Связанное состояние

Связанное состояние — это сочетание двух или более фундаментальных строительных блоков, таких как частицы, атомы или тела, которые ведут себя как единый объект и для его разделения требуется энергия.

В квантовой физике связанное состояние — это квантовое состояние частицы, подверженное такому потенциалу, что частица имеет тенденцию оставаться локализованной в одной или нескольких областях пространства. Потенциал может быть внешним или быть результатом присутствия другой частицы; в последнем случае можно эквивалентно определить связанное состояние как состояние, представляющее две или более частицы, энергия взаимодействия которых превышает полную энергию каждой отдельной частицы в отдельности. Одним из последствий является то, что, учитывая потенциал, исчезающий на бесконечности, состояния с отрицательной энергией должны быть связаны. Энергетический спектр набора связанных состояний чаще всего дискретен, в отличие от состояний рассеяния свободных частиц, которые имеют непрерывный спектр.

Метастабильные состояния с чистой положительной энергией взаимодействия, но большим временем затухания, хотя и не являются связанными состояниями в строгом смысле этого слова, часто также считаются нестабильными связанными состояниями и называются «квазисвязанными состояниями». Примеры включают радионуклиды и атомы Ридберга.

В релятивистской квантовой теории поля устойчивое связанное состояние Шаблон:Mvar частиц с массами $\{m_k{\}}_{k=1}^n$ соответствует полюсу в S-матрице с энергией центра масс менее $\sum _k{m}_k$. Нестабильное связанное состояние проявляется в виде полюса со комплекснозначной энергией центра масс.

Примеры

Обзор различных семейств элементарных и составных частиц и теорий, описывающих их взаимодействия.

• Протон и электрон могут двигаться отдельно; когда они это делают, то общая энергия центра масс положительна, и такую пару частиц можно описать как ионизированный атом. Как только электрон начинает «вращаться» вокруг протона, энергия становится отрицательной и возникает связанное состояние — атом водорода. Стабильным является только связанное состояние, которое обладает наименьшей энергией, называемое основным состоянием. Другие возбуждённые состояния нестабильны и распадаются на стабильные (но не на другие нестабильные) связанные состояния с меньшей энергией, например, путём испускания фотона.
• Позитроний — это нестабильное связанное состояние электрона и позитрона. Он распадается на фотоны.
• Любое состояние квантового гармонического осциллятора является связанным, но имеет положительную энергию. Обратите внимание, что $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }{V}_{\text{QHO}}(x)=\mathrm{\infty }$, поэтому приведённое ниже неприменимо.
• Ядро — это связанное состояние протонов и нейтронов (нуклонов).
• Сам протон представляет собой связанное состояние трёх кварков (два верхних и один нижний; один красный, один зелёный и один синий). Однако, в отличие от атома водорода, отдельные кварки никогда не могут быть разделены.
• Модели Хаббарда и Джейнса — Каммингса — Хаббарда (JCH) оптсывают аналогичные связанные состояния. В модели Хаббарда два отталкивающихся бозонных атома могут образовывать связанную пару в оптической решётке. Гамильтониан JCH также имеет решение в виде двухполяритонных связанные состояний при достаточно сильном взаимодействии фотона с атомом.

Определение

Пусть [[пространство с мерой|Шаблон:Math -конечное пространство с мерой]] $(X,𝒜,\mu )$ есть вероятностное пространство, связанное с сепарабельным комплексным гильбертовым пространством $H$. Определимоднопараметрическую группу унитарных операторов $(U_t{)}_{t\in ℝ}$, оператор плотности $\rho =\rho (t_0)$ и наблюдаемую $T$ на $H$. Пусть $\mu (T,\rho )$ индуцирована распределением вероятностей $T$ относительно $\rho$. Тогда эволюция

$\rho (t_0)\mapsto [U_t(\rho )](t_0)=\rho (t_0+t)$

связан (ограничена) по отношению к $T$ если

$\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{t\ge t_0}{\sup }\mu (T,\rho (t))({ℝ}_{>R})=0$ ,

где ${ℝ}_{>R}=\{x\in ℝ\mid x>R\}$.Шаблон:Нет АИ

Квантовая частица находится в связанном состоянии, если ни в какой момент времени она не оказывается «слишком далеко» от любой конечной области $R\subset X$. Например, используя представление волновой функции, это означает

