Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

В этой статье векторы выделены жирным шрифтом, а их абсолютные величины — курсивом, например, $|𝐀|=A$.

Ве́ктор Лапла́са — Ру́нге — Ле́нца (вектор Лапласа, вектор Рунге — Ленца и вектор Ленца) — вектор, который используется для описания формы и ориентации орбиты, по которой одно небесное тело обращается вокруг другого (например, орбиты, по которой планета обращается вокруг звезды). В случае с двумя телами, взаимодействие которых описывается законом всемирного тяготения Ньютона, вектор Лапласа — Рунге — Ленца представляет собой интеграл движения, то есть его направление и величина постоянны независимо от точки орбиты, в которой они вычисляются; говорят, что вектор Лапласа — Рунге — Ленца сохраняется при гравитационном взаимодействии двух тел. Это утверждение можно обобщить на любую задачу с двумя телами, взаимодействующими посредством центральной силы, которая изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Такая задача называется Кеплеровой задачей.

Например, такой потенциал возникает при рассмотрении классических орбит (без учёта квантования) в задаче о движении отрицательно заряженного электрона в электрическом поле положительно заряженного ядра. Если вектор Лапласа — Рунге — Ленца задан, то форма относительного движения тел может быть получена из простых геометрических соображений, с использованием законов сохранения этого вектора и энергии.

Согласно принципу соответствия, у вектора Лапласа — Рунге — Ленца имеется квантовый аналог, который был использован в первом выводе спектра атома водорода ещё до открытия уравнения Шрёдингера.

В задаче Кеплера существует особенность: конец вектора импульса Шаблон:Math всегда движется по окружности. Из-за расположения этих кругов, для заданной полной энергии Шаблон:Math, задача Кеплера математически эквивалентна задаче о частице, свободно перемещающейся в четырёхмерной сфере $S_3$. Согласно этой математической аналогии, сохраняющийся вектор Лапласа — Рунге — Ленца соответствует дополнительным компонентам углового момента в четырёхмерном пространстве.

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца также известен как вектор Лапласа, вектор Рунге — Ленца и вектор Ленца, хотя ни один из этих учёных не был его первооткрывателем. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца переоткрывался несколько раз. Он также эквивалентен безразмерному вектору эксцентриситета в небесной механике. Для него также нет никакого общепринятого обозначения, хотя обычно используется символ Шаблон:Math. Для различных обобщений вектора Лапласа — Рунге — Ленца, которые будут определены ниже, используется символ $𝒜$.

Контекст

Для одиночной частицы, движущейся под воздействием любой консервативной центральной силы, существуют по крайней мере четыре интеграла движения (сохраняющиеся величины): полная энергия Шаблон:Math и три компоненты вектора углового момента Шаблон:Math. Орбита частицы лежит в плоскости, определяемой начальным импульсом частицы Шаблон:Math или скоростью Шаблон:Math и её радиус-вектором Шаблон:Math (рис. 1). Эта плоскость перпендикулярна постоянному вектору Шаблон:Math, что можно выразить математически с помощью скалярного произведения $𝐫\cdot 𝐋=0$.

Как указано ниже, вектор Лапласа — Рунге — Ленца Шаблон:Math всегда находится в плоскости движения, то есть равенство $𝐀\cdot 𝐋=0$ выполняется для любой центральной силы. Он также является постоянным только для силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния. Если центральная сила приближённо зависит от обратного квадрата расстояния, вектор Шаблон:Math является почти постоянным по длине, но медленно вращается. Для большинства центральных сил этот вектор Шаблон:Math не постоянен и изменяет как длину, так и направление. Обобщённый сохраняющийся вектор Лапласа — Рунге — Ленца $𝒜$ может быть определён для всех центральных сил, но этот вектор представляет собой сложную функцию положения и обычно не выражается аналитически в элементарных или специальных функциях.

История

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца Шаблон:Math является сохраняющейся величиной в задаче Кеплера и полезен при описании астрономических орбит, например движения планеты вокруг Солнца. Однако он никогда не был широко известен среди физиков, возможно, потому что он менее интуитивно понятен, чем импульс и угловой момент. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца независимо открывали несколько раз за прошедшие три столетия. Якоб Герман был первым, кто показал, что вектор Шаблон:Math сохраняется для специального случая центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния, и нашёл его связь с эксцентриситетом эллиптической орбиты. Работа Германа была обобщена до её современной формы Иоганном Бернулли в 1710 году. В свою очередь, Пьер-Симон Лаплас в конце XVIII столетия заново открыл сохранение вектора $𝐀$, доказав это аналитически, а не геометрически, как его предшественники.

В середине XIX века Уильям Гамильтон получил эквивалент вектора эксцентриситета, определённый ниже, и использовал его, чтобы показать, что конец вектора импульса Шаблон:Math движется по кругу под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния (рис. 3). В начале XX столетия Уиллард Гиббс нашёл тот же самый вектор с помощью векторного анализа. Вывод Гиббса использовал Карл Рунге в популярном немецком учебнике по векторам в качестве примера, на который ссылался Вильгельм Ленц в своей статье о квантовомеханическом рассмотрении атома водорода.

