Правильный четырёхмерный многогранник

Правильные четырёхмерные многогранники являются четырёхмерными аналогами правильных многогранников в трёхмерном пространстве и правильных многоугольников на плоскости.

Правильные 4-мерные многогранники впервые были описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19-го века, хотя полное множество было открыто много позже.

Существует шесть выпуклых и десять звёздчатых правильных 4-мерных многогранников, в общей сумме шестнадцать.

История

Тессеракт — один из 6 выпуклых правильных 4-мерных многогранников

Выпуклые 4-мерные многогранники впервые были описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19-го века. Шлефли обнаружил, что существует ровно шесть таких тел.

Шлефли нашёл также четыре правильных звёздчатых 4-мерных многогранника Шаблон:Не переведено 5, Шаблон:Не переведено 5, Шаблон:Не переведено 5 и большой великий звёздчатый стодвадцатиячейник. Он пропустил оставшиеся шесть, поскольку он не разрешал нарушения эйлеровой характеристики на ячейках или вершинных фигурах (F − E + V = 2). Это исключает ячейки и вершинные фигуры, такие как {5,5/2} и {5/2,5}.

Эдмунд Гесс (1843–1903) опубликовал полный список в своей книге на немецком Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder (Введение в учение о делении поверхности шара с особым учётом его применения в теории равногранных и равноугольных многогранников) в 1883.

Построение

Существование правильного 4-мерного многогранника $\{p,q,r\}$ ограничено существованием правильных (3-мерных) многогранников $\{p,q\},\{q,r\}$, которые образуют его ячейки и ограничивают двугранный угол

$\sin \left(\frac{\pi }{p}\right)\sin \left(\frac{\pi }{r}\right)>\cos \left(\frac{\pi }{q}\right),$

чтобы ячейки представляли собой замкнутые 3-мерные поверхности.

Шесть выпуклых и десять звёздчатых многогранников, описываемых здесь, авляются единственными решениями, удовлетворяющими ограничениям.

Существует четыре невыпуклых символа Шлефли {p,q,r}, имеющие допустимые ячейки {p,q} и вершинные фигуры {q,r}, которые проходят тест на диэдральный угол, но которые не дают конечные фигуры — {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}.

Правильные выпуклые 4-мерные многогранники

Правильные выпуклые 4-мерные многогранники являются четырёхмерными аналогами платоновых тел в трёхмерном пространстве и выпуклых правильных многоугольников в двумерном.

Пять из них можно понимать как близкие аналоги платоновых тел. Существует одна дополнительная фигура, двадцатичетырёхъячейник, которая не имеет близкого трёхмерного эквивалента.

Каждый выпуклый правильный 4-мерный многогранник ограничен множеством 3-мерных Шаблон:Не переведено 5, которые являются платоновыми телами одного типа и размера. Ячейки соприкасаются друг с другом по граням, образуя правильную структуру.

Свойства

Следующие таблицы перечисляют некоторые свойства шести выпуклых правильных 4-мерных многогранников. Группы симметрии этих 4-мерных многогранников все являются группами Коксетера и даны в данной статье. Число, следующее за названием группы, равно порядку группы.

Имена	Рисунок	Семейство	Шлефли Коксетер	Вершин	Рёбра	Грани	Шаблон:Не переведено 5	Верш. фигура	Двой- ственный	Группа симметрии
пятиячейник пятигранник 4-симплекс		n-симплекс (Семейство An)	{3,3,3} Шаблон:CDD	5	10	10 {3}	5 {3,3}	{3,3}	(самодвой- ственный)	A4 [3,3,3]	120
восьмиячейник тессеракт 4-куб		n-куб (Семейство Bn)	{4,3,3} Шаблон:CDD	16	32	24 {4}	8 {4,3}	{3,3}	16-ячейник	B4 [4,3,3]	384
шестнадцатиячейник 4-ортоплекс		n-ортоплекс (Семейство Bn)	{3,3,4} Шаблон:CDD	8	24	32 {3}	16 {3,3}	{3,4}	8-ячейник	B4 [4,3,3]	384
двадцатичетырёхъячейник октаплекс полиоктаэдр (pO)		Семейство Fn	{3,4,3} Шаблон:CDD	24	96	96 {3}	24 {3,4}	{4,3}	(самодвой- ственный)	F4 [3,4,3]	1152
стодвадцатиячейник додекаконтихорон додекаплекс полидодекаэдр (pD)		n-пятиугольный многогранник (Семейство Hn)	{5,3,3} Шаблон:CDD	600	1200	720 {5}	120 {5,3}	{3,3}	600-ячейник	H4 [5,3,3]	14400
шестисотъячейник тетраплекс политетраэдр (pT)		n-пятиугольный многогранник (Семейство Hn)	{3,3,5} Шаблон:CDD	120	720	1200 {3}	600 {3,3}	{3,5}	120-ячейник	H4 [5,3,3]	14400

Джон Конвей является сторонником имён симплекс, ортоплекс, тессеракт, октаплекс или полиоктаэдр (pO), додекаплекс или полидодекаэдр (pD) и тетраплекс или политетраэдр (pT) Шаблон:Sfn.

Норман Джонсон является сторонником имён n-ячейник или пентахорон, тессеракт или октахорон, гексадекахорон, икоситетрахорон, гекатоникосаэдр (или додекаконтахорон) и гексакосихорон.

Характеристика Эйлера для всех 4-мерных многогранников равна нулю. Имеется 4-мерный аналог формулы Эйлера для многогранников:

$N_0-N_1+N_2-N_3=0$

где N_k означает число k-граней в многограннике (вершина является 0-гранью, ребро является 1-гранью, и т.д.).

Визуализация

Следующая таблица показывает некоторые 2-мерные проекции 4-мерных многогранников. Различные другие визуализации можно найти во внешних ссылках. Графы диаграмм Коксетера — Дынкина также даны ниже символа Шлефли.

A4 = [3,3,3]	BC4 = [4,3,3]		F4 = [3,4,3]	H4 = [5,3,3]
Пятиячейник	8-ячейник	16-ячейник	24-ячейник	120-ячейник	600-ячейник
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD
3-мерные ортографические проекции
тетраэдральная оболочка (центрировано по ячейке/вершине)	кубическая оболочка (центрировано по ячейке)	кубическая оболочка (центрировано по ячейке)	кубооктаэдральная оболочка (центрировано по ячейке)	Шаблон:Не переведено 5 (центрировано по ячейке)	Шаблон:Не переведено 5 (центрировано по ячейке)
Каркасы диаграмм Шлегеля (Перспективная проекция)
центрировано по ячейке	центрировано по ячейке	центрировано по ячейке	центрировано по ячейке	центрировано по ячейке	центрировано по вершине
Каркасы стереографических проекций (3-сфера)

Правильные звёздчатые 4-мерные многогранники (Шлефли–Гесса)

Шаблон:Не переведено 5, один из десяти многогранников Шлефли–Гесса (ортографическая проекция).

Четырёхмерные многогранники Шлефли–Гесса — полный список десяти правильных самопересекающихся звёздчатых четырёхмерных многогранников . Многогранники названы по именам открывателей — Людвига Шлефли и Эдмунда Гесса. Каждый многогранник представлен символом Шлефли {p,q,r}, в котором одно из чисел — 5/2. Многогранники аналогичны правильным невыпуклым многогранникам Кеплера — Пуансо.

Имена

Иерархия сокращённых имён Коксетера

Имена, приведённые здесь, даны Джоном Конвеем и расширяют имена Кэли для многогранников Кеплера — Пуансо — к модификаторам stellated (звёздчатый) и great (большой) он добавил grand (великий). Конвей определил следующие операции:

1. stellation (образование звёздчатой формы) заменяет рёбра на более длинные на тех же прямых. (Пример — пятиугольник преобразуется в пентаграмму)
2. greatening (увеличение) заменяет грани на грани большего размера на тех же плоскостях. (Пример — икосаэдр увеличивается в большой икосаэдр)
3. aggrandizement (возвеличивание) заменяет ячейки большими в тех же 3-мерных пространствах. (Пример — 600-cell возвеличивается в Шаблон:Не переведено 5)

Имена по Конвею для 10 форм из 3 4-мерных многогранников с правильными ячейками — pT=polytetrahedron (политетраэдр) {3,3,5} (тетраэдральный шестисотячейник), pI=polyicoshedron (полиикосаэдр) {3,5,5/2} (Шаблон:Не переведено 5) и pD=polydodecahedron (полидодекаэдр) {5,3,3} (додекаэдральный стодвадцатиячейник) с модифицирующими приставками g, a и s для great (большой), grand (великий) и stellated (звёздчатый). Конечная звёздчатая форма, great grand stellated polydodecahedron (большой великий звёздчатый полидодекаэдр), тогда получит обозначение gaspD.

Симметрия

Все десять полихоров имеют [3,3,5] (H₄) Шаблон:Не переведено 5. Они генерируются шестью связанными группами симметрии рационального порядка тетраэдров Гурса — [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2,5,5/2], [5,5/2,3] и [3,3,5/2].

Каждая группа имеет 2 правильных звёздчатых многогранников, за исключением двух самодвойственных групп, содержащих по одному многограннику. Таким образом, имеется 4 двойственные пары и 2 самодвойственные формы среди десяти правильных звёздчатых многогранников.

Свойства

Примечание:

• Существует два уникальных Шаблон:Не переведено 5, встречающихся в стодвадцатиячейнике и шестисотъячейнике.
• Существует четыре уникальных Шаблон:Не переведено 5, которые показаны как каркасы ортографических проекций.
• Существует семь уникальных Шаблон:Не переведено 5, показанные как тела (с цветными гранями) ортографических проекций.

Ячейки (3-мерные многогранники), их грани (многоугольники), многоугольные Шаблон:Не переведено 5 и многогранная вершинные фигуры представлены их символами Шлефли.

Название Аббревиатура Конвея	Ортогональная проекция	Шлефли Коксетер	Шаблон:Не переведено 5 {p, q}	Грани {p}	Рёбра {r}	Вершины {q, r}	Шаблон:Не переведено 5	χ
Шаблон:Не переведено 5 полиикосаэдр (pI)		{3,5,5/2} Шаблон:CDD	120 {3,5}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	4	480
Шаблон:Не переведено 5 звёздчатый полидодекаэдр (spD)		{5/2,5,3} Шаблон:CDD	120 {5/2,5}	720 {5/2}	1200 {3}	120 {5,3}	4	−480
Шаблон:Не переведено 5 большой полидодекаэдр (gpD)		{5,5/2,5} Шаблон:CDD	120 {5,5/2}	720 {5}	720 {5}	120 {5/2,5}	6	0
Шаблон:Не переведено 5 великий полидодекаэдр (apD)		{5,3,5/2} Шаблон:CDD	120 {5,3}	720 {5}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	20	0
Шаблон:Не переведено 5 большой звёздчатый полидодекаэдр (gspD)		{5/2,3,5} Шаблон:CDD	120 {5/2,3}	720 {5/2}	720 {5}	120 {3,5}	20	0
Шаблон:Не переведено 5 большой звёздчатый полидодекаэдр (aspD)		{5/2,5,5/2} Шаблон:CDD	120 {5/2,5}	720 {5/2}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	66	0
Шаблон:Не переведено 5 большой великий полидодекаэдр (gapD)		{5,5/2,3} Шаблон:CDD	120 {5,5/2}	720 {5}	1200 {3}	120 {5/2,3}	76	−480
Шаблон:Не переведено 5 большой полиикосаэдр (gpI)		{3,5/2,5} Шаблон:CDD	120 {3,5/2}	1200 {3}	720 {5}	120 {5/2,5}	76	480
Шаблон:Не переведено 5 великий политетраэдр (apT)		{3,3,5/2} Шаблон:CDD	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	191	0
Большой великий звёздчатый стодвадцатиячейник большой великий звёздчаты полидодекаэдр (gaspD)		{5/2,3,3} Шаблон:CDD	120 {5/2,3}	720 {5/2}	1200 {3}	600 {3,3}	191	0

См. также

• Правильные многомерные многогранники
• Список правильных многогранников и соединений
• Бесконечные правильные 4-мерные многогранники:
  • Правильные евклидовы соты: {4,3,4}
  • Четыре компактных правильных гиперболических сот: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}
  • Одиннадцать паракомпактных правильных гиперболических сот: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5}, and {6,3,6}.
• Абстрактные правильные 4-мерные многогранники:
  • Одиннадцатиячейник {3,5,3}
  • Шаблон:Не переведено 5 {5,3,5}
• Семейства Шаблон:Не переведено 5, построенные на основе этих 6 правильных форм.
• Платоновы тела
• Тело Кеплера — Пуансо – правильные звёздчатые многогранники
• Звёздчатый многоугольник – правильные звёздчатые многоугольники

Примечания

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
  • Dover Publications, 1958
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
  • (Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Mathworld
• Jonathan Bowers, 16 regular 4-polytopes Шаблон:Wayback
• Regular 4D Polytope Foldouts
• Catalog of Polytope Images Шаблон:Wayback A collection of stereographic projections of 4-polytopes.
• A Catalog of Uniform Polytopes Шаблон:Wayback
• Dimensions Шаблон:Wayback 2 hour film about the fourth dimension (contains stereographic projections of all regular 4-polytopes)
• Шаблон:Не переведено 5 Hecatonicosachoron на Glossary for Hyperspace
  • Шаблон:Не переведено 5 Hexacosichoron на Glossary for Hyperspace
  • Шаблон:Не переведено 5 Stellation на Glossary for Hyperspace
  • Шаблон:Не переведено 5 Greatening на Glossary for Hyperspace
  • Шаблон:Не переведено 5 Aggrandizement на Glossary for Hyperspace
• Reguläre Polytope
• The Regular Star Polychora