Математическая формулировка общей теории относительности

В этой статье рассматривается математический базис общей теории относительности. Шаблон:ОТО

Исходные положения

Наше интуитивное восприятие указывает нам, что пространство-время является регулярным и непрерывным, то есть не имеет «дыр». Математически эти свойства обозначают, что пространство-время будет моделироваться гладким дифференцируемым многообразием 4 измерений $M_4$, то есть пространством размерности 4, для которого окрестность каждой точки походит локально на четырёхмерное евклидово пространство. Гладкость здесь означает достаточную дифференцируемость, пока без уточнения её степени.

Так как кроме того с хорошей точностью выполняются законы специальной теории относительности, то такое многообразие можно наделить лоренцевой метрикой, то есть невырожденным метрическим тензором с сигнатурой $\{-,+,+,+\}$ (или, что эквивалентно, $\{+,-,-,-\}$). Значение этого раскрывается в следующем разделе.

Геометрия пространства-времени

NB Эта статья следует классическим соглашениям знаков Мизнера, Торна и Уилера

В этой статье принимается также соглашение Эйнштейна для суммирования по повторяющимся индексам.

Метрический тензор

Дифференцируемое многообразие M, снабжённое лоренцевым метрическим тензором g, и представляет собой таким образом Лоренцево многообразие, которое составляет частный случай псевдориманова многообразия (определение «лоренцев» будет уточнено дальше в тексте; см. ниже раздел Лоренцева метрика).

Возьмём какую-нибудь систему координат $x^{\mu }$ в окрестности точки $P$, и пусть ${𝐞}_{\mu }(x)$ — локальный базис в касательном пространстве $T_{x}M$ к многообразию $M$ в точке $x\in M$. Касательный вектор $𝐰\in T_{x}M$ запишется тогда как линейная комбинация базисных векторов:

$𝐰=w^{\mu }{𝐞}_{\mu }.$

При этом величины $w^{\mu }$ называются контравариантными компонентами вектора w. Метрический тензор $𝐠$ тогда — симметричная билинейная форма:

$𝐠=g_{\mu \nu }(x)d{x}^{\mu }\otimes d{x}^{\nu },$

где через $d{x}^{\mu }$ обозначен дуальный по отношению к ${𝐞}_{\mu }(x)$ базис в кокасательном пространстве $T_x^{*}M$, то есть такие линейные формы на $T_{x}M$, что:

$d{x}^{\nu }({𝐞}_{\mu })={\delta }_{\mu }^{\nu }.$

Далее будем предполагать, что компоненты $g_{\mu \nu }(x)$ метрического тензора меняются в пространстве-времени непрерывно.

Метрический тензор, таким образом, может быть представлен действительной симметричной матрицей 4x4:

$g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu }.$

Вообще любая действительная матрица 4x4 имеет априори 4 x 4 = 16 независимых элементов. Условие симметрии уменьшает это число до 10: на самом деле, остаётся 4 диагональных элемента, к которым надо добавить (16 — 4)/2 = 6 недиагональных элементов. Тензор $g_{\mu \nu }$ обладает, таким образом, только 10 независимыми компонентами.

Скалярное произведение

Метрический тензор определяет для каждой точки $x\in M$ многообразия псевдо-скалярное произведение («псевдо-» в том смысле, что отсутствует положительная определённость ассоциированной квадратичной формы (квадрата вектора); см. Лоренцева метрика) в касательном к многообразию $M^{}$ в точке $x$ псевдоевклидовом пространстве $T_{x}M$. Если $𝐮$ и $𝐯$ — два вектора $T_{x}M$, их скалярное произведение запишется как:

$𝐮\cdot 𝐯=𝐠(𝐮,𝐯)=g_{\mu \nu }{u}^{\mu }{v}^{\nu }$

В частности, взяв два базисных вектора, получаем компоненты:

$g_{\mu \nu }=𝐠({𝐞}_{\mu },{𝐞}_{\nu })={𝐞}_{\mu }\cdot {𝐞}_{\nu }$

Замечание: если величины $w^{\mu }$ обозначают контравариантные компоненты вектора w, то можно определить также его ковариантные компоненты как:

$w_{\mu }=𝐰\cdot {𝐞}_{\mu }.$

Элементарное расстояние — интервал

Рассмотрим вектор элементарного перемещения $d𝐏={ϵ}^{\mu }{𝐞}_{\mu }$ между точкой $P^{}$ и бесконечно близкой точкой: $|{ϵ}^{\mu }|\ll 1$. Инвариантной инфинитезимальной нормой этого вектора будет действительное число, обозначаемое $d{s}^2$, называемое квадратом интервала, и равное:

$d{s}^2=g_{\mu \nu }(x){ϵ}^{\mu }{ϵ}^{\nu }$.

Если обозначить компоненты вектора элементарного перемещения «по-физически» ${ϵ}^{\mu }=d{x}^{\mu }$, инфинитезимальный квадрат длины (интервала) запишется формально как:

$d{s}^2=g_{\mu \nu }(x)d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }$

Внимание: в этой формуле, а также и далее, $d{x}^{\mu }$ представляет собой действительное число, которое интерпретируется физически как «инфинитезимальное изменение» координаты $x^{\mu }$, а не как дифференциальная форма!

Лоренцева метрика

Уточним теперь выражение «лоренцева» (точнее локально лоренцева), которое означает, что метрический тензор имеет сигнатуру (1,3) и локально совпадает в первом порядке с лоренцевой метрикой специальной теории относительности. Принцип эквивалентности утверждает, что можно «стереть» локально поле гравитации, выбирая локально инерциальную систему координат. С математической точки зрения такой выбор является переформулировкой известной теоремы о возможности приведения квадратичной формы к главным осям.

В такой локально инерциальной системе координат $X^{\alpha }$ инвариант $d{s}^2$ в точке $P$ запишется как:

$d{s}^2={\eta }_{\alpha \beta }d{X}^{\alpha }d{X}^{\beta }=-c^{2}d{T}^2+d{X}^2+d{Y}^2+d{Z}^2,$

где ${\eta }_{\alpha \beta }$ является метрикой пространства-времени Минковского, а в малой окрестности этой точки

$d{s}^2=({\eta }_{\alpha \beta }+{\delta }_{\alpha \beta })d{X}^{\alpha }d{X}^{\beta },$

где ${\delta }_{\alpha \beta }$ имеет минимум второй порядок малости по отклонениям координат от точки $P$, то есть ${\delta }_{\alpha \beta }{|}_P=0,{\frac{\partial {\delta }_{\alpha \beta }}{\partial X^{\alpha }}|}_P=0$. Принимая соглашение знаков Мизнера, Торна и Уилера, имеем:

${\eta }_{\alpha \beta }=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(-1,+1,+1,+1)$

Далее используются следующие обычные соглашения:

• греческие индексы меняются от 0 до 3. Они соответствуют величинам в пространстве-времени.
• латинские индексы меняются от 1 до 3. Они соответствуют пространственным составляющим величин в пространстве-времени.

Например, 4-вектор положения запишется в локально инерциальной системе координат как:

$X^{\alpha }=\left(\begin{array}{c}{X}^0\\ X^i\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{X}^0\\ X^1\\ X^2\\ X^3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}cT\\ X\\ Y\\ Z\end{array}\right).$

Внимание: на самом деле конечные, а не инфинитезимальные приращения координат не образуют вектора. Вектор из них возникает лишь в однородном пространстве нулевой кривизны и тривиальной топологии.

Лоренцев характер многообразия $M^{}$ обеспечивает, таким образом, то, что касательные к $M^{}$ в каждой точке псевдоевклидова пространства будут обладать псевдоскалярными произведениями («псевдо-» в том смысле, что отсутствует положительная определённость ассоциированной квадратичной формы (квадрата вектора)) с тремя строго положительными собственными значениями (соответствующими пространству) и одним строго отрицательным собственным значением (соответствующим времени). В частности, элементарный интервал «собственного времени», отделяющий два последовательных события, всегда:

$d{\tau }^2=-\frac{d{s}^2}{c^2}>0.$

Общие понятия аффинной связности и ковариантной производной

Обобщенно, аффинной связностью называется оператор $\mathrm{\nabla }$, который приводит в соответствие векторному полю $𝐕$ из касательного пучка $TM$ поле эндоморфизмов $\mathrm{\nabla }𝐕$ этого пучка. Если $𝐰\in T_{x}M$ — касательный вектор в точке $x\in M$, обычно обозначают