В 1926 году этот вектор применил Вольфганг Паули для вывода спектра атома водорода, используя современную матричную квантовую механику, а не уравнение Шрёдингера. После публикации Паули вектор стал известен как вектор Рунге — Ленца.

Математическое определение

Шаблон:Якорь2 Вектор Лапласа — Рунге — Ленца Шаблон:Math (показанный красным цветом) в четырёх точках (обозначенных 1, 2, 3 и 4) на эллиптической орбите связанной точечной частицы, движущейся под действием центральной силы, величина которой обратно пропорциональна квадрату расстояния. Маленький чёрный круг обозначает центр притяжения. От него начинаются радиус-векторы (выделены чёрным цветом), направленные в точки 1, 2, 3 и 4. Вектор углового момента Шаблон:Math направлен перпендикулярно орбите. Компланарные векторы Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math изображены синим, зелёным и красным цветами, соответственно; эти переменные определены ниже. Вектор Шаблон:Math является постоянным по направлению и величине

Для одиночной частицы, движущейся под воздействием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния и описываемой уравнением $𝐅(𝐫)=\frac{-k}{r^2}\widehat{𝐫}$, вектор Лапласа — Рунге — Ленца Шаблон:Math определён математически формулой

$𝐀=𝐩\times 𝐋-mk\widehat{𝐫},$

где Шаблон:Math — масса точечной частицы, движущейся под воздействием центральной силы, Шаблон:Math — вектор импульса, Шаблон:Math — вектор углового момента, Шаблон:Math — параметр, описывающий величину центральной силы, $\widehat{𝐫}$ — единичный вектор, то есть $\widehat{𝐫}=\frac{𝐫}{r}$, где Шаблон:Math — радиус-вектор положения частицы, и Шаблон:Math — его длина.

Поскольку предполагается, что сила консервативная, то полная энергия системы Шаблон:Math сохраняется

$E=\frac{p^2}{2m}-\frac{k}{r}=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{k}{r}.$

Из центральности силы следует, что вектор углового момента Шаблон:Math также сохраняется и определяет плоскость, в которой движется частица. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца Шаблон:Math перпендикулярен вектору углового момента Шаблон:Math и, таким образом, находится в плоскости орбиты. Уравнение Шаблон:Math верно, потому что векторы Шаблон:Math и Шаблон:Math перпендикулярны Шаблон:Math.

Это определение вектора Лапласа — Рунге — Ленца Шаблон:Math применимо для одиночной точечной частицы с массой Шаблон:Math, движущейся в стационарном (не зависящем от времени) потенциале. Кроме того, это определение может быть применено к задаче двух тел, такой как задача Кеплера, если заменить Шаблон:Math на приведённую массу этих двух тел и Шаблон:Math на вектор между ними.

Круговой годограф импульса

Шаблон:Якорь2 Конец вектора импульса Шаблон:Math (показанный синим цветом) двигается по кругу, когда частица совершает движение по эллипсу. Четыре помеченные точки соответствуют точкам на рис. 1. Центр круга находится на оси Шаблон:Math в точке Шаблон:Math (показан пурпурным), с радиусом Шаблон:Math (показан зелёным). Угол Шаблон:Math определяет эксцентриситет Шаблон:Math эллиптической орбиты (Шаблон:Math). Из теоремы о вписанном угле для круга следует, что Шаблон:Math является также углом между любой точкой на окружности и двумя точками пересечения окружности с осью Шаблон:Math, Шаблон:Math.

Сохранение вектора Лапласа — Рунге — Ленца Шаблон:Math и вектора углового момента Шаблон:Math используется в доказательстве того, что конец вектора импульса $𝐩$ движется по окружности под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния. Вычисляя векторное произведение Шаблон:Math и Шаблон:Math, получается уравнение для Шаблон:Math

$L^2𝐩=𝐋\times 𝐀-mk\widehat{𝐫}\times 𝐋.$

Направляя вектор Шаблон:Math вдоль оси Шаблон:Math, а главную полуось — вдоль оси Шаблон:Math, получаем уравнение

$p_x^2+(p_y-A/L{)}^2=(mk/L{)}^2.$

Другими словами, конец вектора импульса Шаблон:Math движется по окружности радиуса Шаблон:Math, центр которой расположен в точке с координатами Шаблон:Math. Эксцентриситет Шаблон:Math равен косинусу угла Шаблон:Math, показанного на рис. 2. Для краткости вводится переменная $p_0=\sqrt{2m|E|}$. Круговой годограф полезен для описания симметрии задачи Кеплера.

