Изоморфизм категорий

Изоморфизм категорий — взаимно-однозначное отношение между категориями, сохраняющее структуру объектов и морфизмов: категории $C$ и $D$ изоморфны, если существуют функторы $F : C \to D$ и $G : D \to C$ , которые являются обратными друг другу, то есть, $F G = 1_{D}$ (функтор тождественности на $D$ ) и $G F = 1_{C}$ Шаблон:Sfn. Две изоморфные категории разделяют все свойства, которые определены только в терминах теории категорий; для всех практических целей они идентичны и различаются только обозначениями объектов и морфизмов.

Изоморфизм категорий является очень сильным условием, которое редко удовлетворяется; в связи с этим чаще используется понятие эквивалентности категорий, для которого не требуется, чтобы $F G$ был равен $1_{D}$ , а лишь естественно изоморфен $1_{D}$ , и аналогично $G F$ был естественно изоморфен $1_{C}$ .

Функтор $F : C \to D$ создаёт изоморфизм категорий тогда и только тогда, когда он биективен на объектах и на множестве морфизмовШаблон:Sfn; благодаря этому критерию можно доказывать изоморфность категорий без построения обратного функтора $G$ .

Примеры

Для конечной группы $G$ , поле $k$ и групповой алгебры $k G$ категория $k$ -линейных представлений группы группы $G$ изоморфна категории левых модулей над $k G$ . Изоморфизм можно описать следующим образом: если дано представление группы $ρ : G \to 𝐆 𝐋 (V)$ , где $V$ — векторное пространство над $k$ , $𝐆 𝐋 (V)$ является группой его $k$ -линейных автоморфизмов, а $ρ$ является гомоморфизмом групп, $V$ переводится в левый $k G$ -модуль следующим образом:

(\sum_{g \in G} a_{g} g) v = \sum_{g \in G} a_{g} ρ (g) (v)

для любого $v$ из $V$ и любого элемента $\sum a_{g}, g \in k G$ . Обратно, если задан левый $k G$ -модуль $M$ , то $M$ является $k$ -векторным пространством, и умножение на элемент $g$ группы $G$ приводит к $k$ -линейному автоморфизму модуля $M$ (поскольку $g$ обратим в $k G$ ), что описывает групповой гомоморфизм $G \to 𝐆 𝐋 (M)$ .

Любое кольцо может рассматриваться как предаддитивная категория с единственным объектом. Категория функторов всех аддитивных функторов из этой категории в категорию абелевых групп изоморфна категории левых модулей над кольцом.

Автоморфизм категорий возникает в теории булевых алгебр: категория булевых алгебр изоморфна категории булевых колец. Заданная булева алгебра $B$ переводится в булево кольцо с помощью симметрической разности в качестве сложения и операции логического умножения $\land$ в качестве умножения. И обратно, если дано булево кольцо $R$ , то можно определить операцию объединения как $a \lor b = a + b + a b$ , а операцию пересечения как умножение. Оба этих определения могут быть расширены до морфизмов для получения функторов и эти функторы взаимно обратны друг другу.

Если $C$ является категорией с начальным объектом $s$ , то категория объектов «над» ( $s ↓ C$ ) изоморфна $C$ . Двойственно, если $t$ является терминальным объектом в $C$ , категория функтора ( $C ↓ t$ ) изоморфна $C$ .