Момент (математика)

Моме́нт поря́дка $k$ системы материальных точек относительно начала отсчёта (лат. momentum — движущая сила, толчок, побудительное начало, от moveo — двигаю; Шаблон:Lang-en) — понятие механики и теории вероятностей, сумма

$x_1^k{m}_1+x_2^k{m}_2+\cdots =\sum _i{x}_i^k{m}_i$,

где $m_1,m_2,\dots (m_i>0)$ — массы материальных точек, которые расположены на одной прямой; $x_1,x_2,\dots$ — абсциссы этих точек относительно заданного начала отсчёта на прямойШаблон:Sfn.

Статический момент — момент первого порядкаШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Момент инерции — момент второго порядкаШаблон:Sfn.

Абсолютный момент — момент, в формуле которого вместо абсцисс подставлены их абсолютные значенияШаблон:Sfn.

Центр, или центр тяжести, системы масс — точка прямой с абсциссой, заданной следующей формулойШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\frac{\sum _i{x}_i{m}_i}{\sum _i{m}_i}$.

Центральный момент — момент, который вычислен относительно центраШаблон:Sfn.

Любая система масс обладает следующими свойствамиШаблон:Sfn:

• центральный статистический момент равен нулю;
• центральный момент инерции наименьший из всех моментов инерции.

Неравенство Чебышёва. Сумма масс точек, находящихся от произвольной точки $O$ на расстоянии, большем $a$, не превышает момента инерции системы точек относительно точки $O$, разделённого на $a^2$Шаблон:Sfn.

Недискретное распределение массы

Момент порядка $k$ непрерывного распределения массы относительно начала отсчёта — абсолютно сходящийся интеграл

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{k}f(x)dx$,

где $f(x)⩾0$ — плотность Шаблон:Iw. Все упомянутые определения и теоремы при этом сохраняют силуШаблон:Sfn.

Еси же масса произвольно распределена, то суммы в выражениях для момента заменяются интегралами Стилтьеса. Именно таким путём и возник впервые интеграл Стилтьеса. Все упомянутые определения и теоремы при этом сохраняют силуШаблон:Sfn.

Теория вероятностей

Шаблон:Основная статья В теории вероятностей абсциссы заменяются различными возможными значениями случайной величины, а массы — соответствующими вероятностями, причём сумма всех вероятностей (масс) равна 1Шаблон:Sfn:

• математическое ожидание данной случайной величины — момент первого порядка, который в теории вероятностей есть абсцисса центра (сумма вероятностей 1);
• дисперсия данной случайной величины — центральный момент второго порядка.

Неравенство Чебышёва чрезвычайно важно в теории вероятностей. В математической статистике моменты служат обычно основными статистическими сводными характеристиками распределенийШаблон:Sfn.

Статические моменты плоской кривой

Определения

Статические моменты точки $M$ относительно осей $Ox$ и $Oy$ — произведения $my$ и $mx$ соответственно, где $m$ — масса материальной точки $M$, имеющей координаты $x$ и $y$ на плоскостиШаблон:Sfn.

Рассмотрим спрямляемую кривую $AB=\{r(l),0⩽l⩽L\}$, где $l$ — переменная длина дуги. Кривая $AB$ имеет массу, причём масса её дуги прямо пропорциональна длине дуги, то есть масса дуги длиной $\mathrm{\Delta }l$ равна $\mathrm{\Delta }m=\rho \mathrm{\Delta }l$, где $\rho$ — некоторая постояннаяШаблон:Sfn.

Линейная плотность кривой $AB$ — коэффициент пропорциональности $\rho =\frac{\mathrm{\Delta }m}{\mathrm{\Delta }l}$, где дуга длиной $\mathrm{\Delta }l$ имеет массу $\mathrm{\Delta }m$, то есть плотность кривой есть массе длины её дуги, которая приходится на единицу длины этой дугиШаблон:Sfn.

Однородная кривая — кривая с линейной плотностьюШаблон:Sfn.

