Хи-распределение

Шаблон:Вероятностное распределение Хи-распределение — непрерывное вероятностное распределение случайной величины, являющейся квадратным корнем суммы квадратов независимых нормальных случайных величин. Оно связано с хи-квадрат распределением и является распределением квадратного корня случайной величины, распределённой по закону ${\chi }^2$.

Если $Z_1,\dots ,Z_k$ являются независимыми, нормально распределёнными случайными величинами с нулевым математическим ожиданием (средним) и дисперсией равной 1, то статистика

$Y=\sqrt{\sum _{i=1}^k{Z}_i^2}$

распределена по закону хи. Соответственно, если оценку среднеквадратического отклонения $s$ разделить на ${\mu }_1/\sqrt{n-1}$, где ${\mu }_1$ — среднее хи-распределения, то получится несмещённая оценка среднеквадратического отклонения нормального распределения. Хи-распределение имеет один параметр — $k$, который задаёт число степеней свободы (то eсть количество $Z_i$).

Самые известные примеры — распределение Рэлея (число степеней свободы равно двум) и статистика Максвелла — Больцмана (число степеней свободы — три).

Определение

Плотность вероятности

Плотность вероятности хи распределения равна

$f(x;k)=\{\begin{array}{cc}\frac{x^{k-1}{e}^{-x^2/2}}{2^{k/2-1}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k}{2}\right)},& x⩾0;\\ 0,& x<0.\end{array}$

где $\mathrm{\Gamma }(z)$ — гамма-функция.

Функция распределения

Функция распределения равна:

$F(x;k)=P(k/2,x^2/2)$

где $P(k,x)$ — регуляризованная гамма-функция.

Производящие функции

Производящая функция моментов равна:

$M(t)=M(\frac{k}{2},\frac{1}{2},\frac{t^2}{2})+t\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }((k+1)/2)}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}M(\frac{k+1}{2},\frac{3}{2},\frac{t^2}{2}),$

где $M(a,b,z)$ — вырожденная гипергеометрическая функция Куммера. Характеристическая функция равна:

$\phi (t;k)=M(\frac{k}{2},\frac{1}{2},\frac{-t^2}{2})+it\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }((k+1)/2)}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}M(\frac{k+1}{2},\frac{3}{2},\frac{-t^2}{2}).$

Свойства

Моменты

Моменты вычисляются по формуле:

${\mu }_j=2^{j/2}\frac{\mathrm{\Gamma }((k+j)/2)}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}$

где $\mathrm{\Gamma }(z)$ — гамма-функция. Первые шесть моментов задаются по следующим формулам:

${\mu }_1=\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }((k+1)/2)}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}$

${\mu }_2=k$

${\mu }_3=2\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }((k+3)/2)}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}=(k+1){\mu }_1$

${\mu }_4=k(k+2)$

${\mu }_5=4\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }((k+5)/2)}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}=(k+1)(k+3){\mu }_1$

${\mu }_6=k(k+2)(k+4)$

где правые выражения получены, используя рекуррентное соотношение для гамма-функции:

$\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)$

Также из этих выражений можно получить следующие формулы:

Среднее: $\mu =\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }((k+1)/2)}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}$

Дисперсия: ${\sigma }^2=k-{\mu }^2$ — из выражений для первых двух моментов.

Коэффициент асимметрии: ${\gamma }_1=\frac{\mu }{{\sigma }^3}(1-2{\sigma }^2)$

Коэффициент эксцесса: ${\gamma }_2=\frac{2}{{\sigma }^2}(1-\mu \sigma {\gamma }_1-{\sigma }^2)$

Энтропия

Дифференциальная энтропия задаётся по формуле:

$S=\ln (\mathrm{\Gamma }(k/2))+\frac{1}{2}(k-\ln (2)-(k-1){\psi }^0(k/2))$

где ${\psi }^0(z)$ — полигамма-функция.

Связь с другими распределениями

• Если $X\sim {\chi }_k$, тогда $X^2\sim {\chi }_k^2$ (хи-квадрат-распределение)
• $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{\chi }_k-{\mu }_k}{{\sigma }_k}\stackrel{d}{\to }N(0,1)$ (нормальное распределение)
• Если $X\sim N(0,1)$, то $|X|\sim {\chi }_1$
• Если $X\sim {\chi }_1$, то $\sigma X\sim HN(\sigma )$ (полунормальное распределение) для любых $\sigma >0$
• ${\chi }_2\sim \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}(1)$ (распределение Рэлея)
• ${\chi }_3\sim \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}(1)$ (распределение Максвелла)
• $\Vert {𝑵}_{i=1,\dots ,k}(0,1){\Vert }_2\sim {\chi }_k$ (вторая норма от $k$ стандартных нормальных случайных величин — хи-распределение с $k$ степенями свободы)
• Хи-распределение — специальный случай гамма-распределения, распределение Накагами и нецентрального хи-распределения.

Виды распределений хи и хи-квадрат

Название	Статистика
хи-квадрат распределение	$\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i-{\mu }_i}{{\sigma }_i}\right)}^2$
нецентральное хи-квадрат распределение	$\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i}{{\sigma }_i}\right)}^2$
хи-распределение	$\sqrt{\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i-{\mu }_i}{{\sigma }_i}\right)}^2}$
нецентральное хи-распределение	$\sqrt{\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i}{{\sigma }_i}\right)}^2}$

См. также

• Распределение Накагами

Литература

• Martha L. Abell, James P. Braselton, John Arthur Rafter, John A. Rafter, Statistics with Mathematica (1999), 237f.
• Jan W. Gooch, Encyclopedic Dictionary of Polymers vol. 1 (2010), Appendix E, p. 972.

Ссылки

• http://mathworld.wolfram.com/ChiDistribution.html