Лэмбовский сдвиг

Лэ́мбовский сдвиг — различие между энергиями стационарных состояний $2^{}{S}_{1/2}$ и $2^{}{P}_{1/2}$ атома водорода и водородоподобных ионов, обусловленное взаимодействием атома с нулевыми флуктуациями электромагнитного поля. Экспериментальное изучение смещения уровней атома водорода и водородоподобных ионов представляет фундаментальный интерес для проверки теоретических основ квантовой электродинамики.

История открытия

Экспериментально установлен У. Ю. Лэмбом (Шаблон:Lang-en) и Р. Ризерфордом в 1947 году. В том же году теоретически объяснён Хансом Бете.

В 1955 году за свою работу Уиллис Юджин Лэмб был удостоен Нобелевской премии.

В 1938 году расчёты, по существу предсказывающие лэмбовский сдвиг, провёл Д. И. Блохинцев, но его работа была отклонена редакцией журнала ЖЭТФ и была опубликована лишь в 1958 году в трудах Д. И. Блохинцева.

Суть эффекта

Сдвиг уровней — это небольшое отклонение тонкой структуры уровней энергии водородоподобных атомов от предсказаний релятивистской квантовой механики, основанных на уравнении Дирака.

Однако Лэмб и Ризерфорд методом радиоспектроскопии обнаружили расщепление уровней Шаблон:Math (Шаблон:Mvar = 2, Шаблон:Mvar = 0, Шаблон:Mvar = 1/2) и Шаблон:Math (Шаблон:Mvar = 2, Шаблон:Mvar = 1, Шаблон:Mvar = 1/2) в атоме водорода, которые по расчётам Дирака должны были совпадать. Величина сдвига пропорциональна ${\alpha }^{3}R$, где $\alpha$ — постоянная тонкой структуры, $R$ — постоянная Ридберга.

Определённый вклад вносят также эффекты движения и внутренней структуры ядра.

Научно-популярное объяснение

Результатом взаимодействия атома с нулевыми колебаниями электромагнитного поля (вакуумные флуктуации поля) являются дополнительные «колебания» электрона, что проявляется в смещении уровня энергии электрона. Это явление называется лэмбовским сдвигом. Другими словами, сдвиг энергии обусловливается нулевыми флуктуациями, т. е. не равными нулю среднеквадратичными значениями напряжённостей электрического (Шаблон:Math) и магнитного (Шаблон:Math) полей, под действием которых электрический заряд оказывается эффективно как бы размазанным. Это уменьшает действие кулоновского потенциала и повышает уровень энергии s-состояний.

Эффекты, связанные с поляризацией вакуума, т. е. с рождением электрон-позитронных пар, дают относительно малый вклад в лэмбовский сдвиг. Шаблон:Также

Эксперимент

В 1947 Уиллис Лэмб и Роберт Ризерфорд провели эксперимент с использованием микроволнового излучения для стимулирования радиочастотных переходов между квантовыми уровнями атома водорода $2^{}{S}_{1/2}$ и $2^{}{P}_{1/2}$. Разница в энергии, найденная Лэмбом и Ризерфордом для перехода между $2^{}{S}_{1/2}$ и $2^{}{P}_{1/2},$ составила ~1060 МГц.

Эта разность является эффектом квантовой электродинамики и может интерпретироваться как влияние виртуальных фотонов, которые испустились и были повторно перепоглощены атомом. В квантовой электродинамике электромагнитное поле квантуется так же, как и гармонический осциллятор в квантовой механике. Основное состояние поля имеет энергию $\hslash \omega /2$, отличную от нуля (см. Состояния Фока), то есть нулевые колебания поля увеличивают энергию электрона. Радиус орбиты электрона заменяется на величину $(r+\delta r)$, что изменяет силу кулоновской связи электрона с ядром, поэтому вырождение уровней $2^{}{S}_{1/2}$ и $2^{}{P}_{1/2}$ состояний снимается. Новую энергию уровней можно записать как (используются атомные единицы)

$⟨E_{\text{pot}}⟩=-\frac{Z{e}^2}{4\pi {ϵ}_0}⟨\frac{1}{r+\delta r}⟩.$

Сам лэмбовский сдвиг при $l=0$:

$\mathrm{\Delta }{E}_{\text{Lamb}}={\alpha }^5{m}_e{c}^2\frac{k(n,0)}{4n^3},$

и при $l\ne 0$, $j=l\pm 1/2$:

$\mathrm{\Delta }{E}_{\text{Lamb}}={\alpha }^5{m}_e{c}^2\frac{1}{4n^3}[k(n,l)\pm \frac{1}{\pi (j+\frac{1}{2})(l+\frac{1}{2})}],$

где $k(n,l)$ — малая величина (< 0,05).

Значение величины

В работе 1983 года измерение лэмбовского сдвига было выполнено при помощи двойного атомного интерферометра. Было получено значение Шаблон:Nobr.

Ещё более сильное, чем в атоме водорода, электромагнитное взаимодействие происходит между электронами и ядрами тяжёлых атомов. Исследователи из лаборатории GSI (Дармштадт, Германия) пропускали пучок атомов урана (зарядовое число 92) через фольгу, в результате чего атомы теряли все, кроме одного, из своих электронов, превращаясь в ионы с зарядом +91. Электрическое поле между ядром такого иона и оставшимся электроном достигало величины 10¹⁶ В/см. Измеренный лэмбовский сдвиг в ионе составил Шаблон:Nobr — в согласии с предсказаниями квантовой электродинамики.