Пусть для простоты в дальнейшем $\rho =1$, то есть дуга длиной $\mathrm{\Delta }l$ имеет массу $\mathrm{\Delta }l$, в частности, масса всей кривой $AB$ равна $L$Шаблон:Sfn.

Момент кривой относительно оси — момент $M_x$ ($M_y$) кривой $AB$ относительно оси $Ox$ ($Oy$) равен следующей величинеШаблон:Sfn:

$M_x=\underset{0}{\overset{L}{\int }}ydl$ $(M_y=\underset{0}{\overset{L}{\int }}xdl)$.

Центр тяжести кривой — точка плоскости $P(x_0,y_0)$ такая, что если в ней находится материальная точка с массой $L$ всей кривой $AB$, то тогда статический момент этой точки относительно любой координатной оси равен статическому моменту ей кривой относительно той же осиШаблон:Sfn.

По определению получаем, что

$x_{0}L=M_y,$ $y_{0}L=M_x,$

то есть имеем следующие формулыШаблон:Sfn:

$x_0=\frac{1}{L}\underset{0}{\overset{L}{\int }}xdl,$ $y_0=\frac{1}{L}\underset{0}{\overset{L}{\int }}ydl.$

Теорема Гульдина

Теорема Гульдина. Площадь поверхности вращения кривой около некоторой не пересекающей её оси равна произведению длины этой кривой и длины окружности, которая описана центром тяжести этой кривойШаблон:Sfn.

Доказательство. Сравним формулу ординаты центра тяжести кривой (непрерывно дифференцируемой без особых точек)

$y_{0}L=\underset{0}{\overset{L}{\int }}ydl$

с формулой площади поверхности вращения этой же кривой вокруг некоторой оси

$S=\underset{0}{\overset{L}{\int }}2\pi ydl$,

имеем интересное соотношение

$S=2\pi y_{0}L$,

которое и доказывает теоремуШаблон:Sfn.

Если у кривой известно положение центра тяжести, то тогда по теорема Гульдина легко находится площадь поверхности вращения этой кривойШаблон:Sfn.

Примеры

Площадь поверхности вращения окружности

Найдём площадь поверхности, полученной вращением окружности

$S=(x-a{)}^2+y^2=r^2,$ $0<r<a,$

не пересекающей ось $Oy$, вокруг этой оси, то есть площадь поверхности тора. Поскольку центр окружности совпадает с её центром тяжести, имеемШаблон:Sfn:

$S=2\pi a\cdot 2\pi r=4{\pi }^{2}ar$,

Центр тяжести цепной линии

Найдём центр тяжести цепной линии, выраженной следующей формулойШаблон:Sfn:

$y=a\mathrm{ch}\frac{x}{a},$ $-b⩽x⩽b.$

Цепная линия симметрична относительно оси $Oy$, поэтому момент

$M_y=0$,

что легко доказать: выберем за начало отсчёта дуг пересечение цепной линии с осью $Oy$, и пусть $2L$ — длина цепной линии, тогда

$M_y=\underset{-L}{\overset{L}{\int }}x(l)dl=0$,

так как $x(l)$ — нечётная функция. И поскольку $2L{x}_0=M_y$, то получаем первую координату центра тяжестиШаблон:Sfn:

$x_0=0$.

Рассмотрим выражение для следующего момента

$M_x=\underset{-L}{\overset{L}{\int }}ydl$,

причём

$2\pi M_x=2\pi y_{0}L=S_x$,

где $S_x$ — площадь поверхности вращения цепной линии вокруг оси $Ox$, то есть площадь поверхности катеноида. Но сама по себе площадь поверхности катеноида $S_x=\pi a(2b+a\mathrm{sh}\frac{2b}{a})$, следовательно, получаем следующее уравнениеШаблон:Sfn:

$M_x=\frac{a}{2}(2b+a\mathrm{sh}\frac{2b}{a})$.