Интегралы движения и суперинтегрируемость

Семь скалярных величин — энергия Шаблон:Math и компоненты векторов Лапласа — Рунге — Ленца Шаблон:Math и момента импульса Шаблон:Math — связаны двумя соотношениями. Для векторов выполняется условие ортогональности Шаблон:Math, а энергия входит в выражение для квадрата длины вектора Лапласа — Рунге — Ленца, полученного выше Шаблон:Math. Тогда существует пять независимых сохраняющихся величин, или интегралов движения. Это совместимо с шестью начальными условиями (начальное положение частицы и её скорость являются векторами с тремя компонентами), которые определяют орбиту частицы, так как начальное время не определено интегралами движения. Поскольку величину Шаблон:Math (и эксцентриситет орбиты Шаблон:Math) можно определить из полного углового момента Шаблон:Math и энергии Шаблон:Math, утверждается, что независимо сохраняется только направление Шаблон:Math. Кроме того, вектор Шаблон:Math должен быть перпендикулярным Шаблон:Math — это приводит к одной дополнительной сохраняющейся величине.

Механическая система с Шаблон:Math степенями свободы может обладать максимум 2Шаблон:Math-1 интегралами движения, поскольку имеется 2Шаблон:Math начальных условий, а начальное время не может быть определено из интегралов движения. Система с более чем Шаблон:Math интегралами движения называется суперинтегрируемой, а система с 2Шаблон:Math-1 интегралами называется максимально суперинтегрируемой. Поскольку решение уравнения Гамильтона — Якоби в одной системе координат может привести только к Шаблон:Math интегралам движения, то переменные должны разделяться для суперинтегрируемых систем в больше чем одной системе координат. Задача Кеплера максимально суперинтегрируема, так как она имеет три степени свободы (Шаблон:Math) и пять независимых интегралов движения; переменные в уравнении Гамильтона — Якоби разделяются в сферических координатах и параболических координатах, как описано ниже. Максимально суперинтегрируемые системы могут быть квантованы с использованием только коммутационных соотношений, как показано ниже.

Уравнение Гамильтона — Якоби в параболических координатах

Постоянство вектора Лапласа — Рунге — Ленца можно вывести, используя уравнение Гамильтона — Якоби в параболических координатах Шаблон:Math, которые определяются следующим образом:

$\xi =r+x,$

$\eta =r-x,$

где $r=\sqrt{x^2+y^2}$ — радиус в плоскости орбиты. Обратное преобразование этих координат запишется в виде:

$x=\frac{1}{2}(\xi -\eta ),$

$y=\sqrt{\xi \eta }.$

Разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби в этих координатах даёт два эквивалентных уравнения:

$2\xi p_{\xi }^2-mk-mE\xi =-\beta ,$

$2\eta p_{\eta }^2-mk-mE\eta =\beta ,$

где Шаблон:Math — интеграл движения. Посредством вычитания этих уравнений и выражения в терминах декартовых координат импульса Шаблон:Math и Шаблон:Math можно показать, что Шаблон:Math эквивалентен вектору Лапласа — Рунге — Ленца

$\beta =p_y(x{p}_y-y{p}_x)-mk\frac{x}{r}=A_x.$

Этот подход Гамильтона — Якоби может быть использован для вывода сохраняющегося обобщённого вектора Лапласа — Рунге — Ленца $𝒜$ в присутствии электрического поля Шаблон:Math

$𝒜=𝐀+\frac{mq}{2}[(𝐫\times 𝐄)\times 𝐫],$

где Шаблон:Math — заряд обращающейся частицы.

Альтернативная формулировка

В отличие от импульса Шаблон:Math и углового момента Шаблон:Math, для вектора Лапласа — Рунге — Ленца нет общепринятого определения. В научной литературе используются несколько различных множителей и символов. Самое общее определение даётся выше, но другое определение возникает после деления на постоянную Шаблон:Math, чтобы получить безразмерный сохраняющийся вектор эксцентриситета

$𝐞=\frac{1}{mk}(𝐩\times 𝐋)-\widehat{𝐫}=\frac{m}{k}(𝐯\times 𝐫\times 𝐯)-\widehat{𝐫},$

где Шаблон:Math — вектор скорости. Направление этого масштабированного вектора Шаблон:Math совпадает с направлением Шаблон:Math, и его амплитуда равна эксцентриситету орбиты. Мы получим другие определения, если поделить Шаблон:Math на Шаблон:Math:

$𝐌=𝐯\times 𝐋-k\widehat{𝐫}$

или на Шаблон:Math

$𝐃=\frac{𝐀}{p_0}=\frac{1}{\sqrt{2m|E|}}\{𝐩\times 𝐋-mk\widehat{𝐫}\},$

который имеет ту же размерность, что и угловой момент (вектор Шаблон:Math). В редких случаях знак вектора Лапласа — Рунге — Ленца может быть изменён на противоположный. Другие общие символы для вектора Лапласа — Рунге — Ленца включают Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math. Однако выбор множителя и символа для вектора Лапласа — Рунге — Ленца не влияет на его сохранение.