${\mathrm{\nabla }}_{𝐰}𝐕(x)=\mathrm{\nabla }𝐕(x,𝐰).$

Говорят, что ${\mathrm{\nabla }}_{𝐰}𝐕$ является «ковариантной производной» вектора $𝐕$ в направлении $𝐰$. Предположим к тому же, что $\mathrm{\nabla }𝐕$ удовлетворяет дополнительному условию: для любой функции f справедливо

${\mathrm{\nabla }}_{𝐰}(f𝐕)=f{\mathrm{\nabla }}_{𝐰}𝐕+df(𝐰)𝐕$

Ковариантная производная удовлетворяет следующим двум свойствам линейности:

• линейность по w, то есть, какими бы ни были поля векторов w и u и действительные числа a и b, мы имеем:

${\mathrm{\nabla }}_{(a𝐰+b𝐮)}𝐕=a{\mathrm{\nabla }}_{𝐰}𝐕+b{\mathrm{\nabla }}_{𝐮}𝐕.$

• линейность по V, то есть, какими бы ни были поля векторов X и Y и действительные числа a и b, мы имеем:

${\mathrm{\nabla }}_{𝐰}(a𝐗+b𝐘)=a{\mathrm{\nabla }}_{𝐰}𝐗+b{\mathrm{\nabla }}_{𝐰}𝐘.$

Как только ковариантная производная определена для полей векторов, она может быть распространена на тензорные поля с использованием правила Лейбница: если $𝐓$ и $𝐒$ — два любых тензора, то по определению:

${\mathrm{\nabla }}_{𝐰}(𝐓\otimes 𝐒)=({\mathrm{\nabla }}_{𝐰}𝐓)\otimes 𝐒+𝐓\otimes ({\mathrm{\nabla }}_{𝐰}𝐒)$

Ковариантная производная поля тензора вдоль вектора w есть снова поле тензора того же типа.

Связность, ассоциированная с метрикой

Можно доказать, что связность, ассоциированная с метрикой — связность Леви-Чивиты [1], является единственной связностью, помимо предыдущих условий дополнительно обеспечивающей то, что для любых полей векторов X, Y, Z из TM

• ${\mathrm{\nabla }}_{𝐗}(𝐠(𝐘,𝐙))=𝐠({\mathrm{\nabla }}_{𝐗}𝐘,𝐙)+𝐠(𝐘,{\mathrm{\nabla }}_{𝐗}𝐙)$ (метричность — тензор неметричности равен нулю).

• ${\mathrm{\nabla }}_{𝐗}𝐘-{\mathrm{\nabla }}_{𝐘}𝐗=[𝐗,𝐘]$, где $[𝐗,𝐘]$ — коммутатор Ли от X и Y (отсутствие кручения — тензор кручения равен нулю).

Описание в координатах

Ковариантная производная вектора есть вектор, и, таким образом, она может быть выражена как линейная комбинация всех базисных векторов:

${\mathrm{\nabla }}_{𝐰}V={\left[{\mathrm{\nabla }}_{𝐰}V\right]}^{\rho }{𝐞}_{\rho }={\mathrm{\Gamma }}^{\rho }{𝐞}_{\rho },$

где ${\mathrm{\Gamma }}^{\rho }$ представляют собой компоненты вектора ковариантной производной в направлении ${𝐞}_{\rho }$ (эта составляющая зависит от выбранного вектора w).

Чтобы описать ковариантную производную, достаточно описать её для каждого из базисных векторов ${𝐞}_{\nu }$ вдоль направления ${𝐞}_{\mu }$. Определим тогда символы Кристоффеля (или просто кристоффели) ${\mathrm{\Gamma }}^{\rho }{}_{\mu \nu },$ зависящие от 3 индексов

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{𝐞}_{\nu }={\mathrm{\nabla }}_{{𝐞}_{\mu }}{𝐞}_{\nu }={\mathrm{\Gamma }}^{\rho }{}_{\mu \nu }{𝐞}_{\rho }$

Связность Леви-Чивиты полностью характеризуется своими символами Кристоффеля. Согласно общей формуле