$\begin{array}{cc}0& =\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathbb{P}(\text{particle measured inside }X\setminus R)\\ & =\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X\setminus R}{\int }|\psi (x){|}^{2}d\mu (x),\end{array}$

такой, что

$\underset{X}{\int }|\psi (x){|}^{2}d\mu (x)<\mathrm{\infty }.$

В общем, квантовое состояние является связанным состоянием тогда и только тогда, когда оно конечно нормируемо во все времена $t\in ℝ$. Кроме того, связанное состояние лежит в пределах чисто точечной части спектра $T$ тогда и только тогда, когда оно является собственным состоянием $T$.

Говоря более неформально, «ограниченность» является результатом выбора области определения и характеристик состояния, а не наблюдаемой велечины. Для конкретного примера: пусть $H:=L^2(ℝ)$ и разрешим $T$ быть оператором координаты. Учитывая компактную $\rho =\rho (0)\in H$ и $[-1,1]\subseteq \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(\rho )$.

• Если эволюция состояния $\rho$ «перемещает этот волновой пакет вправо», например, если $[t-1,t+1]\in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(\rho (t))$ для всех $t\ge 0$, затем $\rho$ не является связанным состоянием по отношению к координате.
• Если $\rho$ не меняется во времени, то есть $\rho (t)=\rho$ для всех $t\ge 0$, тогда $\rho$ привязано по отношению к положению.
• В более общем случае: если эволюция состояния $\rho$ «просто движется $\rho$ внутри ограниченной области», то $\rho$ привязано по отношению к координате.

Характеристики

Поскольку конечно нормируемые состояния должны лежать в пределах чисто точечной части (дискретного) спектра, связанные состояния должны лежать в чисто точечной части. Однако, как указали Нейман и Вигнер, энергия связанного состояния может находиться в непрерывной части спектра. Это явление называется связанным состоянием в континууме.

Состояния, связанные с координатой

Рассмотрим одночастичное уравнение Шрёдингера. Если состояние обладает энергией $E<\max (\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }V(x),\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }V(x))$, то волновая функция Шаблон:Mvar удовлетворяет для некоторого $X>0$

$\frac{{\psi }^{\prime \prime }}{\psi }=\frac{2m}{{\hslash }^2}(V(x)-E)>0\text{ for }x>X$

так что Шаблон:Mvar экспоненциально затухает при больших Шаблон:Mvar. Такое поведение хорошо изучено для плавно меняющихся потенциалов в приближении ВКБ для волновой функции, где наблюдается колебательное поведение, если правая часть уравнения отрицательна, и поведение роста/затухания, если оно положительно. Следовательно, состояния с отрицательной энергией связаны, если V обращается в нуль на бесконечности.

Невырожденность в одномерных связанных состояниях

Ниже показано, что одномерные связанные состояния невырождены по энергии для волновых функций с хорошим поведением, которые затухают до нуля на бесконечности. Это не обязательно справедливо для волновой функции в более высоких измерениях. Благодаря свойству невырожденных состояний одномерные связанные состояния всегда можно выразить как действительные волновые функции.

Доказательство

Рассмотрим два собственных состояний ${\mathrm{\Psi }}_1$ и ${\mathrm{\Psi }}_2$ с одинаковым собственным значением энергии. Тогда, поскольку уравнение Шредингера выражается как: $$E=-\frac{1}{{\mathrm{\Psi }}_i(x,t)}\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{partia{l}^2{\mathrm{\Psi }}_i(x,t)}{\partial x^2}+V(x,t)$$ удовлетворяется для i = 1 и 2, вычитание двух уравнений даёт: $$\frac{1}{{\mathrm{\Psi }}_1(x,t)}\frac{{\partial }^2{\mathrm{\Psi }}_1(x,t)}{\partial x^2}-\frac{1}{{\mathrm{\Psi }}_2(x,t)}frac{\partial }^2{\mathrm{\Psi }}_2(x,t)\partial x^2=0$$ которое можно переставить, чтобы получить условие $$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_1}{\partial x}{\mathrm{\Psi }}_2\right)-\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_2}{\partial x}{\mathrm{\Psi }}_1\right)=0$$ Поскольку $\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_1}{\partial x}(x){\mathrm{\Psi }}_2(x)-\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_2}{\partial x}(x){\mathrm{\Psi }}_1(x)=C$, принимая предел x, стремящийся к бесконечности с обеих сторон, волновые функции исчезают и дают $C=0$. Решение задачи $\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_1}{\partial x}(x){\mathrm{\Psi }}_2(x)=\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_2}{\partial x}(x){\mathrm{\Psi }}_1(x)$, мы получаем: ${\mathrm{\Psi }}_1(x)=k{\mathrm{\Psi }}_2(x)$, что доказывает, что собственная функция энергии одномерного связанного состояния уникальна. Более того, можно показать, что эти волновые функции всегда могут быть представлены вполне реальной волновой функцией. Определить реальные функции ${\rho }_1(x)$ и ${\rho }_2(x)$ такой, что $\mathrm{\Psi }(x)={\rho }_1(x)+i{\rho }_2(x)$. Затем из уравнения Шрёдингера:$${\mathrm{\Psi }}^{″}=-\frac{2m(E-V(x))}{{\hslash }^2}\mathrm{\Psi }$$ мы получаем это, поскольку члены в уравнении все действительные значения $${{\rho }_i}^{″}=-\frac{2m(E-V(x))}{{\hslash }^2}{\rho }_i$$ применяется для i = 1 и 2. Таким образом, каждое одномерное связанное состояние может быть представлено вполне вещественными собственными функциями. Обратите внимание, что вещественное представление волновых функций из этого доказательства применимо для всех невырожденных состояний в целом.

Теорема об узлах

Теорема об узлах утверждает, что n-я связанная волновая функция, упорядоченная по возрастанию энергии, имеет ровно n-1 узлов, то есть точки $x=a$ где $\psi (a)=0\ne {\psi }^{\prime }(a)$ . Из-за формы независимых от времени уравнений Шрёдингера физическая волновая функция не может иметь $\psi (a)=0={\psi }^{\prime }(a)$ поскольку это соответствует решению $\psi (x)=0$.

Требования

Бозон с массой Шаблон:Math, передающий слабосвязанное взаимодействие, создаёт потенциал взаимодействия типа Юкавы:

$V(r)=\pm \frac{{\alpha }_{\chi }}{r}{e}^{-\frac{r}{\lambda {\frac{}{}}_{\chi }}}$ ,

где ${\alpha }_{\chi }=g^2/4\pi$, Шаблон:Math — калибровочная константа связи, Шаблон:Math

— приведённая комптоновская длина волны. Скалярный бозон создает универсальный потенциал притяжения, тогда как векторый притягивает частицы к античастицам, но отталкивает, как подобные пары. Для двух частиц массой m₁ и m₂ боровский радиус системы равен

$a_0=\frac{{\lambda {}^{{}^{\underset{\_}{}}}}_1+{\lambda {}^{{}^{\underset{\_}{}}}}_2}{{\alpha }_{\chi }}$

и даёт безразмерное число

$D=\frac{{\lambda {}^{{}^{\underset{\_}{}}}}_{\chi }}{a_0}={\alpha }_{\chi }\frac{{\lambda {}^{{}^{\underset{\_}{}}}}_{\chi }}{{\lambda {}^{{}^{\underset{\_}{}}}}_1+{\lambda {}^{{}^{\underset{\_}{}}}}_2}={\alpha }_{\chi }\frac{m_1+m_2}{m_{\chi }}$ .

Для того чтобы первое связанное состояние вообще существовало, $D\gtrsim 0.8$. Поскольку фотон безмассовый, то для электромагнетизма Шаблон:Math бесконечно. Для слабого взаимодействия масса Z-бозона равна Шаблон:Val, что предотвращает образование связанных состояний между большинством частиц, так как оно составляет Шаблон:Val массы протона и Шаблон:Val массы электрона.

Если бы хиггсовское взаимодействие не нарушило электрослабую симметрию на электрослабом масштабе, то SU(2) слабое взаимодействие обладало бы свойством конфайнмента.

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal