE-классификация

Однониточные диаграммы Дынкина классифицируют различные математические объекты.

$ADE$-классификация — полный список однониточных диаграмм Дынкина — диаграмм, в которых отсутствуют кратные рёбра, что соответствует простым корням в системе корней, образующим углы $\pi /2$ (отсутствие ребра между вершинами) или $2\pi /3$ (одиночное ребро между вершинами). Список состоит из:

$A_n,D_n,E_6,E_7,E_8$.

Список содержит два из четырёх семейств диаграмм Дынкина (не входят $B_n$ и $C_n$) и три из пяти исключительных диаграмм Дынкина (не входят $F_4$ и $G_2$).

Список не является избыточным, если принять $n⩾4$ для $D_n$. Если расширить семейства, то получаются Шаблон:Не переведено 5

$D_3\cong A_3,E_4\cong A_4,E_5\cong D_5,$

и соответствующие изоморфизмы классифицируемых объектов.

Вопрос о создании общего начала такой классификации (а не выявление параллелей опытным путём) был поставлен Арнольдом в докладе «Проблемы современной математики»Шаблон:Sfn.

Классы $A$, $D$, $E$ включают также однониточные конечные группы Коксетера с теми же диаграммами — в этом случае диаграммы Дынкина в точности совпадают с диаграммами Коксетера, поскольку нет кратных рёбер.

Алгебры Ли

В терминах комплексных полупростых алгебр Ли:

• $A_n$ соответствует ${𝔰𝔩}_{n+1}(𝐂),$ Шаблон:Не переведено 5 операторов с нулевым следом,
• $D_n$ соответствует ${𝔰𝔬}_{2n}(𝐂),$ чётной специальной ортогональной алгебре Ли кососимметрических операторов
• $E_6,E_7,E_8$ являются тремя из пяти исключительных алгебр Ли.

В терминах Шаблон:Не переведено 5 и соответствующих однониточных групп Ли:

• $A_n$ соответствует ${𝔰𝔲}_{n+1},$ алгебре специальной унитарной группы $SU(n+1)$;
• $D_n$ соответствует ${𝔰𝔬}_{2n}(𝐑),$ алгебре чётной Шаблон:Не переведено 5 $PSO(2n)$,
• $E_6,E_7,E_8$ являются тремя из пяти исключительных Шаблон:Не переведено 5.

Бинарные полиэдральные группы

Та же самая классификация подходит для дискретных подгрупп $SU(2)$, Шаблон:Не переведено 5. По сути, бинарные полиэдральные группы соответствуют однониточным аффинным диаграммам Дынкина ${\tilde{A}}_n,{\tilde{D}}_n,{\tilde{E}}_k$, и задания этих групп можно понять в терминах этих диаграмм. Эта связь известна как Шаблон:Не переведено 5 (в честь Шаблон:Не переведено 5). Связь с правильными многогранниками описана в книге Диксона «Algebraic Theories» Шаблон:Sfn. Соответствие использует построение Шаблон:Не переведено 5.

При этом $ADE$-соответствие не является соответствием правильных многогранников их Шаблон:Не переведено 5. Например, в $ADE$-соответствии тетраэдр, куб/октаэдр и додекаэдр/икосаэдр соответствуют $E_6,E_7,E_8$, в то время как группы отражений тетраэдра, куба и октаэдра, додекаэдра и икосаэдра являются заданиями групп Коксетера $A_3,B{C}_3$ и $H_3.$

Орбиобразие ${𝐂}^2$, построенное с помощью всех дискретных подгрупп, приводит к сингулярности типа $ADE$ в начале координат, которая называется Шаблон:Не переведено 5.

Соответствие Маккея можно распространить и на многониточные диаграммы Дынкина при использовании пары бинарных полиэдральных групп. Это соответствие известно как соответствие Слодови (по имени немецкого математика Шаблон:Не переведено 5)Шаблон:Sfn.

Помеченные графы

$ADE$-графы и расширенные (аффинные) $ADE$-графы можно описать в терминах маркировки некоторыми свойствамиШаблон:Sfn, которые можно сформулировать в терминах дискретных операторов Лапласа Шаблон:Sfn или матриц Картана. Доказательства в терминах матриц Картана можно найти в книге Каца «Infinite dimensional Lie algebras» Шаблон:Sfn.

Аффинные $ADE$-графы — это графы, допускающие позитивную маркировку (когда вершины помечаются положительными вещественными числами) со следующими свойствами:

Любая метка является полусуммой смежных вершин.

То есть существуют принимающие лишь положительные значения функции с собственным значением 1 дискретного лапласиана (сумма смежных вершин минус значение в вершине) — положительное решение однородного уравнения:

$\mathrm{\Delta }\varphi =\varphi$.

Эквивалентно, положительные функции в ядре $\mathrm{\Delta }-I$. Результирующая нумерация является единственной с точностью до постоянного множителя, а с нормализацией, при которой минимальное число равно 1, состоит из малых целых чисел — от 1 до 6, которые зависят от графа.

Обычные $ADE$-графы — это только графы, допускающие положительную маркировку со следующими свойствами:

Любая метка равна полусумме смежных вершин плюс единица.

В терминах лапласианов это положительное решение однородного уравнения:

$\mathrm{\Delta }\varphi =\varphi -2$.

Результирующая нумерация является единственной (с точностью до постоянного множителя, значение которого определяется числом «2») и состоит из целых чисел. Для $E_8$ эти числа лежат в пределах от 58 до 270Шаблон:Sfn.

Другие классификации

Элементарные катастрофы также классифицируются с помощью $ADE$-классификации.