Шаблон:Якорь2 Вектор углового момента Шаблон:Math, вектор Лапласа — Рунге — Ленца Шаблон:Math и вектор Гамильтона, бинормаль Шаблон:Math, являются взаимно перпендикулярными; Шаблон:Math и Шаблон:Math указывают соответственно на большую и на малую полуоси эллиптической орбиты в задаче Кеплера

Альтернативный сохраняющийся вектор, бинормаль — вектор Шаблон:Math был изучен Уильямом Гамильтоном

$𝐁=𝐩-\left(\frac{mk}{L^{2}r}\right)(𝐋\times 𝐫),$

который сохраняется и направлен вдоль малой полуоси эллипса. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца $𝐀=𝐁\times 𝐋$ является векторным произведением Шаблон:Math и Шаблон:Math (рис. 3). Вектор Шаблон:Math обозначен как бинормаль, так как он перпендикулярен как Шаблон:Math, так и Шаблон:Math. Подобно вектору Лапласа — Рунге — Ленца, вектор бинормали можно определить с различными множителями.

Два сохраняющихся вектора Шаблон:Math и Шаблон:Math можно объединить в сохраняющийся двухэлементный тензор

$𝐖=\alpha 𝐀\otimes 𝐀+\beta 𝐁\otimes 𝐁,$

где $\otimes$ обозначает тензорное произведение, а Шаблон:Math и Шаблон:Math — произвольные множители. Записанное в компонентной записи, это уравнение читается так

$W_{ij}=\alpha A_i{A}_j+\beta B_i{B}_j.$

Векторы Шаблон:Math и Шаблон:Math ортогональны друг другу, и их можно представить как главные оси сохраняющегося тензора Шаблон:Math, то есть как его собственные вектора. Шаблон:Math перпендикулярен Шаблон:Math

$𝐋\cdot 𝐖=\alpha (𝐋\cdot 𝐀)𝐀+\beta (𝐋\cdot 𝐁)𝐁=0,$

поскольку Шаблон:Math и Шаблон:Math перпендикулярны, то Шаблон:Math.

Вывод орбит Кеплера

Шаблон:Якорь2 Упрощённая версия рис. 1. Определяется угол Шаблон:Math между Шаблон:Math и Шаблон:Math в одной точке орбиты.

Зная вектор Лапласа — Рунге — Ленца Шаблон:Math, форму и ориентацию орбиты в задаче Кеплера можно определить следующим образом. Рассмотрим скалярное произведение векторов Шаблон:Math и Шаблон:Math (положение планеты)

$𝐀\cdot 𝐫=Ar\cos \theta =𝐫\cdot (𝐩\times 𝐋)-mkr,$

где Шаблон:Math — угол между векторами Шаблон:Math и Шаблон:Math (рис. 4). Поменяем порядок множителей в смешанном произведении $𝐫\cdot (𝐩\times 𝐋)=𝐋\cdot (𝐫\times 𝐩)=𝐋\cdot 𝐋=L^2$, и при помощи несложных преобразований получим определение для конического сечения

$\frac{1}{r}=\frac{mk}{L^2}(1+\frac{A}{mk}\cos \theta )$

с эксцентриситетом Шаблон:Math, заданным по формуле

$e=\frac{A}{mk}=\frac{|𝐀|}{mk}.$

Приходим к выражению квадрата модуля вектора Шаблон:Math в виде

$A^2=m^2{k}^2+2mE{L}^2,$

которое можно переписать, используя эксцентриситет орбиты

$e^2-1=\frac{2L^2}{m{k}^2}E.$

Таким образом, если энергия отрицательна, что соответствует связанным орбитам, эксцентриситет меньше, чем единица, и орбита имеет форму эллипса. Наоборот, если энергия положительна (несвязанные орбиты, также называемые орбитами рассеяния), эксцентриситет больше, чем единица, и орбита — гипербола. Наконец, если энергия точно равна нулю, эксцентриситет — единица, и орбита — парабола. Во всех случаях вектор Шаблон:Math направлен вдоль оси симметрии конического сечения и указывает на точку самого близкого положения точечной частицы от начала координат (перицентр).

Сохранение под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния

Сила Шаблон:Math, действующая на частицу, предполагается центральной. Поэтому

$𝐅=\frac{d𝐩}{dt}=f(r)\frac{𝐫}{r}=f(r)\widehat{𝐫}$

для некоторой функции Шаблон:Math радиуса Шаблон:Math. Поскольку угловой момент $𝐋=𝐫\times 𝐩$ сохраняется под действием центральных сил, то $\frac{d}{dt}𝐋=0$ и

$\frac{d}{dt}(𝐩\times 𝐋)=\frac{d𝐩}{dt}\times 𝐋=f(r)\widehat{𝐫}\times (𝐫\times m\frac{d𝐫}{dt})=f(r)\frac{m}{r}[𝐫(𝐫\cdot \frac{d𝐫}{dt})-r^2\frac{d𝐫}{dt}],$

где импульс записан в виде $𝐩=m\frac{d𝐫}{dt}$, и двойное векторное произведение упростилось с помощью формулы Лагранжа