${\mathrm{\nabla }}_{𝐰}(f𝐕)=f{\mathrm{\nabla }}_{𝐰}𝐕+df(𝐰)𝐕$

для вектора V:

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }𝐕={\mathrm{\nabla }}_{\mu }(V^{\nu }{𝐞}_{\nu })=V^{\nu }({\mathrm{\nabla }}_{\mu }{𝐞}_{\nu })+d{V}^{\nu }({𝐞}_{\mu }){𝐞}_{\nu }.$

Зная, что $d{V}^{\nu }({𝐞}_{\mu })={\partial }_{\mu }{V}^{\nu }$, получаем:

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }𝐕=V^{\nu }{\mathrm{\Gamma }}^{\rho }{}_{\mu \nu }{𝐞}_{\rho }+{\partial }_{\mu }{V}^{\nu }{𝐞}_{\nu }$

Первый член этой формулы описывает «деформацию» системы координат по отношению к ковариантной производной, а второй — изменения координат вектора V. При суммировании по немым индексам мы можем переписать это соотношение в форме

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }𝐕=[V^{\rho }{\mathrm{\Gamma }}^{\nu }{}_{\mu \rho }+{\partial }_{\mu }{V}^{\nu }]{𝐞}_{\nu }$

Из этого получаем важную формулу для компонент:

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{𝐕}^{\nu }={\left[{\mathrm{\nabla }}_{\mu }𝐕\right]}^{\nu }={\partial }_{\mu }{V}^{\nu }+{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \rho }^{\nu }{V}^{\rho }$

Используя формулу Лейбница, таким же образом можно продемонстрировать, что:

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{𝐕}_{\nu }={\partial }_{\mu }{V}_{\nu }-{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\rho }{V}_{\rho }.$

Чтобы вычислить эти составляющие в явной форме, выражения для символов Кристоффеля должны быть определены, исходя из метрики. Их легко получить, написав следующие условия:

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{𝐠}_{\nu \rho }=0.$

Расчёт этой ковариантной производной приводит к

${\mathrm{\Gamma }}^{\mu }{}_{\rho \sigma }=\frac{1}{2}{g}^{\mu \nu }({\partial }_{\sigma }{g}_{\nu \rho }+{\partial }_{\rho }{g}_{\nu \sigma }-{\partial }_{\nu }{g}_{\rho \sigma }),$

где $g^{\mu \nu }$ — компоненты «обратного» метрического тензора, определенные уравнениями

$g^{\mu \nu }{g}_{\nu \rho }={\delta }^{\mu }{}_{\rho }$

Символы Кристоффеля «симметричны» по отношению к нижним индексам: ${\mathrm{\Gamma }}^{\mu }{}_{\rho \sigma }={\mathrm{\Gamma }}^{\mu }{}_{\sigma \rho }.$

Замечание: иногда определяются также следующие символы:

${\mathrm{\Gamma }}_{\nu \rho \sigma }=\frac{1}{2}({\partial }_{\sigma }{g}_{\nu \rho }+{\partial }_{\rho }{g}_{\nu \sigma }-{\partial }_{\nu }{g}_{\rho \sigma })$

получаемые как:

${\mathrm{\Gamma }}^{\mu }{}_{\rho \sigma }=g^{\mu \nu }{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \rho \sigma }$

Тензор кривизны Римана

Тензор кривизны Римана R — тензор 4-й валентности, определённый для любых векторных полей X, Y, Z из M как

$𝐑(𝐗,𝐘)𝐙={\mathrm{\nabla }}_{𝐗}({\mathrm{\nabla }}_{𝐘}𝐙)-{\mathrm{\nabla }}_{𝐘}({\mathrm{\nabla }}_{𝐗}𝐙)-{\mathrm{\nabla }}_{[𝐗,𝐘]}𝐙.$

Его компоненты в явной форме выражаются из метрических коэффициентов:

$R_{\mu \nu \rho \sigma }=\frac{1}{2}(\underset{\nu \rho }{\overset{2}{\partial }}{g}_{\mu \sigma }+\underset{\mu \sigma }{\overset{2}{\partial }}{g}_{\nu \rho }-\underset{\nu \sigma }{\overset{2}{\partial }}{g}_{\mu \rho }-\underset{\mu \rho }{\overset{2}{\partial }}{g}_{\nu \sigma })+$

