Аффинно-квадратичная функция

Аффи́нно-квадрати́чная фу́нкция — аналог понятия квадратичная форма для аффинных пространств.

Определение

Пусть далее $S$ — аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством $V$ над полем $𝕂$, характеристика которого не равна $2$.

Через координаты

Функция $Q:S\to 𝕂$ называется аффинно-квадратичной, если в некотором репере она задаётся при помощи квадратичного многочлена (или многочлена меньшей степени) от координат, то есть

$Q(P)=\sum _{1\le i\le j\le n}{a}_{ij}{x}_i{x}_j+\sum _{i=1}^n{b}_i{x}_i+c$.

В отличие от классического понятия квадратичной функции коэффициентам $a_{ij}$ разрешается быть одновременно нулями. Таким образом, многочлен может быть и линейным, и постоянным.

Через квадратичную форму

Функция $Q:S\to 𝕂$ называется аффинно-квадратичной, если для некоторой фиксированной точки $O\in S$ она задаётся соотношением

$Q(x+O)=q(x)+l(x)+c$,

где $x\in V$, $q$ — квадратичная форма на $V$, $l$ — линейная форма на $V$, $c$ — фиксированная константа $𝕂$Шаблон:Sfn.

Через биаффинную функцию

Можно дать определение аналогичное определению квадратичной формы через билинейную форму. Функцию $D:S\times S\to 𝕂$ назовём биаффинной, если при фиксированном одном из параметров, функция аффинна, то есть если $\mathrm{\forall }P\in S:D(P,\cdot ),D(\cdot ,P)$ — аффинные функции. Тогда $Q:S\to 𝕂$ называется аффинно-квадратичной, если для некоторой биаффинной функции $D$

$Q(P)=D(P,P)$.Шаблон:Sfn

Связь с биаффинными функциями

Согласно третьему определению, любая функция вида $D(P,P)$, где $D$ — биаффинная функция, является аффинно-квадратичной, и любая аффинно-квадратичная функция $Q(P)$ может быть представлена как $D(P,P)$, где $D$ — некоторая биаффинная функция. Однако для определённой аффинно-квадратичной функции биаффинная функция, определяющая её, определена неоднозначно. Однозначное соответствие можно получить, если дополнительно потребовать симметричность $D$, то есть верно следующее утверждение:

Для любой аффинно-квадратичной функции $Q(P)$ существует и единственна симметричная биаффинная функция $D(P,R)$ такая, что $Q(P)=D(P,P)$. Таким образом между афинно-квадратичными функциями и симметричными биаффинными есть взаимооднозначное соответствие.

Через заданную аффинно-квадратичную функцию $Q$ соответствующая симметричная биаффинная функция $D$ может быть выражена следующим образом:

$D(P,R)=2Q(\frac{1}{2}P+\frac{1}{2}R)-\frac{1}{2}Q(P)-\frac{1}{2}Q(R)$

Эта формула называется формулой поляризации (аналогично случаю квадратичных и билинейных форм). Суммы точек с коэффициентами здесь представляют собой аффинную комбинацию.

Все остальные биаффинные функции, определяющие данную аффинно-квадратичную функцию, получаются прибавлением к соответствующей симметричной произвольной антисимметричной биаффинной функции.

Преобразование при смене начала отсчёта

Согласно второму определению, для некоторой точки $O\in S$ любую аффинно-квадратичную функцию можно представить в виде $Q(x+O)=q(x)+l(x)+c$, где $q$ — квадратичная форма на $V$, $l$ — линейная форма на $V$, $c$ — фиксированная константа $𝕂$. Обратно, функция, задаваемая для определённой точки $O$ выражением $Q(x+O)=q(x)+l(x)+c$, является аффинно-квадратичной. Точку $O$ называют началом отсчёта.

