Тригамма-функция

Тригамма-функция действительного аргумента x

Тригамма-функция в математике является второй из полигамма-функций. Она обозначается ${\psi }_1(z)$ и определяется как

${\psi }_1(z)=\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{z}^2}\ln \mathrm{\Gamma }(z),$

где $\mathrm{\Gamma }(z)$ — гамма-функция. Из этого определения следует, что

${\psi }_1(z)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\psi (z),$

где $\psi (z)$ — дигамма-функция (первая из полигамма-функций).

Тригамма-функцию можно также определить через сумму следующего ряда:

${\psi }_1(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+n{)}^2},$

откуда видно, что она является специальным случаем дзета-функции Гурвица (Шаблон:Lang-en),

${\psi }_1(z)=\zeta (2,z).$

Эти формулы верны, когда $z\ne 0,-1,-2,-3,\dots$ (в указанных точках функция Шаблон:Nobr имеет квадратичные сингулярности, см. график функции).

Существуют также другие обозначения для ${\psi }_1(z)$, используемые в литературе:

${\psi }^{\prime }(z),{\psi }^{(1)}(z).$

Иногда термин «тригамма-функция» употребляется для функции $F^{\prime }(z)={\psi }_1(z+1)$.

Интегральные представления

Используя представление в виде ряда, а также формулу для суммы членов геометрической прогрессии, можно получить следующее двойное интегральное представление:

${\psi }_1(z)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{y}{\int }}\frac{x^{z-1}y}{1-x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$

С помощью интегрирования по частям получается следующее однократное представление:

${\psi }_1(z)=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{z-1}\ln x}{1-x}\mathrm{d}x.$

Используется также другое представление, которое может быть получено из предыдущего заменой x = e^—t:

${\psi }_1(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}\mathrm{d}t.$

Другие формулы

Тригамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению

${\psi }_1(z+1)={\psi }_1(z)-\frac{1}{z^2},$

а также формуле дополнения

${\psi }_1(1-z)+{\psi }_1(z)=\frac{{\pi }^2}{{\sin }^2(\pi z)}.$

Для тригамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство:

${\psi }_1(kz)=\frac{1}{k^2}\sum _{n=0}^{k-1}{\psi }_1(z+\frac{n}{k}).$

Приведём также асимптотическое разложение с использованием чисел Бернулли:

${\psi }_1(z+1)=\frac{1}{z}-\frac{1}{2z^2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{z^{2k+1}}.$

Частные значения

Ниже приведены частные значения тригамма-функции:

${\psi }_1\left(\frac{1}{4}\right)={\pi }^2+8G,$

${\psi }_1\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}{\pi }^2+3\sqrt{3}{\mathrm{C}\mathrm{l}}_2\left(\frac{2}{3}\pi \right),$

${\psi }_1\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}{\pi }^2,$

${\psi }_1\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3}{\pi }^2-3\sqrt{3}{\mathrm{C}\mathrm{l}}_2\left(\frac{2}{3}\pi \right),$

${\psi }_1\left(\frac{3}{4}\right)={\pi }^2-8G,$

${\psi }_1(1)=\frac{1}{6}{\pi }^2,$

где G — постоянная Каталана, а ${\mathrm{C}\mathrm{l}}_2(\theta )$ — Шаблон:Нп3, связанная с мнимой частью дилогарифма через

${\mathrm{C}\mathrm{l}}_2(\theta )=\mathrm{I}\mathrm{m}\left[{\mathrm{L}\mathrm{i}}_2\left(e^{\mathrm{i}\theta }\right)\right].$

Используя формулу кратного аргумента и формулу дополнения, a также связь ${\psi }_1\left(\frac{1}{8}\right)$ с функцией Клаузена, получаем:

${\psi }_1\left(\frac{1}{6}\right)=2{\pi }^2+15\sqrt{3}{\mathrm{C}\mathrm{l}}_2\left(\frac{2}{3}\pi \right),$

${\psi }_1\left(\frac{5}{6}\right)=2{\pi }^2-15\sqrt{3}{\mathrm{C}\mathrm{l}}_2\left(\frac{2}{3}\pi \right),$

${\psi }_1\left(\frac{1}{8}\right)=(2+\sqrt{2}){\pi }^2+4(4-\sqrt{2})G+16\sqrt{2}{\mathrm{C}\mathrm{l}}_2\left(\frac{\pi }{4}\right),$

${\psi }_1\left(\frac{3}{8}\right)=(2-\sqrt{2}){\pi }^2-4(4+\sqrt{2})G+16\sqrt{2}{\mathrm{C}\mathrm{l}}_2\left(\frac{\pi }{4}\right),$

${\psi }_1\left(\frac{5}{8}\right)=(2-\sqrt{2}){\pi }^2+4(4+\sqrt{2})G-16\sqrt{2}{\mathrm{C}\mathrm{l}}_2\left(\frac{\pi }{4}\right),$

${\psi }_1\left(\frac{7}{8}\right)=(2+\sqrt{2}){\pi }^2-4(4-\sqrt{2})G-16\sqrt{2}{\mathrm{C}\mathrm{l}}_2\left(\frac{\pi }{4}\right).$

Для значений за пределами интервала $0<z\le 1$ можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое выше. Например,

${\psi }_1\left(\frac{5}{4}\right)={\pi }^2+8G-16,$

${\psi }_1\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{2}{\pi }^2-4,$

${\psi }_1(2)=\frac{1}{6}{\pi }^2-1.$

См. также

• Гамма-функция
• Дигамма-функция
• Полигамма-функция
• Постоянная Каталана
• Дзета-функция Гурвица

Ссылки

• Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Шаблон:Нп3, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. См. раздел §6.4
• Eric W. Weisstein, Trigamma Function, MathWorld — mathworld.wolfram.com
• Eric W. Weisstein, Polygamma Function, MathWorld — mathworld.wolfram.com