$𝐫\times (𝐫\times \frac{d𝐫}{dt})=𝐫(𝐫\cdot \frac{d𝐫}{dt})-r^2\frac{d𝐫}{dt}.$

Тождество

$\frac{d}{dt}(𝐫\cdot 𝐫)=2𝐫\cdot \frac{d𝐫}{dt}=\frac{d}{dt}(r^2)=2r\frac{dr}{dt}$

приводит к уравнению

$\frac{d}{dt}(𝐩\times 𝐋)=-mf(r)r^2[\frac{1}{r}\frac{d𝐫}{dt}-\frac{𝐫}{r^2}\frac{dr}{dt}]=-mf(r)r^2\frac{d}{dt}\left(\frac{𝐫}{r}\right).$

Для специального случая центральной силы, зависящей обратно пропорциональной квадрату расстояния $f(r)=\frac{-k}{r^2}$, последнее выражение равно

$\frac{d}{dt}(𝐩\times 𝐋)=mk\frac{d}{dt}\left(\frac{𝐫}{r}\right)=\frac{d}{dt}(mk\widehat{𝐫}).$

Таким образом, Шаблон:Math сохраняется в этом случае

$\frac{d}{dt}𝐀=\frac{d}{dt}(𝐩\times 𝐋)-\frac{d}{dt}(mk\widehat{𝐫})=0.$

Как показано ниже, вектор Лапласа — Рунге — Ленца Шаблон:Math является частным случаем обобщённого сохраняющегося вектора $𝒜$, который может быть определён для любой центральной силы. Однако большинство центральных сил не формируют замкнутых орбит (см. теорема Бертрана), аналогичный вектор $𝒜$ редко имеет простое определение и в общем случае представляет собой многозначную функцию угла Шаблон:Math между Шаблон:Math и $𝒜$.

Изменение под действием возмущающих центральных сил

Шаблон:Якорь2 Медленно прецессирующая эллиптическая орбита, с эксцентриситетом Шаблон:Math. Такая прецессия возникает в задаче Кеплера, если притягивающая центральная сила немного отличается от закона тяготения Ньютона. Скорость прецессии можно вычислить, используя приведённые в параграфе формулы.

Во многих практических задачах, таких как планетарное движение, взаимодействие между двумя телами лишь приблизительно обратно пропорционально квадрату расстояния. В таких случаях вектор Лапласа — Рунге — Ленца Шаблон:Math не постоянен. Однако, если возмущающий потенциал Шаблон:Math зависит только от расстояния, то полная энергия Шаблон:Math и вектор углового момента Шаблон:Math сохраняются. Поэтому траектория движения всё ещё находится в перпендикулярной к Шаблон:Math плоскости, и величина Шаблон:Math сохраняется, согласно уравнению Шаблон:Math. Следовательно, направление вектора Шаблон:Math медленно вращается по орбите в плоскости. Используя каноническую теорию возмущений и координаты действие-угол, можно прямо показать, что Шаблон:Math вращается со скоростью

$\frac{\partial }{\partial L}⟨h(r)⟩=\frac{\partial }{\partial L}\{\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}h(r)dt\}=\frac{\partial }{\partial L}\{\frac{m}{L^2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{r}^{2}h(r)d\theta \},$

где Шаблон:Math — период орбитального движения и равенство $Ldt=m{r}^{2}d\theta$ использовалось, чтобы преобразовать интеграл по времени в интеграл по углу (рис. 5). Например, принимая во внимание эффекты общей теории относительности, приходим к добавке, которая в отличие от обычной гравитационной силы Ньютона зависит обратно пропорционально кубу расстояния:

$h(r)=\frac{k{L}^2}{m^2{c}^2}\left(\frac{1}{r^3}\right).$

Подставив эту функцию в интеграл и использовав уравнение

$\frac{1}{r}=\frac{mk}{L^2}(1+\frac{A}{mk}\cos \theta ),$

чтобы выразить Шаблон:Math как функцию Шаблон:Math, вызванная этим возмущением скорость прецессии перицентра запишется в виде

$\frac{6\pi k^2}{T{L}^2{c}^2}.$

Она близка по значению к величине прецессии для Меркурия, необъяснённой ньютоновской теорией гравитации. Это выражение используется для оценки прецессии, связанной с поправками общей теории относительности для двойных пульсаров. Это согласие с экспериментом является сильным аргументом в пользу общей теории относительности.

Теория групп

Теорема Нётер

Теорема Нётер утверждает, что инфинитезимальная вариация обобщённых координат физической системы

$\delta q_i=\epsilon g_i(𝐪,\dot{𝐪},t)$

вызывает изменение функции Лагранжа в первом порядке на величину полной производной по времени

$\delta L=\epsilon \frac{d}{dt}G(𝐪,t),$

что соответствует сохранению величины

$J=-G+\sum _i{g}_i\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\right).$

Эта компонента вектора Лапласа — Рунге — Ленца Шаблон:Math соответствует вариации координат

${\delta }_s{x}_i=\frac{\epsilon }{2}[2p_i{x}_s-x_i{p}_s-{\delta }_{is}(𝐫\cdot 𝐩)],$