На самом деле аффинно-квадратичная функция для любой точки $O\in S$ может быть задана в виде $Q(x+O)=q(x)+l(x)+c$. При этом квадратичная форма $q$ для заданной аффинно-квадратичной функции определена однозначно и не зависит даже от выбора точки $O$. Эта форма называется квадратичной частью $Q$. Матрица этой формы называется основной матрицей $Q$. Эта же матрица, по совместительству, является основной матрицей соответствующей симметричной биаффинной функции. Ранг основной матрицы называется малым рангом аффинно-квадратичной функции.Шаблон:Sfn

Форма $l$ и константа $c$ для заданной точки $O$ определены однозначно, однако для разных точек $O$ могут отличаться. Форма $l$ называется линейной частью $Q$ относительно точки $O$, а константа $c$ — постоянной частью относительно точки $O$.Шаблон:Sfn

При смене точки $O$ линейная и постоянная часть преобразуются следующим образом. Пусть $O^{\prime }=O+a$ — новая точка, тогда $Q(O^{\prime }+x)=q(x)+l^{\prime }(x)+c^{\prime }$ для некоторых $l^{\prime }$ и $c^{\prime }$. Эти $l^{\prime }$ и $c^{\prime }$ выражаются так:

$l^{\prime }(x)=2b(a,x)+l(x)$

$c^{\prime }=q(a)+l(a)+c$,

где $b$ — симметричная билинейная форма, соответствующая квадратичной форме $q$.Шаблон:Sfn

Преобразование при смене репера

Согласно первому определению, любую аффинно-квадратичную функцию в некотором репере можно представить в виде квадратичного многочлена (или многочлена меньшей степени) от координат. Верно большее: для любой аффинно-квадратичной функции это можно сделать в любом репере. Обратно, если функция задаётся квадратичным многочленом от координат, то она является аффинно-квадратичной.

Формулу в координатах можно получить из формулы через квадратичную форму. Пусть $(O,e)$ — репер, $A$ — матрица квадратичной части в базисе $e$, $B$ — вектор-строка координат линейной части относительно $O$ в базисе $e$, $c$ — постоянная часть относительно $O$. Тогда:

$Q(P)=x^{T}Ax+Bx+c$

С использованием понятия расширенной матрицы это выражение может быть записано ещё проще. Расширенной матрицей аффинно-квадратичной функции называется матрица

$A^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}A& \frac{B^T}{2}\\ \frac{B}{2}& c\end{array}\right)$

Тогда

$Q(P)=\left(\begin{array}{cc}{x}^T& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& \frac{B^T}{2}\\ \frac{B}{2}& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ 1\end{array}\right)=x{\text{'}}^T{A}^{\prime }{x}^{\prime }$

Правило преобразования коэффициентов при переходе к другому реперу также довольно просто записывается через расширенные матрицы. Пусть $T$ — матрица перехода от старого базиса к новому, $t$ — вектор-столбец координат нового начала отсчёта в старом репере. Тогда

$A{\text{'}}_2=\left(\begin{array}{cc}{A}_2& \frac{B{\text{'}}^T}{2}\\ \frac{B^{\prime }}{2}& c^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{T}^T& 0\\ t^T& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{A}_1& \frac{B^T}{2}\\ \frac{B}{2}& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}T& t\\ 0& 1\end{array}\right)=T{\text{'}}^{T}A{\text{'}}_1{T}^{\prime }$

Ранг расширенной матрицы называется большим рангом аффинно-квадратичной функции.

Связанные определения

• Аффинная квадрика — множество $X(Q)=\{P\in S:Q(P)=0\}$.
• Аффинно-квадратичные функции $Q_1$ и $Q_2$ называются аффинно эквивалентными, если существует такое аффинное преобразование $F$, что $Q_1(F(P))\equiv Q_2(P)$.
• Аффинно-квадратичные функции $Q_1$ и $Q_2$ на метрическом аффинном пространстве называются метрически эквивалентными, если существует такое движение $F$, что $Q_1(F(P))\equiv Q_2(P)$.

Центр

Центральной точкой аффинно-квадратичной функции $Q$ называется такая точка $O$ из $S$, что для любого $x$ из $V$ выполняется $Q(O+x)=Q(O-x)$. Множество всех центральных точек называется центром аффинно-квадратичной функцииШаблон:Sfn (некоторые авторы придерживаются иной терминологии: центрами они называют сами точки, а не их множество.Шаблон:Sfn Далее данная статья будет придерживаться первой терминологии).