Диаграммы $ADE$ являются в точности колчанами конечного типа вследствие Шаблон:Не переведено 5.

Существует также связь с обобщёнными четырёхугольниками, так как три невырожденных обобщённых четырёхугольника с тремя точками на каждой прямой соответствуют исключительным корням систем $E_6$, $E_7$ и $E_8$=Шаблон:Sfn. Классы $A$ и $D$ соответствуют вырожденным случаям, где множество прямых пусто или все прямые проходят через одну точку, соответственноШаблон:Sfn.

Существует глубокая связь между этими объектами, скрытыми за этой классификацией, и некоторые из этих связей можно понять через теорию струн и квантовую механикуШаблон:Уточнить.

Троицы

Арнольд предложил много других связей под рубрикой «математические троицы», а Маккей расширил эти соответствия. Арнольд использовал термин «троицы» с намёком на религию и предположил, что (в настоящее время) эти параллели скорее ближе к вере, чем к строгим доказательствам, хотя некоторые параллели хорошо проработаны. Далее троицы были подхвачены и другими авторамиШаблон:SfnШаблон:Sfn. Троицы Арнольда начинаются с $ℝ,ℂ,ℍ$ (вещественные числа, комплексные числа и кватернионы), которые, как он заметил, «все знают», и продолжены другими троицами, такими как «комплесизация» и «кватернизация» классических (вещественных) математических объектов по аналогии с поисками симплектических аналогий римановой геометрии, которые он предложил до этого в 1970-х годах. Кроме примеров из дифференциальной топологии (таких как характеристические классы), Арнольд рассматривает три симметрии правильных многогранников (тетраэдральная, октаэдральная, икосаэдральная) как соответствующие вещественным числам, комплексным числам и кватернионам, которые связаны с дальнейшими алгебраическими соответствиями Маккея.

Проще всего поддаются описанию Шаблон:Не переведено 5. Во-первых, расширенные диаграммы Дынкина ${\tilde{E}}_6,{\tilde{E}}_7,{\tilde{E}}_8$ (соответствующие тетраэдральной, октаэдральной и икосаэдральной симметрий) имеют группы симметрии $S_3,S_2,S_1$, соответственно, и ассоциированные свёртки — диаграммы ${\tilde{G}}_2,{\tilde{F}}_4,{\tilde{E}}_8$ (при менее аккуратной записи признак расширения — тильда — часто опускается). Что более существенно, Маккей предположил соответствие между вершинами ${\tilde{E}}_8$ диаграмм и некоторыми классами смежности монстра, что известно как замечание Маккея о $E_8$Шаблон:SfnШаблон:Sfn. Маккей далее соотносит вершины ${\tilde{E}}_7$ с классами смежности в $2.B$ (расширение порядка 2 Шаблон:Не переведено 5), а вершины ${\tilde{E}}_6$ с классами смежности в $3.F{i}_{2^{\prime }4}$ (расширение порядка 3 группы Фишера)Шаблон:Sfn. Это три самые большие спорадические группы, притом порядок расширения соответствует симметриям диаграммы.

Если перейти от больших простых групп к малым, группы, соответствующие правильным многогранникам, $A_4,S_4$ и $A_5$ имеют связь с проективными специальными группами $PSL(2,5)$, $PSL(2,7)$ и $PSL(2,11)$ (порядка 60, 168 и 660)Шаблон:SfnШаблон:Sfn. Эти группы являются единственными (простыми) группами со значением $p$, таким, что $PSL(2,p)$ действует нетривиально на $p$ точек, факт, который восходит к работам Эвариста Галуа 1830-х годов. Фактически, группы разлагаются на произведение множеств (но не произведение групп) следующим образом: $A_4\times Z_5,$ $S_4\times Z_7$ и $A_5\times Z_{11}.$ Эти группы связаны также с различными геометриями (начиная с работ Феликса Клейна 1870-х годов)Шаблон:Sfn. Ассоциированные геометрии (мозаики на римановых поверхностях), в которых можно видеть действие на $p$ точек, следующие: $PSL(2,5)$ является группой симметрий икосаэдра (род 0) на соединении пяти тетраэдров как 5-элементном множестве, $PSL(2,7)$ является группой симметрий Шаблон:Не переведено 5 (род 3) на вложенной плоскости Фано как 7-элементном множестве (двойная плоскость порядка 2) и $PSL(2,11)$ является группой симметрий поверхности бакминстерфуллерена (род 70) на вложенной Шаблон:Не переведено 5 как 11-элементном множестве (двойная плоскость порядка 3)Шаблон:Sfn. Из перечисленных икосаэдры известны ещё с древности, квартики Клейна были введены Клейном в 1870-х годах, а бакибо́л-поверхности введены Пабло Мартином и Сигерманом в 2008 году.

Маккей связывает также $E_6$, $E_7$ и $E_8$ соответственно с Шаблон:Не переведено 5, 28 Шаблон:Не переведено 5 и 120 трижды касательными плоскостями канонической кривой шестого порядка с родом 4Шаблон:Sfn.

См. также

• Шаблон:Не переведено 5

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга (Problem VIII. The A-D-E classifications).
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга См. The Embedding of PSl(2, 5) into PSl(2, 11) and Galois’ Letter to Chevalier.
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга Chapter 12
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Ссылки

• John Baez, This Week’s Finds in Mathematical Physics Шаблон:Wayback: Week 62 Шаблон:Wayback, Week 63 Шаблон:Wayback, Week 64 Шаблон:Wayback, Week 65 Шаблон:Wayback, August 28, 1995 through October 3, 1995, and Week 230 Шаблон:Wayback, May 4, 2006
• The McKay Correspondence Шаблон:Wayback, Tony Smith