где Шаблон:Math принимает значения 1, 2 и 3, а Шаблон:Math и ${\dot{x}}_i$ — Шаблон:Math-е компоненты векторов положения Шаблон:Math и скорости $\dot{𝐫}$, соответственно. Функция Лагранжа данной системы

$L=\frac{m{\dot{r}}^2}{2}+\frac{k}{r}.$

Получающееся изменение в первом порядке малости для функции Лагранжа запишется как

$\delta L=\frac{1}{2}\epsilon mk\frac{d}{dt}\left(\frac{x_s}{r}\right).$

Это приводит к сохранению компоненты Шаблон:Math

$A_s=[p^2{x}_s-p_s(𝐫\cdot 𝐩)]-mk\left(\frac{x_s}{r}\right)={[𝐩\times (𝐫\times 𝐩)]}_s-mk\left(\frac{x_s}{r}\right).$

Преобразование Ли

Шаблон:Якорь2 Преобразование Ли, из которого выводится сохранение вектора Лапласа — Рунге — Ленца Шаблон:Math. Когда масштабируемый параметр $\lambda$ изменяется, энергия и угловой момент тоже меняются, но эксцентриситет Шаблон:Math и вектор Шаблон:Math не изменяются.

Существует другой метод вывода сохранения вектора Лапласа — Рунге — Ленца, использующий вариацию координат без привлечения скоростей. Масштабирование координат Шаблон:Math и времени Шаблон:Math с разной степенью параметра Шаблон:Math (рис. 6)

$t\to {\lambda }^{3}t,𝐫\to {\lambda }^2𝐫,𝐩\to \frac{1}{\lambda }𝐩$

изменяет полный угловой момент Шаблон:Math и энергию Шаблон:Math:

$L\to \lambda L,E\to \frac{1}{{\lambda }^2}E$

— но сохраняет произведение Шаблон:Math. Отсюда следует, что эксцентриситет Шаблон:Math и величина Шаблон:Math сохраняются в уже упомянутом ранее уравнении

$A^2=m^2{k}^2{e}^2=m^2{k}^2+2mE{L}^2.$

Направление вектора Шаблон:Math также сохраняется, поскольку полуоси не изменяются при масштабировании. Это преобразование оставляет верным третий закон Кеплера, то есть полуось Шаблон:Math и период Шаблон:Math входят в состав сохрагяюзейся величины Шаблон:Math.

Скобки Пуассона

Для трёх компонент Шаблон:Math вектора углового момента Шаблон:Math можно определить скобки Пуассона

$[L_i,L_j]=\sum _{s=1}^3{\epsilon }_{ijs}{L}_s,$

где индекс Шаблон:Math пробегает значения 1, 2, 3 и ${\epsilon }_{ijs}$ — абсолютно антисимметричный тензор, то есть символ Леви-Чивита (третий индекс суммирования Шаблон:Math, чтобы не путать с силовым параметром Шаблон:Math, определённым выше). В качестве скобок Пуассона используются квадратные скобки (а не фигурные), как и в литературе и, в том числе, чтобы интерпретировать их как квантовомеханические коммутационные соотношения в следующем разделе.

Как показано выше, изменённый вектор Лапласа — Рунге — Ленца Шаблон:Math можно определить с той же размерностью, что и угловой момент, разделив Шаблон:Math на Шаблон:Math. Скобка Пуассона Шаблон:Math с вектором углового момента Шаблон:Math запишется в похожем виде

$[D_i,L_j]=\sum _{s=1}^3{\epsilon }_{ijs}{D}_s.$

Скобка Пуассона Шаблон:Math с Шаблон:Math зависит от знака Шаблон:Math, то есть когда полная энергия Шаблон:Math отрицательна (эллиптические орбиты под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния) или положительная (гиперболические орбиты). Для отрицательных энергий скобки Пуассона примут вид

$[D_i,D_j]=-\sum _{s=1}^3{\epsilon }_{ijs}{L}_s.$

В то время как для положительных энергий скобки Пуассона имеют противоположный знак

$[D_i,D_j]=\sum _{s=1}^3{\epsilon }_{ijs}{L}_s.$

Инварианты Казимира для отрицательных энергий определяются посредством следующих соотношений:

$C_1=𝐃\cdot 𝐃+𝐋\cdot 𝐋=\frac{m{k}^2}{2|E|},$

$C_2=𝐃\cdot 𝐋=0$

и мы имеем нулевые скобки Пуассона для всех компонент Шаблон:Math и Шаблон:Math

$[C_1,L_i]=[C_1,D_i]=[C_2,L_i]=[C_2,D_i]=0.$

Величина Шаблон:Math равна нулю, из-за ортогональности векторов. Однако другой инвариант Шаблон:Math нетривиален и зависит только от Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math. Этот инвариант можно использовать для вывода спектра атома водорода, используя только квантовомеханическое каноническое коммутационное соотношение, вместо более сложного уравнения Шрёдингера.