Лэмб экспериментально получил значение магнитного момента электрона, которое отличается в 1,001159652200 раза от значения магнетона Бора, предсказанного Дираком. Когда была создана теория перенормировок, лэмбовский сдвиг оказался первым физическим эффектом, на котором подтвердилась её правильность (и, соответственно, правильность квантовой электродинамики, построенной с использованием этой перенормировки). Вычисленное новое теоретическое значение оказалось равно 1,001159652415 магнетона Бора, что поразительно точно совпадает с экспериментом.

По данным на 1996 год, вклад собственной энергии во втором порядке по константе связи (порядок величины $m\alpha (\alpha Z{)}^4$) составляет Шаблон:Nobr, поляризация вакуума во втором порядке по константе связи (порядок величины $m\alpha (\alpha Z{)}^4$) составляет Шаблон:Nobr, релятивистские поправки (порядок величины $m\alpha (\alpha Z{)}^5$) составляют Шаблон:Nobr, релятивистские поправки (порядок величины $m\alpha (\alpha Z{)}^6$) равны Шаблон:Nobr, вклад собственной энергии в четвёртом порядке по константе связи (порядок величины $m{\alpha }^2(\alpha Z{)}^4$) составляет Шаблон:Nobr, поляризация вакуума в четвёртом порядке по константе связи (порядок величины $m{\alpha }^2(\alpha Z{)}^4$) равна Шаблон:Nobr, поправка на отдачу равна Шаблон:Nobr, поправка на конечный размер протона составляет Шаблон:Nobr.

Полуклассическая оценка

Оценим величину лэмбовского сдвига, исходя из классического уравнения движения электрона под воздействием нулевых колебаний электромагнитного поля в вакууме: Шаблон:EF

где $\delta r$ — отклонение электрона от орбиты, $E$ — напряжённость электрического поля нулевых колебаний электромагнитного поля в вакууме.

Разложим напряжённость электрического поля по плоским волнам: Шаблон:EF

где ${\omega }_k=kc.$

Интегрируя уравнения движения (1), получаем $\delta r=-\frac{e}{m}\sum _k\frac{E_k\cos {\omega }_{k}t}{{\omega }_k^2}.$ Среднее значение смещения $\delta r$ равно нулю, а средний квадрат смещения будет отличен от нуля: $\overline{\delta r^2}=\frac{e^2}{2m^2}\sum _k\frac{E_k^2}{{\omega }_k^4}.$

Используем формулу энергии нулевых колебаний Шаблон:EF

Разложение (2) в формуле (3) приводит к равенству $E_k^2=\frac{4\pi \hslash {\omega }_k}{V},$ а средний квадрат амплитуды дрожания электрона на орбите будет равен $\overline{\delta r^2}=\frac{2\pi e^2\hslash }{V{m}^3}\sum _k\frac{1}{{\omega }_k^3}.$

Заменим здесь суммирование по волновым векторам на интегрирование по частотам вакуумных фотонов $\sum _k\mapsto 2V\int \frac{d^{3}k}{(2\pi {)}^3}.$ Множитель $2$ отвечает двум возможным поляризациям фотона.

В результате для $\overline{\delta r^2}$ получаем следующий интеграл:

$\overline{\delta r^2}=\frac{2}{\pi }\alpha {\left(\frac{\hslash }{mc}\right)}^2\int \frac{d\omega }{\omega },$

где $\alpha =\frac{e^2}{\hslash c}$ — постоянная тонкой структуры.

Оценим верхний и нижний пределы интегрирования в этом выражении. Так как движение электрона имеет нерелятивистский характер, то импульс, получаемый от фотона нулевых колебаний, $\hslash k<mc.$

Верхний предел интегрирования

${\omega }_{\text{max}}=\frac{m{c}^2}{\hslash }.$

Нижний предел интегрирования

${\omega }_{\text{min}}=\frac{E_n}{\hslash }=\frac{(Z{e}^2{)}^{2}m}{2n^2{\hslash }^3},$

где $n=1,2,3,\dots$ — главное квантовое число.

Таким образом, окончательно имеем

$\overline{\delta r^2}=\frac{2}{\pi }\alpha {\left(\frac{\hslash }{mc}\right)}^2\ln \frac{2n^2}{(Z\alpha {)}^2}.$

Размеры области, по которой изменяются координаты электрона, определяются величиной

$r_{\text{vac}}=\sqrt{\overline{\delta r^2}}=\frac{\sqrt{\alpha }\hslash }{mc}.$

Вследствие влияния нулевых колебаний выражение для потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром вместо выражения

$V(r)=e\phi$

преобразуется к виду Шаблон:EF

В этой формуле выполнено разложение потенциала ядра по малому параметру $\delta r$, а $\mathrm{\nabla }$ — векторный дифференциальный оператор.

Усредняя уравнение (4) по дрожанию электрона и имея в виду уравнение Пуассона $\mathrm{\Delta }\phi (r)=-4\pi \rho (r),$ получим дополнительную энергию взаимодействия электрона с ядром

$\delta V_{\text{vac}}=\frac{4}{3}e\alpha {\left(\frac{\hslash }{mc}\right)}^2\rho (r)\ln \frac{2n^2}{(Z\alpha {)}^2}.$

Учитывая, что движение электрона в атоме водорода описывается волновой функцией $\psi (r),$ сдвиг уровней энергии $\delta E_{\text{vac}}=⟨\delta V_{\text{vac}}⟩=\frac{4m{c}^2}{3\pi n^3}\alpha (Z\alpha {)}^4\ln \frac{2n^2}{Z{\alpha }^2},$ где $|\psi (0){|}^2=\frac{Zm{\alpha }^3}{\pi n^3},$ а угловые скобки означают усреднение по движению электрона.

Численное значение полученной оценки $\delta E_{\text{vac}}$ при $n=2$ составляет примерно Шаблон:Nobr.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Из БСЭ