Теорема Абеля о неразрешимости уравнений в радикалах
Шаблон:Другие значения Теорема Абеля, иногда назваемая теоремой Абеля — Руффини, утверждает, что общее алгебраическое уравнение степени неразрешимо в радикалахШаблон:Sfn.
Подробности
Теория Галуа описывает группу перестановок корней многочленов. Современное доказательство теоремы основано на двух следующих фактах:
- При степени многочлена больше или равной 5 группой Галуа многочлена является группа перестановок Шаблон:Sfn.
- При группа перестановок не является разрешимойШаблон:Sfn.
Легко видеть, что значительная часть доказательства «спрятана» в теорию Галуа.
Теорема Абеля — Руффини не заявляет о том, что общее уравнение -й степени при не имеет решения. Если допускать комплексные решения, то основная теорема алгебры гарантирует наличие решений. Суть теоремы Абеля — Руффини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше четвёртой невозможно указать явную формулу для решений, то есть формулу, определяющую все возможные решения и содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени.
Решения таких уравнений можно получить с любой желаемой точностью, используя численные методы, например метод Ньютона.
Кроме того, корни некоторых уравнений высших степеней можно выразить в радикалах. Например, уравнение имеет корень .
Хотя уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах, для его корней существуют формулы с использованием тета-функций.
Явные формулы для степеней меньше пятой
Для уравнений со степенью меньше, чем пятая, можно указать явную формулу решения. Этот факт можно рассматривать как «вторую часть» или как «обратную» теорему Абеля — Руффини. Хотя это утверждение не следует из теоремы Абеля — Руффини, оно верно: см. формулы Кардано (для уравнений третьей степени) и Феррари (для четвёртой)Шаблон:Sfn.
История
Первое доказательство теоремы было опубликовано в 1799 году Руффини. В доказательстве было несколько неточностей. В 1824 году полное доказательство было опубликовано Абелем.
Их доказательства основывались на идеях Лагранжа, связанных с перестановками корней уравнения. Позже эти идеи были развиты в теории Галуа, которая позволила сформулировать современное изложение доказательств и послужила отправной точкой в развитии абстрактной алгебры.
Разрешимые типы уравнений
Хотя теорема утверждает, что уравнения не имеют общей формулы для решения, некоторые типы уравнений высоких степеней допускают точные решения. Среди них:
См. также
- Теория Галуа
- Корень Бринга
- Метод Лиля — графический метод нахождения вещественных корней многочленов произвольной степени.
- Резольвента алгебраического уравнения
- Уравнение шестой степени