Сферические функции

Гармонические сферические функции

Сферические функции представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями и при решении физических задач, обладающих сферической симметрией. Сферические функции имеют большое значение в теории дифференциальных уравнений в частных производных и теоретической физике, в частности в задачах расчёта электронных орбиталей в атоме, гравитационного поля геоида, магнитного поля планет и интенсивности реликтового излучения.

Определение

Вещественные сферические функции Y_lm, l=0…4 (сверху вниз), m=0…4 (слева направо). Функции отрицательного порядка Y_l-m повёрнуты вокруг оси Z на 90/m градусов относительно функций положительного порядка.

Сферические функции являются собственными функциями оператора Лапласа в сферической системе координат (обозначение $Y_l^m(\theta ,\phi )$). Они образуют ортонормированную систему в пространстве функций на сфере ${𝕊}^2$ в трёхмерном пространстве:

$⟨Y_l^m;Y_l^m⟩=\iint |Y_l^m{|}^2\sin \theta d\theta d\phi =1$

$⟨Y_l^m;Y_{l^{\prime }}^{m^{\prime }}⟩=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{Y}_{l^{\prime }}^{m^{\prime }\ast }{Y}_l^m\sin \theta d\theta d\phi ={\delta }_{l{l}^{\prime }}{\delta }_{m{m}^{\prime }}$,

где ^* обозначает комплексное сопряжение, ${\delta }_{l{l}^{\prime }}$ — символ Кронекера.

Сферические функции имеют вид

$Y_l^m=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{im\phi }{\mathrm{\Theta }}_{lm}(\theta )$,

где функции ${\mathrm{\Theta }}_{lm}(\theta )$ являются решениями уравнения

$\frac{1}{\sin \theta }\frac{d}{d\theta }(\sin \theta \frac{d{\mathrm{\Theta }}_{lm}}{d\theta })-\frac{m^2}{{\sin }^2\theta }{\mathrm{\Theta }}_{lm}+l(l+1){\mathrm{\Theta }}_l^m=0$

и имеют вид

${\mathrm{\Theta }}_l^m=\sqrt{\frac{2l+1}{2}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}{P}_l^m(\cos \theta )$

Здесь $P_l^m(\cos \theta )$ — присоединённые многочлены Лежандра, а $m!$ — факториал.

Присоединенные многочлены Лежандра с отрицательным $m$ здесь вводятся как

$P_{\ell }^{-m}(x)=(-1{)}^m\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!}{P}_{\ell }^m(x)$

Решение уравнения Лапласа в сферических координатах есть так называемая шаровая функция, получаемая умножением сферической функции на решение радиального уравнения.

Вещественная форма

Вещественные сферические функции до шестого порядка

Для сферических функций форма зависимости от угла $\phi$ — комплексная экспонента. Используя формулу Эйлера, можно ввести вещественные сферические функции. Иногда их удобнее использовать в связи с тем, что они могут быть наглядно показаны на иллюстрациях, в отличие от комплексных. Однако значимое удобство комплексных функций (утрачиваемое при переходе к вещественным) состоит в независимости квадрата их модуля $|Y_l^m{|}^2$ от угла $\phi$.

$\begin{array}{cc}{Y}_{\ell m}& =\{\begin{array}{cc}\frac{i}{\sqrt{2}}(Y_{\ell }^m-(-1{)}^m{Y}_{\ell }^{-m})& m<0\\ Y_{\ell }^0& m=0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}(Y_{\ell }^{-m}+(-1{)}^m{Y}_{\ell }^m)& m>0.\end{array}\\ & =\{\begin{array}{cc}\sqrt{2}(-1{)}^m\mathrm{Im}[Y_{\ell }^{|m|}]& m<0\\ Y_{\ell }^0& m=0\\ \sqrt{2}(-1{)}^m\mathrm{Re}[Y_{\ell }^m]& m>0.\end{array}\end{array}$

Обратное преобразование:

$Y_{\ell }^m=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}(Y_{\ell |m|}-i{Y}_{\ell ,-|m|})& m<0\\ Y_{\ell 0}& m=0\\ \frac{(-1{)}^m}{\sqrt{2}}(Y_{\ell |m|}+i{Y}_{\ell ,-|m|})& m>0.\end{array}$

Иногда вещественные сферические функции называют зональными, тессеральными и секториальными. Функции с m > 0 зависят от угла как косинус, а с m < 0 — как синус.

$Y_{\ell m}=\{\begin{array}{cc}(-1{)}^m\sqrt{2}\sqrt{\frac{2\ell +1}{4\pi }\frac{(\ell -|m|)!}{(\ell +|m|)!}}{P}_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\sin (|m|\phi )& m<0\\ \sqrt{\frac{2\ell +1}{4\pi }}{P}_{\ell }^m(\cos \theta )& m=0\\ (-1{)}^m\sqrt{2}\sqrt{\frac{2\ell +1}{4\pi }\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}{P}_{\ell }^m(\cos \theta )\cos (m\phi )& m>0.\end{array}$

Повороты

Поворот вещественной сферической функции с m=0 и l=3. Коэффициенты не равны D-матрицам Вигнера, поскольку показаны вещественные функции, но могут быть получены при переразложении по комплексным функциям

Рассмотрим поворот системы координат $ℛ$, на Углы Эйлера $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ который преобрaзует единичный вектор $𝐫$ в вектор $𝐫\text{'}$. При этом углы ${\theta }^{\prime },{\phi }^{\prime }$ вектора $𝐫\text{'}$ в новой системе координат выражаются через углы в старой системе координат следующим образом

$\cos {\theta }^{\prime }=\cos \theta \cos \beta +\sin \theta \sin \beta \cos (\phi -\alpha )$

$\mathrm{ctg}({\phi }^{\prime }+\gamma )=\mathrm{ctg}(\phi -\alpha )\cos \beta -\frac{\mathrm{ctg}\theta \sin \beta }{\sin (\phi -\alpha )}$

В новой системе координат сферическая функция с индексами $\ell$ и $m$ будет представима в виде линейной комбинации всех функций с тем же номером $\ell$ и различными $m$. Коэффициентами в линейной комбинации являются комплексно- сопряженные D-матрицы Вигнера

$\hat{D}(\alpha ,\beta ,\gamma )Y_l^m(\theta ,\phi )=Y_{\ell }^m({\theta }^{\prime },{\phi }^{\prime })=\sum _{m^{\prime }=-\ell }^{\ell }[D_{m{m}^{\prime }}^{(\ell )}(\alpha ,\beta ,\gamma ){]}^{\ast }{Y}_{\ell }^{m^{\prime }}(\theta ,\phi ),$

Сферические функции с номером $\ell$ образуют базис неприводимого представления размерности $(2\ell +1)$ группы вращений SO(3).

Разложение плоской волны по сферическим функциям

Комплексная экспонента может быть представлена в виде разложения по сферическим функциям

$e^{i𝐤\cdot 𝐫}=4\pi \sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}{i}^l{j}_l(kr)\sum _{m=-l}^l{Y}_l^{m\ast }\left(\frac{𝐫}{|r|}\right)Y_l^m\left(\frac{𝐤}{|k|}\right)$

Здесь $j_n(x)=\sqrt{\frac{\pi }{2x}}{J}_{n+\frac{1}{2}}(x)$ — сферическая функция Бесселя

Разложение произведений сферических функций

Разложения Клебша-Гордана для произведений двух сферических функций выглядят следующим образом :

$Y_{{\ell }_1}^{m_1}(\mathrm{\Omega })Y_{{\ell }_2}^{m_2}(\mathrm{\Omega })=\sum _{L,M}\sqrt{\frac{(2{\ell }_1+1)(2{\ell }_2+1)}{4\pi (2L+1)}}⟨{\ell }_{1}0{\ell }_{2}0|L0⟩⟨{\ell }_1{m}_1{\ell }_2{m}_2|LM⟩Y_L^M(\mathrm{\Omega })$

См. также

• Список сферических функций

Литература

• Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая механика — математические дополнения
• Пальцев Б.В. Сферические функции // Методич. матер. каф. ВМ МФТИ.

Приложения

• SHTOOLS: Fortran 95 software archive
• HEALPIX: Fortran 90 and C++ software archive
• SpherePack: Fortran 77 software archive
• SpharmonicKit: C software archive
• Frederik J Simons: Matlab software archive
• NFFT: C subroutine library (fast spherical Fourier transform for arbitrary nodes)
• Shansyn: spherical harmonics package for GMT/netcdf grd files
• SHAPE: Spherical HArmonic Parameterization Explorer

Ссылки

• Spherical harmonics applied to Acoustic Field analysis on Trinnov Audio’s research page
• Spherical Harmonics by Stephen Wolfram and Nodal Domains of Spherical Harmonics by Michael Trott, The Wolfram Demonstrations Project
• An accessible introduction to spherical harmonics (by J. B. Calvert)
• Spherical harmonics entry at Citizendium