Группа кватернионов

Диаграмма циклов группы Q. Каждый цвет отражает последовательность степеней некоторого элемента. Например, красный цикл отражает тот факт, что i ² = −1, i ³ = −i  и i ⁴ = 1, а также (−i )² = −1, (−i )³ = i  и (−i )⁴ = 1.

В теории групп группа кватернионов — это неабелева группа восьмого порядка, изоморфная набору из восьми кватернионов с операцией умножения. Она часто обозначается буквой Q или Q₈, и определяется заданием группы

$Q=⟨-1,i,j,k\mid (-1{)}^2=1,i^2=j^2=k^2=ijk=-1⟩,$

где 1 — единичный элемент, а элемент −1 коммутирует с остальными элементами группы.

Граф Кэли

Группа Q₈ имеет тот же порядок, что и диэдрическая группа Шаблон:Не переведено 5, но имеет другую структуру, что можно видеть на графах Кэли и диаграммах циклов:

Граф Кэли		Граф циклов
Q8 Красные стрелки обозначают умножение справа на i, а зелёные — умножение справа на j.	D4 Диэдрическая группа	Q8	Dih4

Диэдрическая группа D₄ получается из Шаблон:Не переведено 5 таким же образом, что и Q₈ из кватернионов.

Таблица Кэли

Таблица Кэли (таблица умножения) для Q:

Q×Q	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
1	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
−1	−1	1	−i	i	−j	j	−k	k
i	i	−i	−1	1	k	−k	−j	j
−i	−i	i	1	−1	−k	k	j	−j
j	j	−j	−k	k	−1	1	i	−i
−j	−j	j	k	−k	1	−1	−i	i
k	k	−k	j	−j	−i	i	−1	1
−k	−k	k	−j	j	i	−i	1	−1

Умножение шести мнимых единиц {±i, ±j, ±k} действует как векторное произведение единичных векторов в трёхмерном евклидовом пространстве.

$\begin{array}{cccc}ij& =k,& ji& =-k,\\ jk& =i,& kj& =-i,\\ ki& =j,& ik& =-j.\end{array}$

Свойства

Группа кватернионов имеет необычное свойство гамильтоновости — любая подгруппа группы Q является нормальной подгруппой, и при этом сама группа не является абелевой. Любая гамильтонова группа содержит копию группы Q.

Можно построить четырёхмерное векторное пространство с базисом {1, i, j, k} и превратить его в ассоциативную алгебру с использованием приведённой выше таблицы умножения базисных векторов и продолжив операцию умножения по дистрибутивности. Полученная алгебра будет телом кватернионов. Заметим, что это не то же самое, что и групповая алгебра Q (которая имеет размерность 8). Обратно, можно начать с кватернионов и определить группу кватернионов как мультипликативную подгруппу, состоящую из восьми элементов {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}. Комплексное четырёхмерное векторное пространство с тем же базисом называется алгеброй бикватернионов.

Заметим, что i, j и k имеют порядок 4 в Q и любые два из них порождают всю группу. Другое задание группы QШаблон:Sfn, показывающее это:

$⟨x,y\mid x^4=1,x^2=y^2,y^{-1}xy=x^{-1}⟩.$

Можно, например, взять i = x, j = y и k = xy.

Центром и коммутантом группы Q является подгруппа {±1}. Факторгруппа Q/{±1} изоморфна четверной группе Клейна V. Группа внутренних автоморфизмов группы Q изоморфна факторгруппе Q по центру, и потому также изоморфна четверной группе Клейна. Полная группа автоморфизмов группы Q изоморфна S₄, симметрической группе четырёх букв. Шаблон:Не переведено 5 группы Q является S₄/V, которая изоморфна S₃.

Матричное представление

Группа кватернионов как подгруппа SL(2,C)

Группа кватернионов может быть представлена как подгруппа полной линейной группы GL₂(C). Представление

$Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}\to {\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(𝐂)$

определяется матрицамиШаблон:Sfn

$1\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

$i\mapsto \left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right)$

$j\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$

$k\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right)$

Поскольку все из приведённых выше матриц имеют единичные определители, они задают представление группы Q в специальной линейной группе SL₂(C).

Группа кватернионов как подгруппа SL(2,3)

Существует также важное действие группы Q на восьми ненулевых элементах двумерного векторного пространства над конечным полем F₃. Представление

$Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}\to \mathrm{G}\mathrm{L}(2,3)$

определяется матрицами

$1\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

$i\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$

$j\mapsto \left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$

$k\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$

где {−1,0,1} — три элемента поля F₃. Поскольку определитель всех матриц над полем F₃ равен единице, это является представлением группы Q в специальной линейной группе SL(2, 3). Более того, группа SL(2, 3) имеет порядок 24, а Q является нормальной подгруппой группы SL(2, 3) с индекса 3.

Группа Галуа

Как показал Ричард Дин (Richard Dean) в 1981 году, группа кватернионов может быть задана как группа Галуа Gal(T/Q), где Q является полем рациональных чисел, а T является полем разложения многочлена

$x^8-72x^6+180x^4-144x^2+36$

над Q.

Доказательство использует основную теорему теории Галуа, а также две теоремы о циклических расширениях степени 4.

Обобщённая группа кватернионов

Группа называется обобщённой группой кватернионов (или дициклической группой), если она имеет задание Шаблон:Sfn

$⟨x,y\mid x^{2n}=y^4=1,x^n=y^2,y^{-1}xy=x^{-1}⟩.$

для некоторого целого n ≥ 2. Эта группа обозначается как Q_4n и имеет порядок 4n. Коксетер обозначил эти дициклические группы как <2,2,n>, рассматривая их как частный случай Шаблон:Не переведено 5 <l,m,n>, связанной с Шаблон:Не переведено 5 (p,q,r) и диэдральной группой (2,2,n). Обычная кватернионная группа соответствует случаю n = 2. Обобщённая кватернионная группа изоморфна подгруппе группы GL₂(C), порождённой элементами

$\left(\begin{array}{cc}{\omega }_n& 0\\ 0& {\bar{\omega }}_n\end{array}\right)$ и $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$

где ω_n = e^iπ/nШаблон:Sfn. Она также изоморфна группе, порождённой Шаблон:Sfn кватернионами x = e^iπ/n и y = j.

Шаблон:Не переведено 5 утверждает, что группы, для которых силовские 2-подгруппы являются обобщёнными кватернионами, не могут быть простыми.

См. также

• Бинарная группа тетраэдра
• Алгебра Клиффорда
• Дициклическая группа
• Кватернион Гурвица
• Список групп малого порядка
• Шестнадцатиячейник

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Внешние ссылки

• Шаблон:Mathworld