Законы сохранения и симметрия

Вариация координаты приводит к сохранению длины вектора Лапласа — Рунге — Ленца (см. теорема Нётер). Это сохранение можно рассматривать как некоторую симметрию системы. В классической механике, симметрии — непрерывные операции, которые отображают одну орбиту на другую, не изменяя энергию системы; в квантовой механике, симметрии — непрерывные операции, которые смешивают атомные орбитали, не изменяя полную энергию. Например, наличие центральной силы приводит к сохранению углового момента Шаблон:Math. В физике обычно встречаются консервативные центральные силы, обладающие симметрией группы вращения SO(3). Классически, полное вращение системы не затрагивает энергию орбиты; квантовомеханически, вращения смешивают сферические функции с тем же самым квантовым числом Шаблон:Math (вырожденные состояния), не изменяя энергию.

Шаблон:Якорь2 Семейство кругов годографа импульса для заданной энергии Шаблон:Math. Все круги проходят через две точки $\pm p_0=\pm \sqrt{2m|E|}$ на оси Шаблон:Math (сравните с рис. 3). Это семейство годографов соответствует семейству окружностей Аполлония, а Шаблон:Math — изоповерхностям биполярных координат.

Симметрия повышается для центральной силы, обратной квадрату расстояния. Специфическая симметрия проблемы Кеплера приводит к сохранению как вектора углового момента Шаблон:Math, так и вектора Лапласа — Рунге — Ленца Шаблон:Math (как определено выше) и в квантовой механике гарантирует, что уровни энергии атома водорода не зависят от квантовых чисел углового момента Шаблон:Math и Шаблон:Math. Симметрия является более тонкой, потому что операция симметрии должна осуществляться в пространстве большей размерности; такие симметрии часто называют скрытыми симметриями. С точки зрения классической механики более высокая симметрия задачи Кеплера учитывает непрерывные изменения орбит, которые сохраняют энергию, но не угловой момент. Другими словами, орбиты с одинаковой энергией, но различными угловыми моментами (эксцентриситетом) могут быть преобразованы непрерывно друг в друга. Квантовомеханически это соответствует смешиванию орбиталей, которые отличаются квантовыми числами Шаблон:Math и Шаблон:Math, например, атомные орбитали Шаблон:Math типа (Шаблон:Math) и Шаблон:Math типа (Шаблон:Math). Такое смешивание нельзя получить обычными трёхмерными трансляциями или вращениями, но оно эквивалентно вращению в пространстве с более высоким измерением.

Связанная система с отрицательной полной энергией обладает симметрией SO(4), которая сохраняет длину четырёхмерных векторов

$|𝐞{|}^2=e_1^2+e_2^2+e_3^2+e_4^2.$

В 1935 году Владимир Фок показал, что квантовомеханическая проблема Кеплера эквивалентна проблеме свободной частицы, ограниченной четырёхмерной гиперсферой. В частности, Фок показал, что волновая функция уравнения Шрёдингера в пространстве импульсов для проблемы Кеплера представляет собой четырёхмерное обобщение стереографической проекции сферических функций из 3-сферы в трёхмерное пространство. Вращение гиперсферы и перепроектирование приводят к непрерывному преобразованию эллиптических орбит, не изменяющему энергию; квантовомеханически это соответствует смешиванию всех орбиталей с одинаковым главным квантовым числом Шаблон:Math. Валентин Баргман отметил впоследствии, что скобки Пуассона для вектора углового момента Шаблон:Math и скалированного вектора Лапласа — Рунге — Ленца Шаблон:Math формируют алгебру Ли для группы SO(4). Эти шесть величин Шаблон:Math и Шаблон:Math соответствуют шести сохраняющимся угловым моментам в четырёх измерениях, связанным с шестью возможными простыми вращениями в этом пространстве, поскольку существует шесть способов выбрать две оси из четырёх. Этот вывод не подразумевает, что наша Вселенная — четырёхмерная гиперсфера. Эта специфическая физическая задача (проблема двух тел для центральной силы, зависящей обратно квадрату расстояния) математически эквивалентна движению свободной частице по четырёхмерной гиперсфере.

Рассеянная система с положительной полной энергией обладает симметрией SO(3,1), которая сохраняет длину 4-вектора в пространстве с метрикой Минковского

$d{s}^2=e_1^2+e_2^2+e_3^2-e_4^2.$

Фок и Баргман рассмотрели как отрицательные, так и положительные энергии. Они также были рассмотрены энциклопедически Бендером и Ициксоном. Недавнее исследование Ефимова С. П. показало, что результат В. Фока переносится из искривлённого импульсного пространства в четырёхмерное координатное пространство. При этом переход от четырёхмерных сферических функций в физическое трёхмерное пространство возникает просто при замене четвёртой «лишней» координаты на мнимый радиус-вектор $ır$. Найденное координатное пространство оказывается в теории «ближе», чем искривлённое пространство Фока.