С другой стороны, назначенную длину цепной линии $2L$ легко определить по формуле

$2L=\underset{-b}{\overset{b}{\int }}dl=\underset{-b}{\overset{b}{\int }}\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}=\underset{-b}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+y{\text{'}}^2}dx=$

$=\underset{-b}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+{\mathrm{sh}}^2\frac{x}{a}}dx=\underset{-b}{\overset{b}{\int }}\mathrm{ch}\frac{x}{a}=a\mathrm{sh}\frac{x}{a}{|}_{-b}^b=2a\mathrm{sh}\frac{b}{a}$,

откуда вытекает следующая формула для второй координаты центра тяжестиШаблон:Sfn:

$y_0=\frac{M_x}{2L}=\frac{2b+a\mathrm{sh}\frac{2b}{a}}{4\mathrm{sh}\frac{b}{a}}$.

Статические моменты плоской фигуры

Определения

Статические моменты плоской фигуры

Пусть дана некоторая плоская фигура $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B$ (см. рис.) — криволинейную трапецию, которая ограничена сверху кривой $AB$ с явным уравнением неотрицательной функции $y=f(x)$, и по этой фигуре равномерно распределена масса с постоянной поверхностной плотностью $\rho$. Без умаления общности положим $\rho =1$, то есть масса произвольной части фигуры равна её площади, что всегда подразумевается, когда рассматривают статические моменты (или центр тяжести) плоской фигурыШаблон:Sfn.

Вычислим статические моменты $M_x$ и $M_y$ криволинейной трапеции относительно осей координат. Рассмотрим произвольный элемент фигуры как бесконечно узкую вертикальную полоску (см. рис.). Аппроксимировав эту полоску прямоугольником, получаем её массу (и площадь) $ydx$. Пусть масса полоски сосредоточена в её центре тяжести, то есть в центре прямоугольника, что не меняет величины статических моментов. Координаты этого центра тяжести $(x+\frac{1}{2}dx,\frac{1}{2}y)=(x,\frac{1}{2}y)$, поскольку $\frac{1}{2}dx\cdot ydx$ есть бесконечно малая второго порядка. Поэтому получаем следующие элементарные статические моментыШаблон:Sfn:

$d{M}_x=\frac{1}{2}{y}^{2}dx,$ $d{M}_y=xydx.$

После суммирования этих элементарных моментов получаем статистические моменты

$M_x=\frac{1}{2}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{y}^{2}dx,$ $M_y=\underset{a}{\overset{b}{\int }}xydx,$

где $y=f(x)$Шаблон:Sfn.

Так же как и в случае статистических моментов кривой, теперь легко получить формулы для координат $x_0$ и $y_0$ центра тяжести плоской фигуры. Пусть $S$ — площадь (и масса) фигуры, тогда по основному свойству центра тяжести

$S{x}_0=M_y=\underset{a}{\overset{b}{\int }}xydx,$ $S{y}_0=M_x=\frac{1}{2}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{y}^{2}dx,$

откуда получаем следующие координаты центра тяжестиШаблон:Sfn:

$x_0=\frac{1}{S}{M}_y=\frac{1}{S}\underset{a}{\overset{b}{\int }}xydx,$ $y_0=\frac{1}{S}{M}_x=\frac{1}{2S}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{y}^{2}dx.$

Теорема Гульдина

Вторая теорема Гульдина. Объём тела вращения плоской фигуры около некоторой не пересекающей её оси равен произведению площади этой фигуры и длины окружности, которая описана центром тяжести этой фигурыШаблон:Sfn.

Доказательство. Сравним формулу ординаты центра тяжести плоской фигуры

$2y_{0}S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{y}^{2}dx$

с формулой тела вращения этой же кривой вокруг некоторой оси

$V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\pi y^{2}dx$,

имеем интересное соотношение

$V=2\pi y_{0}S$,

которое и доказывает теоремуШаблон:Sfn.

Эти формулы справедливы и для такой фигуры, которая ограничена снизу и сверху кривыми соответственно

$y_1=f_1(x),$ $y_2=f_2(x),$

в этом случае имеем следующие формулы статистических моментовШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$M_x=\frac{1}{2}\underset{a}{\overset{b}{\int }}(y_2^2-y_1^2)dx,$ $M_y=\underset{a}{\overset{b}{\int }}x(y_2-y_1)dx.$

Преобразование формул для координат центра тяжести очевидныШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$x_0=\frac{1}{S}{M}_y=\frac{1}{S}\underset{a}{\overset{b}{\int }}x(y_2-y_1)dx,$ $y_0=\frac{1}{S}{M}_x=\frac{1}{2S}\underset{a}{\overset{b}{\int }}(y_2^2-y_1^2)dx.$

Поскольку площадь такой фигуры есть

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(y_2-y_1)dx$,

то вторая теорема Гульдина верна и здесьШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Примеры

Статические моменты и центр тяжести фигуры, ограниченной параболой

Найдём оба статических момента $M_x$ и $M_y$, а также обе координаты $x_0$ и $y_0$ центра тяжести плоской фигуры — криволинейной трапеции, которая ограничена сверху параболой $y^2=2px$, снизу осью $x$ и сбоку прямой, параллельной оси ординат и соответствующей абсциссе $x$. Исходя из уравнения параболы $y=\sqrt{2px}$ и формул

$S{x}_0=M_y=\underset{0}{\overset{x}{\int }}xydx,$ $S{y}_0=M_x=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{y}^{2}dx,$

получаем следующие выражения для статистических моментовШаблон:Sfn:

$M_x=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{x}{\int }}2pxdx=\frac{1}{2}p{x}^2=\frac{1}{4}{y}^{2}x,$

$M_y=\underset{0}{\overset{x}{\int }}x\sqrt{2px}dx=\frac{2}{5}\sqrt{2p}{x}^{\frac{5}{2}}=\frac{2}{5}y{x}^2.$

Вычислим площадь криволинейной трапецииШаблон:Sfn:

$S=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sqrt{2px}dx=\frac{2}{3}\sqrt{2p}{x}^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}yx.$

Теперь по формулам

$x_0=\frac{1}{S}{M}_y,$ $y_0=\frac{1}{S}{M}_x$

находим следующие выражения для координат центра тяжестиШаблон:Sfn:

$x_0=\frac{3}{5}x,$ $y_0=\frac{3}{8}\sqrt{2px}=\frac{3}{8}y.$

По второй теореме Гульдина найдём объём тела вращения данной фигуры вокруг прямой, которой принадлежит правая граница фигурыШаблон:Sfn:

$V=2\pi (x-\frac{3}{5}x)S=\frac{8}{15}\pi x^{2}y.$

Центр тяжести фигуры, ограниченной аркой циклоиды и осью абсцисс

Найдём координаты $x_0$ и $y_0$ центра тяжести фигуры, ограниченной аркой циклоиды

$x=a(t-\sin t),$ $y=a(1-\cos t)$

и осью абсцисс. Поскольку площадь и объём тела вращения данной фигуры около оси абсцисс соответственно равны

$S=3\pi a^2,$ $V=5{\pi }^2{a}^3,$

из соображений симметрии и по второй теореме Гульдина соответственно получаемШаблон:Sfn:

$x_0=\pi a,$ $y_0=\frac{5}{6}a.$

Проблема моментов

Проблема моментов — проблема математического анализа по определению свойств произвольной функции $f(x)$ по известным свойствам последовательности её моментовШаблон:Sfn:

${\mu }_k=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{k}f(x)dx$.

Эту задачу впервые рассмотрел в 1874 году П. Л. Чебышёв в контексте исследований по теории вероятностей (при попытке доказать центральную предельную теорему). В последствии при рассмотрении этой задачи возникли новые мощные методы математического анализаШаблон:Sfn.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H