Метод функции Грина

Метод функции Грина — метод решения линейного дифференциального уравнения, позволяет посредством нахождения соответствующей оператору этого уравнения функции Грина практически напрямую получить частное решение. Эффективность определяется возможностью записать функцию Грина в явном виде.

Решение через функцию Грина применяется в краевых задачах для уравнений эллиптического типаШаблон:Sfn.

В физике метод находит применение при решении задачи об отклике физической системы на выводящее её из равновесия внешнее воздействие. В соответствии с принципом причинности, состояние системы полностью определяется её предысторией. Таким образом, для поиска состояния системы в данный момент требуется решить эволюционную задачу и возникающие в ней дифференциальные уравнения.

Если отклонение системы от состояния равновесия мало, то малы и нелинейные члены соответствующего разложения, значит реакцию системы можно изучать в рамках линейных уравнений. Поскольку основное состояние большинства рассматриваемых систем не меняется со временем, то возникающие уравнения имеют постоянные коэффициенты.

Уравнение с постоянными коэффициентами

Одномерное уравнение n-го порядка

Если для, в общем случае, полиномиального дифференциального оператора:

$L=a_n\frac{d^n}{d{t}^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{d{t}^{n-1}}+\dots +a_1\frac{d}{dt}+a_0$

задано уравнение:

$Lx(t)=\varphi (t)$,

то функция Грина $G$ оператора $L$ определяется решением:

$LG(t,t^{\prime })=\delta (t-t^{\prime })$

где $\delta$ — дельта-функция Дирака. Так как $a_i$ не зависят от времени, вид уравнения при замене $t\to t-t^{\prime }$ не меняется (соблюдается однородность по времени), поэтому функция Грина зависит от одного параметра: $G(t,t^{\prime })\equiv G(t-t^{\prime })$.

Согласно свойствам дельта-функции, верно равенство:

$\int LG(t-t^{\prime })\varphi (t^{\prime })d{t}^{\prime }=\int \delta (t-t^{\prime })\varphi (t^{\prime })d{t}^{\prime }=\varphi (t)$.

Тогда, при рассмотрении $t\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ в предположении, что начальные условия за бесконечное время забываются, непосредственной подстановкой проверяется, что решением уравнения будет:

$x(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}d{t}^{\prime }G(t-t^{\prime })\varphi (t^{\prime })$

Функция Грина таким образом определяет для момента времени $t$ влияние «ударного» воздействия на систему, прошедшего в момент времени $t^{\prime }$.

Однако, функция Грина может быть выбрана неоднозначно, с точностью до решения однородного (с нулевой правой частью) заданного уравнения. Принцип причинности же гласит, что система реагирует на воздействие приложенное в прошлом, но не в будущем. То есть $G(t,t^{\prime })=0$ при $t<t^{\prime }$.

Это ограничение обозначается с помощью функции Хевисайда $\theta (t)$ и функция Грина ищется в виде:

$G(t)=\theta (t)f(t)$,

где $f(t)$ является решением заданного однородного уравнения и зависит от $n-1$ постоянных.

В случае, когда $L$ не вырожден, $f(t)$ будет иметь вид:

$f(t)=\sum _i{b}_i\exp (-z_{i}t)$.

В силу свойств дельта-функции и её производных, а также некоторой симметрии бинома Ньютона:

$\int dt(\theta (t)f(t){)}^{(n)}=f^{(n-1)}(0)+\int dt\theta (t)f(t)$

Это приводит к:

$\int dtLG(t)=\int dt\delta (t)\iff \sum _{k=0}^{n-1}{a}_{k+1}{f}^{(k)}(0)=1$.

Так как члены, удовлетворяющие заданному однородному уравнению, сокращаются, то:

$\frac{d^{(n-1)}}{d{t}^{(n-1)}}f(0)=1/a_n;\frac{d^{(k)}}{d{t}^{(k)}}f(0)=0,k=0,1,\dots ,n-2$.

В этом случае уже возможно найти функцию Грина однозначно.

Если полагать, что для времени $t=0$, когда началась эволюция системы, были заданы начальные условия, то уравнение перепишется:

$Lx(t)=\varphi (t)+\sum _{k=0}^{n-1}{x}^{(k)}(0){\delta }^{(n-1-k)}(t)$.

Тогда:

$x(t)=\sum _{k=0}^{n-1}{x}^{(k)}(0)G^{(n-k-1)}(t)+{\int }_0^{t}d{t}^{\prime }G(t-t^{\prime })\varphi (t)$,

лишь последнее слагаемое здесь является вынужденным решением, вызываемым внешним воздействием.

Многомерное уравнение 1-го порядка

Ниже рассматривается линейное уравнение для векторной величины $𝒚$, где $\hat{\mathrm{\Gamma }}$ — матрица, определяющая динамику системы:

$\dot{𝒚}(t)+\hat{\mathrm{\Gamma }}𝒚(t)=𝝌(t)$.

К такому виду сводится рассмотренное уравнение $n$-го порядка для скалярной величины $x$. Для этого следует положить, что:

${𝒚}_i(t)=x^{(i-1)}(t)$

для начинающейся с единицы нумерации компонент.

Аналогично предыдущему случаю, решение записывается в виде:

$𝒚(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}d{t}^{\prime }\hat{G}(t-t^{\prime })𝝌(t^{\prime })$.

Функция Грина, удовлетворяющая условию:

$(\frac{d}{dt}+\hat{\mathrm{\Gamma }})\hat{G}(t)=\hat{1}\delta (t)$,

ищется, в свою очередь, в виде:

$\hat{G}(t)=\theta (t)\exp (-\hat{\mathrm{\Gamma }}t)$.

Экспоненту от матрицы принято рассматривать при переходе к собственному базису оператора $\hat{\mathrm{\Gamma }}$, где тот либо диагонален, либо содержит клетки Жордана (в случае вырожденных собственных значений).

Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа эволюционного уравнения позволяет свести процедуру решения к интегрированию в комплексной плоскости.

Преобразование для $LG(t)=\delta (t)$ для полиномиального оператора $L$ запишется

$ℒ\{LG(t)\}=ℒ\{\delta (t)\}\iff L(s)\tilde{G}(s)=1\Rightarrow \tilde{G}(s)=\frac{1}{L(s)}$

Где $\tilde{G}(s)=ℒ\{G(t)\}$, а $L(s)$ — соответствующий оператору $L$ многочлен, содержащий вместо n-й производной n-ю степень s.

Шаблон:Доказ1Тогда, по свойству преобразования Лапласа для свёртки:

$\tilde{x}(s)=ℒ\{\int dtG(t-t^{\prime })\varphi (t)\}=\frac{\tilde{\varphi }(s)}{L(s)}$

Где $\tilde{x}(s),\tilde{\varphi }(s)$ — преобразования Лапласа для $x(t),\varphi (t)$ соответственно.

После обратного преобразования:

$x(t)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{c-i\mathrm{\infty }}^{c+i\mathrm{\infty }}ds{e}^{st}\frac{\tilde{\varphi }(s)}{L(s)}$

Интеграл, в силу возможности сдвигать контур влево, в частности, считается использованием теоремы о вычетах. Таким образом, преобразование Лапласа указывает прямой путь к нахождению вынужденного решения. Описанное справедливо и для многомерного уравнения, с тем замечанием, что придётся использовать матричную функцию.

Неоднородное по времени уравнение

Если система не находится в равновесии, то её состояние меняется со временем, что выражается во временной зависимости коэффициентов. Это значит, что функция Грина зависит от обоих переменных:

$LG(t,t^{\prime })=\delta (t-t^{\prime })$

и решение для:

$G(t-t^{\prime })=\theta (t-t^{\prime })\exp (-\gamma t)$

перепишется:

$G(t,t^{\prime })=\theta (t-t^{\prime })\exp [-{\int }_{t^{\prime }}^{t}d\tau \gamma (\tau )]$.

При постоянном $\gamma$ уравнение приобретает прежний вид.

В случае векторного уравнения:

$\dot{𝒚}+\hat{\mathrm{\Gamma }}(t)𝒚=𝝌(t)$

матрицы $\hat{\mathrm{\Gamma }}$ в различные моменты времени, вообще говоря, не коммутируют, поэтому решение запишется с помощью хронологически Шаблон:Iw:

$G(t,t^{\prime })=\theta (t-t^{\prime })\mathrm{T}\exp [-{\int }_{t^{\prime }}^{t}d\tau \hat{\mathrm{\Gamma }}(\tau )]$.

Литература

• Колоколов И.В., Лебедев В. В. Избранные главы математической физики. с. 6-11, 13
• Шаблон:Книга