Если центр $Q$ непуст, то такая аффинно-квадратичная функция называется центральной, а в противном случае нецентральной.

Точка $O$ является центром аффинно-квадратичной функции тогда и только тогда когда линейная часть относительно этой точки тождественно равна $0$Шаблон:Sfn. Шаблон:Hider

Множество центров аффинно-квадратичной функции в координатах есть решение СЛАУ $Ax=-\frac{B^T}{2}$ Шаблон:Hider

Квадратичная часть нецентральной аффинно-квадратичной функции вырождена (следует из предыдущего свойства и теоремы Кронекера — Капелли). Множество центров центральной аффинно-квадратичной функции является аффинным подпространством пространства $S$ размерности $\dim S-\mathrm{rk}q$, а его направляющее подпространство есть $\ker q$. Если квадратичная часть невырождена, то множество центров состоит из одной точки.Шаблон:Sfn

Нецентральная аффинно-квадратичная функция имеет хотя бы один нуль (следует из её канонического вида, который будет выведен далее).

Канонический вид

Канонический вид для центральной и нецентральной аффинно-квадратичной функции существенно отличаются друг от друга.

Центральный случай

Для приведения центральной аффинно-квадратичной функции к каноническому виду достаточно взять в качестве начала отсчёта любой из её центров, а в качестве базиса канонический базис для её квадратичной части. Тогда линейная часть обнулится, квадратичная примет канонический вид и аффинно-квадратичная функция примет вид:

$Q(P)={\lambda }_1{x}_1^2+...+{\lambda }_k{x}_k^2+c_0$, где $1\le k\le n$, все ${\lambda }_i\ne 0$.

Значение $c_0$ от выбора конкретного центра не зависит.

Нецентральный случай

Выберем базис, в котором квадратичная часть имеет канонический вид. Это приведёт аффинно-квадратичную функцию к виду $Q(P)=\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{y}_i^2+\sum _{i=1}^n{\mu }_i{y}_i+c_0=\sum _{i=1}^k{\lambda }_i(y_i+\frac{{\mu }_i}{2{\lambda }_i}{)}^2+\sum _{i=k+1}^n{\mu }_i{y}_i+c{\text{'}}_0$, где $k<n$, так как квадратичная часть нецентральной аффинно-квадратичной функции вырождена. Если бы ${\mu }_{k+1},...,{\mu }_n=0$, то замена $z_i=y_i+\frac{{\mu }_i}{2{\lambda }_i}$ при $i=1,...,k$, $z_i=y_i$ при $i=k+1,...,n$ приведёт $Q$ к виду $\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{z}_i^2+c{\text{'}}_0$, где линейная часть тождественно равна нулю, а значит, начало отсчёта является центром. Получается хотя бы один из коэффициентов ${\mu }_{k+1},...,{\mu }_n$ не равен нулю и можно сделать замену $x_i=y_i+\frac{{\mu }_i}{2{\lambda }_i}$ при $i=1,...,k$, $x_{k+1}={\mu }_{k+1}{y}_{k+1}+...+{\mu }_n{y}_n+c{\text{'}}_0$, $x_i=y_i$ при $i=k+2,...,n$, которая приведёт аффинно-квадратичную функцию к каноническому виду:

$Q(P)={\lambda }_1{x}_1^2+...+{\lambda }_k{x}_k^2+x_{k+1}$, где $1\le k<n$, все ${\lambda }_i\ne 0$.

Вопрос о единственности канонического вида аффинно-квадратичной функции сводится к вопросу о единственности канонического вида её квадратичной части. Если две аффинно-квадратичные функции имеют одинаковый канонический вид, то они аффинно эквивалентны.Шаблон:Sfn

Нормальный вид

Нормальный вид аффинно-квадратичной функции отличается от канонического тем, что квадратичная часть в нём имеет нормальный вид. Пусть $q(x)={\lambda }_1{x}_1^2+...+{\lambda }_k{x}_k^2$, где все ${\lambda }_i\ne 0$ — нормальный вид $q$. Тогда нормальный вид $Q$:

$Q(P)={\lambda }_1{x}_1^2+...+{\lambda }_k{x}_k^2+c_0$, где $1\le k\le n$ в центральном случае,

$Q(P)={\lambda }_1{x}_1^2+...+{\lambda }_k{x}_k^2+x_{k+1}$, где $1\le k<n$ в нецентральном случае

Конкретный произвол в выборе коэффициентов ${\lambda }_i$ зависит от поля $𝕂$ и должен быть рассмотрен в каждом отдельном случае.

