АТС-теорема

Шаблон:Стиль статьи АТС теорема — теорема об аппроксимации тригонометрической суммы более короткой.

В некоторых областях математики и математической физики исследуются суммы вида

$S=\sum _{a<k\le b}\phi (k)e^{2\pi if(k)}.$

Здесь $\phi (x)$ и $f(x)$ — вещественные функции вещественного аргумента, $i^2=-1.$

Такие суммы появляются, например, в теории чисел при анализе дзета-функции Римана, при решении задач, связанных с распределением целых точек в различных областях на плоскости и в пространстве, при изучении рядов Фурье, при решении таких дифференциальных уравнений, как волновое уравнение, уравнение теплопроводности и т. д.

Вводные замечания

Назовём длиной суммы $S$ число $b-a$ (для целых $a$ и $b$ это просто число слагаемых в $S$).

Будем использовать следующие обозначения:

• При $B>0,B\to +\mathrm{\infty }$ или $B\to 0$ запись $1\ll \frac{A}{B}\ll 1$ означает, что существуют константы $C_1>0$ и $C_2>0,$, такие что

  $C_1\le \frac{|A|}{B}\le C_2.$

• Для вещественного $\alpha$ запись $\Vert \alpha \Vert$ значит, что

  $\Vert \alpha \Vert =\min (\{\alpha \},1-\{\alpha \}),$

  где $\{\alpha \}$ — дробная часть $\alpha .$

Сформулируем основную теорему о замене тригонометрической (иногда её называют также экспоненциальной) суммы более короткой.

Теорема об аппроксимации тригонометрической суммы

Пусть вещественные функции $f(x)$ и $\phi (x)$ удовлетворяют на отрезке $[a,b]$ следующим условиям:

1. $f^{″}(x)$ и ${\phi }^{″}(x)$ являются непрерывными;
2. существуют числа $H$, $U$ и $V$ такие, что

   $H>0,1\ll U\ll V,0<b-a\le V,$

   $\begin{array}{cc}\frac{1}{U}\ll f^{″}(x)\ll \frac{1}{U},& \phi (x)\ll H,\\ f^{‴}(x)\ll \frac{1}{UV},& {\phi }^{\prime }(x)\ll \frac{H}{V},\\ f^{⁗}(x)\ll \frac{1}{U{V}^2},& {\phi }^{″}(x)\ll \frac{H}{V^2}.\end{array}$

Тогда, определяя числа $x_{\mu }$ из уравнения

$f^{\prime }(x_{\mu })=\mu ,$

имеем

$\sum _{a<\mu \le b}\phi (\mu )e^{2\pi if(\mu )}=\sum _{f^{\prime }(a)\le \mu \le f^{\prime }(b)}C(\mu )Z(\mu )+R,$

где

$R=O(\frac{HU}{b-a}+H{T}_a+H{T}_b+H\log (f^{\prime }(b)-f^{\prime }(a)+2));$

$T_j=\{\begin{array}{cc}0,& \mathit{\text{<mi fromhbox="1">i</mi>}}f{f}^{\prime }(j)\mathit{\text{<mi fromhbox="1">i</mi>}}saninteger;\\ \min (\frac{1}{\Vert f^{\prime }(j)\Vert },\sqrt{U}),& \mathit{\text{<mi fromhbox="1">i</mi>}}f\Vert f^{\prime }(j)\Vert \ne 0;\end{array}$

$j=a,b;$

$C(\mu )=\{\begin{array}{cc}1,& \mathit{\text{<mi fromhbox="1">i</mi>}}f{f}^{\prime }(a)<\mu <f^{\prime }(b);\\ \frac{1}{2},& \mathit{\text{<mi fromhbox="1">i</mi>}}f\mu =f^{\prime }(a)\mathit{\text{<mi fromhbox="1">o</mi>}}r\mu =f^{\prime }(b);\end{array}$

$Z(\mu )=\frac{1+i}{\sqrt{2}}\frac{\phi (x_{\mu })}{\sqrt{f^{″}(x_{\mu })}}{e}^{2\pi i(f(x_{\mu })-\mu x_{\mu })}.$

Лемма Ван дер Корпута

Самым простым вариантом сформулированной теоремы - является утверждение, называемое в литературе леммой Ван дер Корпута.

Пусть $f(x)$ — вещественная дифференцируемая функция на интервале $a<x\le b$, кроме того, внутри этого интервала её производная $f^{\prime }(x)$ является монотонной и знакопостоянной функцией, и при $\delta =const$, $0<\delta <1$ удовлетворяет неравенству

$|f^{\prime }(x)|\le \delta .$

Тогда,

$\sum _{a<k\le b}{e}^{2\pi if(k)}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{2\pi if(x)}dx+\theta (3+\frac{2\delta }{1-\delta }),$

где $|\theta |\le 1.$

Если параметры $a$ и $b$ являются целыми числами, то последнее выражение можно заменить таким:

$\sum _{a<k\le b}{e}^{2\pi if(k)}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{2\pi if(x)}dx+\frac{1}{2}{e}^{2\pi if(b)}-\frac{1}{2}{e}^{2\pi if(a)}+\theta \frac{2\delta }{1-\delta },$

где $|\theta |\le 1$.

Применение

О применениях аппроксимации тригонометрической суммы в задачах физики см.,, см. также,.

История

Проблема приближения тригонометрического ряда какой-либо подходящей функцией рассматривалась ещё Эйлером и Пуассоном.

При определённых условиях на $\phi (x)$ и $f(x)$ сумму $S$ можно заменить с хорошей точностью другой суммой $S_1,$

$S_1=\sum _{\alpha <k\le \beta }\mathrm{\Phi }(k)e^{2\pi iF(k)},$

длина которой $\beta -\alpha$ много меньше, чем $b-a.$ Первые соотношения вида

$S=S_1+R,$

где $R$ — остаточный член, с конкретными функциями $\phi (x)$ и $f(x),$ были получены Г. Харди, Дж. Литтлвудом и И. Виноградовым при выводе функционального уравнения для дзета-функции Римана $\zeta (s)$, при рассмотрении количеств целых точек в областях на плоскости. В общем виде теорема была доказана Дж. Ван дер Корпутом (о недавних результатах, связанных с теоремой Ван дер Корпута,можно прочитать в).

В каждой из вышеупомянутых работ на функции $\phi (x)$ и $f(x)$ накладывались некоторые ограничения. С ограничениями, удобными для приложений, теорема была доказана А. А. Карацубой в (см. также).