$+g_{\lambda \tau }({\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }{}_{\nu \rho }{\mathrm{\Gamma }}^{\tau }{}_{\mu \sigma }-{\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }{}_{\nu \sigma }{\mathrm{\Gamma }}^{\tau }{}_{\mu \rho }).$

Симметрии этого тензора:

$R_{\mu \nu \rho \sigma }=R_{\rho \sigma \mu \nu },$

$R_{\mu \nu \rho \sigma }=-R_{\nu \mu \rho \sigma }=-R_{\mu \nu \sigma \rho }.$

Он удовлетворяет также следующему соотношению:

$R_{\mu \nu \rho \sigma }+R_{\mu \sigma \nu \rho }+R_{\mu \rho \sigma \nu }=0.$

Тензор кривизны Риччи

Тензор Риччи — тензор валентности 2, определенный свёрткой тензора кривизны Римана

$R_{\mu \nu }=g^{\rho \sigma }{R}_{\rho \mu \sigma \nu }=R_{\mu \sigma \nu }^{\sigma }.$

Его компоненты в явном виде через символы Кристоффеля:

$R_{\mu \nu }={\partial }_{\rho }{\mathrm{\Gamma }}^{\rho }{}_{\mu \nu }-{\partial }_{\nu }{\mathrm{\Gamma }}^{\rho }{}_{\mu \rho }+{\mathrm{\Gamma }}^{\rho }{}_{\mu \nu }{\mathrm{\Gamma }}^{\sigma }{}_{\rho \sigma }-{\mathrm{\Gamma }}^{\sigma }{}_{\mu \rho }{\mathrm{\Gamma }}^{\rho }{}_{\nu \sigma }.$

Этот тензор симметричен: $R_{\mu \nu }=R_{\nu \mu }$.

Скалярная кривизна

Скалярная кривизна является инвариантом, определяемым свёрткой тензора Риччи с метрикой

$R=g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }=R_{\nu }^{\nu }.$

Уравнения Эйнштейна

Шаблон:Основная Уравнения гравитационного поля, которые называются уравнениями Эйнштейна, записываются так

$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu },$

или так

$G_{\mu \nu }+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu },$

где $\mathrm{\Lambda }$ — космологическая константа, $c$ — скорость света в вакууме, $G$ — гравитационная постоянная, которая появляется также в законе всемирного тяготения Ньютона, $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R$ — тензор Эйнштейна, а $T_{\mu \nu }$ — тензор энергии-импульса.

Симметричный тензор $g_{\mu \nu }$ имеет только 10 независимых составляющих, тензорное уравнение Эйнштейна в заданной системе координат эквивалентно системе 10 скалярных уравнений. Эта система 10 связанных нелинейных уравнений в частных производных в большинстве случаев очень трудна для изучения.

Тензор энергии-импульса

Тензор энергии-импульса может быть записан в виде действительной симметричной матрицы 4x4:

$T_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}{T}_{00}& T_{01}& T_{02}& T_{03}\\ T_{10}& T_{11}& T_{12}& T_{13}\\ T_{20}& T_{21}& T_{22}& T_{23}\\ T_{30}& T_{31}& T_{32}& T_{33}\end{array}\right).$

В нём обнаруживаются следующие физические величины:

• T₀₀ — объёмная плотность энергии. Она должна быть положительной.
• T₁₀, T₂₀, T₃₀ — плотности компонент импульса.
• T₀₁, T₀₂, T₀₃ — компоненты потока энергии.
• Под-матрица 3 x 3 из чисто пространственных компонент:

$T_{ik}=\left(\begin{array}{ccc}{T}_{11}& T_{12}& T_{13}\\ T_{21}& T_{22}& T_{23}\\ T_{31}& T_{32}& T_{33}\end{array}\right)$

— матрица потоков импульсов. В механике жидкости диагональные компоненты соответствуют давлению, а прочие составляющие — тангенциальным усилиям (напряжениям или в старой терминологии — натяжениям), вызванным вязкостью.

Для жидкости в покое тензор энергии-импульса сводится к диагональной матрице $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\rho c^2,p,p,p)$, где $\rho$ есть плотность массы, а $p$ — гидростатическое давление.