Случай $𝕂=ℂ$

$Q(P)=x_1^2+...+x_k^2+c_0$ в центральном случае

$Q(P)=x_1^2+...+x_k^2+x_{k+1}$ в нецентральном случае

Случай $𝕂=ℝ$

$Q(P)=x_1^2+...+x_m^2-x_{m+1}^2-...-x_k^2+c_0$, где $0\le m\le k$ в центральном случае

$Q(P)=x_1^2+...+x_m^2-x_{m+1}^2-...-x_k^2+x_{k+1}$, где $0\le m\le k$ в нецентральном случае

Нормальный вид аффинно-квадратичной функции единственен. Две аффинно-квадратичные функции имеют одинаковый нормальный вид тогда и только тогда когда они аффинно эквивалентны.Шаблон:Sfn

Приведение к главным осям

В евклидовом, унитарном и иных аффинных пространствах, ассоциированных с векторным пространством со скалярным произведением может быть поставлена задача нахождения прямоугольной системы координат, в которой аффинно-квадратичная форма имеет наиболее простой вид. Здесь будет рассмотрена таковая для евклидова пространства.

Центральный случай

В качестве начала отсчёта нужно взять любой центр, а в качестве базиса ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид. Тогда аффинно-квадратичная функция будет приведена к виду:

$Q(P)={\lambda }_1{x}_1^2+...+{\lambda }_k{x}_k^2+c_0$, где $1\le k\le n$, все ${\lambda }_i\ne 0$

причём коэффициенты определены однозначно с точностью до перестановки (это следует из единственности вида квадратичной формы в главных осях).

Нецентральный случай

В нецентральном случае такая прямоугольная система координат, в которой аффинно-квадратичная функция имеет канонический вид, существует не всегда, однако если немного изменить его, то можно получить вид, который существует и единственен для любой функции.
Для приведения к такому виду нужно сначала привести квадратичную часть к главным осям. Получим: $Q(P)=\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{y}_i^2+\sum _{i=1}^n{\mu }_i{y}_i+c_0=\sum _{i=1}^k{\lambda }_i(y_i+\frac{{\mu }_i}{2{\lambda }_i}{)}^2+\sum _{i=k+1}^n{\mu }_i{y}_i+c{\text{'}}_0$.
Затем сделать следующую замену: $x_i=y_i+\frac{{\mu }_i}{2{\lambda }_i}$ при $i=1,...,k$, $x_{k+1}=\frac{{\mu }_{k+1}{y}_{k+1}+...+{\mu }_n{y}_n+c{\text{'}}_0}{\sqrt{{\mu }_{k+1}^2+...+{\mu }_n^2}}$, оставшиеся переменные взять так, чтобы замена была ортогональной (матрицу замены нужно достроить так, чтобы она была ортогональной. Это возможно сделать, так как первые $k$ строк уже образуют ортонормированную систему и достаточно просто её достроить до ортонормированного базиса). Окончательный вид получается:

$Q(P)={\lambda }_1{x}_1^2+...+{\lambda }_k{x}_k^2+p{x}_{k+1}$, где $1\le k<n$, все ${\lambda }_i\ne 0$, $p>0$.

Такой вид также является единственным с точностью до перестановки коэффициентов ${\lambda }_i$.

Две аффинно-квадратичных функции метрически эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый вид в главных осях.Шаблон:Sfn

Применение

Аффинно-квадратичные функции используются для классификации квадрик. К примеру: с помощью них можно получить стандартную аффинную или метрическую классификацию кривых и поверхностей второго порядка в евклидовом пространствеШаблон:Sfn.

См. также

• Аффинно-линейная функция

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга