Симплекс

Шаблон:Другие значения Си́мплекс или n-ме́рный тетра́эдр (от Шаблон:Lang-la ‘простой’) — геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника.

Определение

Симплекс (точнее, n-симплекс, где число n называется размерностью симплекса) — это выпуклая оболочка n + 1 точки аффинного пространства (размерности n или больше), которые предполагаются аффинно независимыми (то есть не лежат в подпространстве размерности n − 1). Эти точки называются вершинами симплексаШаблон:Sfn^[1].

Симплекс может быть охарактеризован как множество всевозможных выпуклых комбинаций своих вершин $A_{i}$ :

Δ = {\sum_{i = 0}^{n} t_{i} A_{i} : (\sum_{i = 0}^{n} t_{i} = 1) \land (\forall i t_{i} ⩾ 0)} .

Связанные определения

Открытым симплексом называется множество всевозможных барицентрических комбинаций своих вершин с положительными коэффициентами (при этом симплекс с теми же вершинами, удовлетворяющий определению из предыдущего раздела, именуют также замкнутым симплексом; в соответствии с терминологией общей топологии, замкнутый симплекс есть замыкание соответствующего открытого симплекса, а этот открытый симплекс есть открытое ядро замкнутого симплекса)Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn.
Остовом симплекса называется множество всех его вершинШаблон:Sfn.
Рёбрами симплекса называются отрезки, соединяющие его вершиныШаблон:Sfn.
Гранями размерности s симплекса называются s-мерные симплексы, остовами которых служат подмножества остова исходного симплекса^[2].
Симплекс называют ориентированным, если его остов представляет собой вполне упорядоченное множество; при этом считается, что порядки, отличающиеся друг от друга чётной перестановкой вершин, задают одинаковую (под ориентированным $0$ -симплексом понимается точка, которой приписан знак: «плюс» или «минус»)^[2]^[3].
Симплекс, лежащий в евклидовом пространстве, называется правильным, если все его рёбра имеют одинаковую длину^[4].

Стандартный симплекс

Зелёный треугольник — стандартный 2-симплекс

Стандартный $n$ -симплекс — это подмножество арифметического пространства $ℝ^{n + 1}$ , определяемое какШаблон:Sfn

Δ^{n} = {(t_{0}, \dots, t_{n}) : (\sum_{i = 0}^{n} t_{i} = 1) \land (\forall i t_{i} ⩾ 0)} .

Его вершинами являются точкиШаблон:Sfn

e₀ = (1, 0, …, 0),

e₁ = (0, 1, …, 0),

…

e_n = (0, 0, …, 1).

Существует каноническое взаимно-однозначное отображение стандартного $n$ -симплекса в любой другой $n$ -симплекс Δ с координатами вершин $(v_{0}, v_{1}, \dots, v_{n})$ :

(t_{0}, \dots, t_{n}) \mapsto \sum_{i} t_{i} v_{i} .

Значения $t_{i}$ для данной точки симплекса Δ называются её барицентрическими координатами Шаблон:Sfn.

Свойства

n-мерный симплекс имеет n+1 вершин, любые k+1 из которых образуют k-мерную грань.
- В частности, число k-мерных граней в n-симплексе равно биномиальному коэффициенту $(\binom{n + 1}{k + 1}) .$
- В частности, число граней старшей размерности совпадает с количеством вершин и равно $n + 1$ .
Ориентированный объём n-симплекса в n-мерном евклидовом пространстве можно определить по формуле
$V = \frac{1}{n!} \det (v_{1} - v_{0}, v_{2} - v_{0}, \dots, v_{n} - v_{0}) .$
- Определитель Кэли — Менгера позволяет вычислить объём симплекса, зная длины его рёбер:
  $V^{2} = \frac{(- 1)^{n - 1}}{2^{n} (n!)^{2}} | \begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 0 & d_{01}^{2} & d_{02}^{2} & \dots & d_{0 n}^{2} \\ 1 & d_{10}^{2} & 0 & d_{12}^{2} & \dots & d_{1 n}^{2} \\ 1 & d_{20}^{2} & d_{21}^{2} & 0 & \dots & d_{2 n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & d_{n 0}^{2} & d_{n 1}^{2} & d_{n 2}^{2} & \dots & 0 \end{matrix} |,$

где

d_{i j} = | v_{i} - v_{j} |

— расстояние между i-й и j-й вершинами, n — размерность пространства. Эта формула является обобщением формулы Герона для треугольников.

Объём правильного n-симплекса с единичной стороной равен $\frac{\sqrt{n + 1}}{n! \cdot 2^{n / 2}}$ .

Радиус $R$ описанной n-мерной сферы удовлетворяет соотношению
$(R \cdot V)^{2} = T,$

где

V

— объём симплекса, и

T = \frac{(- 1)^{n}}{2^{n + 1} {(n!)}^{2}} | \begin{matrix} 0 & d_{01}^{2} & d_{02}^{2} & \dots & d_{0 n}^{2} \\ d_{10}^{2} & 0 & d_{12}^{2} & \dots & d_{1 n}^{2} \\ d_{20}^{2} & d_{21}^{2} & 0 & \dots & d_{2 n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ d_{n 0}^{2} & d_{n 1}^{2} & d_{n 2}^{2} & \dots & 0 \end{matrix} | .

Построение

Если размерность пространства равна n, то через любые n его точек можно провести гиперплоскость, и существуют множества из n + 1 точки, через которые гиперплоскость провести нельзя. Таким образом, n + 1 — минимальное число таких точек n-мерного пространства, которые не лежат в одной гиперплоскости; эти точки могут служить вершинами n-мерного многогранника Шаблон:Sfn.

Простейший n-мерный многогранник с количеством вершин n + 1 как раз и называется симплексом (принято также название «n-мерный тетраэдр»). В пространствах низшей размерности этому определению соответствуют такие фигурыШаблон:Sfn:

0-симплекс (точка) — 1 вершина;
1-симплекс (отрезок) — 2 вершины;
2-симплекс (треугольник) — 3 вершины;
3-симплекс (тетраэдр) — 4 вершины.

Все эти фигуры обладают тремя общими свойствами.

В соответствии с определением, число вершин у каждой фигуры на единицу больше размерности пространства.
Существует общее правило преобразования симплексов низшей размерности в симплексы высшей размерности. Оно заключается в том, что из некоторой точки симплекса проводят луч, не лежащий в аффинной оболочке данного симплекса, и на этом луче выбирают новую вершину, которую соединяют рёбрами со всеми вершинами исходного симплекса.
Как следует из описанной в пункте 2 процедуры, любая вершина симплекса соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Описанная сфера

Вокруг любого n-симплекса в евклидовом пространстве можно описать n-сферу.

Шаблон:Hider

Число граней симплекса

Симплекс имеет n + 1 вершин, каждая из которых соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Поскольку все вершины симплекса соединены между собой, то тем же свойством обладает и любое подмножество его вершин. Это значит, что любое подмножество из L + 1 вершин симплекса определяют его L-мерную грань, и эта грань сама является L-симплексом. Тогда для симплекса число L-мерных граней равно числу способов выбрать L + 1 вершину из полного набора n + 1 вершин.

Обозначим символом К(L, n) число L-мерных граней в n-многограннике; тогда для n-симплекса

K (L, n) = C_{n + 1}^{L + 1},

где $C_{n}^{k}$ — число сочетаний из n по k.

В частности, число граней старшей размерности равно числу вершин и равно n + 1:

K (0, n) = K (n - 1, n) = n + 1 .

Соотношения в правильном симплексе

Для правильного n-мерного симплекса обозначим:

$a$ — длина стороны;
$H_{n}$ — высота;
$V_{n}$ — объём;
$R_{n}$ — радиус описанной сферы;
$r_{n}$ — радиус вписанной сферы;
$α_{n}$ — двугранный угол.

Тогда

$H_{n} = a \sqrt{\frac{n + 1}{2 n}} = R_{n} \frac{n + 1}{n}$
$V_{n} = \frac{a^{n}}{n!} \sqrt{\frac{n + 1}{2^{n}}} = \frac{R_{n}^{n}}{n!} \sqrt{{(\frac{n + 1}{n})}^{n}}$
$R_{n} = a \sqrt{\frac{n}{2 (n + 1)}}$
$r_{n} = \frac{a}{\sqrt{2 n (n + 1)}} = \frac{R_{n}}{n}$
$\cos α = \frac{1}{n}$ ^[4]
$R_{n} = H_{n} \frac{n}{n + 1}$
$a^{2} = H_{n}^{2} + R_{n - 1}^{2}$
$V_{n} = \frac{1}{n} V_{n - 1} H_{n}$
$r_{n}^{2} = R_{n}^{2} - R_{n - 1}^{2}$

Формулы для правильного симплекса

Число L-мерных граней	$K (L, n) = (\binom{n + 1}{L + 1})$
Высота	$H_{n} = a \sqrt{\frac{n + 1}{2 n}}$	$H_{n} = R_{n} \frac{n + 1}{n}$	$H_{2} = a \frac{\sqrt{3}}{2}$	$H_{3} = a \frac{\sqrt{6}}{3}$	$H_{4} = a \frac{\sqrt{10}}{4}$
Объём	$V_{n} = \frac{a^{n}}{n!} \sqrt{\frac{n + 1}{2^{n}}}$	$V_{n} = \frac{R_{n}^{n}}{n!} \sqrt{{(\frac{n + 1}{n})}^{n}}$	$V_{2} = a^{2} \frac{\sqrt{3}}{4}$	$V_{3} = a^{3} \frac{\sqrt{2}}{12}$	$V_{4} = a^{4} \frac{\sqrt{5}}{96}$
Радиус описанной сферы	$R_{n} = a \sqrt{\frac{n}{2 (n + 1)}}$	$a = R_{n} \sqrt{\frac{2 (n + 1)}{n}}$	$R_{2} = a \frac{\sqrt{3}}{3}$	$R_{3} = a \frac{\sqrt{6}}{4}$	$R_{4} = a \frac{\sqrt{10}}{5}$
Радиус вписанной сферы	$r_{n} = \frac{a}{\sqrt{2 n (n + 1)}}$	$r_{n} = \frac{R_{n}}{n}$	$r_{2} = a \frac{\sqrt{3}}{6}$	$r_{3} = a \frac{\sqrt{6}}{12}$	$r_{4} = a \frac{\sqrt{10}}{20}$
Двугранный угол	$\cos α = \frac{1}{n}$