Симметрия вращений в четырёхмерном пространстве

Шаблон:Якорь2 Годограф импульса на рис. 7 соответствует стереографической проекции больших кругов из четырёхмерной Шаблон:Math сферы единичного радиуса. Все большие круги пересекают Шаблон:Math ось, которая направлена перпендикулярно странице. Проекция из северного полюса (единичный вектор Шаблон:Math) к (Шаблон:Math) плоскости, как показано для пурпурного годографа пунктирной чёрной линией. Большой круг на широте Шаблон:Math соответствует эксцентриситету Шаблон:Math). Цвета больших кругов, показанных здесь, соответствуют цветам их годографов на рис. 7.

Связь между проблемой Кеплера и вращениями в четырёхмерном пространстве SO(4) можно достаточно просто визуализировать. Пусть в четырёхмерном пространстве заданы декартовы координаты, которые обозначены $(w,x,y,z)$, где $(x,y,z)$ представляют декартовы координаты обычного положения трёхмерного вектора $𝐫$. Трёхмерный вектор импульса $𝐩$ связан с четырёхмерным вектором $\mathit{\eta }$ на четырёхмерной единичной сфере посредством

$\mathit{\eta }=\frac{p^2-p_0^2}{p^2+p_0^2}\widehat{𝐰}+\frac{2p_0}{p^2+p_0^2}𝐩=\frac{mk-rp{p}_0}{mk}\widehat{𝐰}+\frac{r{p}_0}{mk}𝐩,$

где $\widehat{𝐰}$ — единичный вектор вдоль новой оси Шаблон:Math. Поскольку $\mathit{\eta }$ имеет только три независимые компоненты, то этот вектор можно обратить, получив выражение для Шаблон:Math. Например, для компоненты Шаблон:Math

$p_x=p_0\frac{{\eta }_x}{1-{\eta }_w}$

и аналогично для Шаблон:Math и Шаблон:Math. Другими словами, трёхмерный вектор Шаблон:Math является стереографической проекцией четырёхмерного вектора $\mathit{\eta }$, умноженного на Шаблон:Math (рис. 8).

Без потери общности, можно устранить нормальную вращательную симметрию, выбирая декартовы координаты, где ось Шаблон:Math направлена вдоль вектора углового момента Шаблон:Math, и годограф импульса расположен как показано на рис. 7, с центрами кругов на оси Шаблон:Math. Так как движение происходит в плоскости, а Шаблон:Math и Шаблон:Math ортогональны, Шаблон:Math, и внимание можно сосредоточить на трёхмерном векторе $\mathit{\eta }=({\eta }_w,{\eta }_x,{\eta }_y)$. Семейство окружностей Аполлония годографов импульса (рис. 7) соответствует множеству больших кругов на трёхмерной сфере $\mathit{\eta }$, все из которых пересекают ось Шаблон:Math в этих двух фокусах Шаблон:Math, соответствующих фокусам годографа импульса при Шаблон:Math. Большие круги связаны простым вращением вокруг оси Шаблон:Math (рис. 8). Эта вращательная симметрия преобразует все орбиты с той же самой энергией друг в друга. Однако, такое вращение ортогонально к обычным трёхмерным вращениям, так как оно преобразует четвёртое измерение Шаблон:Math. Эта более высокая симметрия характерна для задачи Кеплера и соответствует сохранению вектора Лапласа — Рунге — Ленца.

Изящное решение для проблемы Кеплера с использованием переменных угол-действие можно получить, избавляясь от избыточной четырёхмерной координаты $\mathit{\eta }$ и используя эллиптические цилиндрические координаты $(\alpha ,\beta ,\phi )$

${\eta }_w=\mathrm{c}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{n}\beta ,$

${\eta }_x=\mathrm{s}\mathrm{n}\alpha \mathrm{d}\mathrm{n}\beta \cos \phi ,$

${\eta }_y=\mathrm{s}\mathrm{n}\alpha \mathrm{d}\mathrm{n}\beta \sin \phi ,$

${\eta }_z=\mathrm{d}\mathrm{n}\alpha \mathrm{s}\mathrm{n}\beta ,$

где используются эллиптические функции Якоби: $\mathrm{s}\mathrm{n}$, $\mathrm{c}\mathrm{n}$ и $\mathrm{d}\mathrm{n}$.

Применение и обобщения

Квантовая механика атома водорода

Шаблон:Якорь2 Уровни энергии водородного атома, предсказанные с использованием коммутационных соотношений углового момента и векторных операторов Лапласа — Рунге — Ленца; эти уровни энергии были проверены экспериментально.

Скобки Пуассона дают простой способ для квантования классической системы. Коммутатор двух квантовомеханических операторов равняется скобке Пуассона соответствующих классических переменных, умноженной на $i\hslash$. Выполняя это квантование и вычисляя собственные значения Шаблон:Math оператора Казимира для проблемы Кеплера, Вольфганг Паули вывел энергетический спектр водородоподобного атома (рис. 9) и, таким образом, его атомный эмиссионный спектр. Это изящное решение было получено до получения уравнения Шрёдингера.

Особенность квантовомеханического оператора для вектора Лапласа — Рунге — Ленца Шаблон:Math заключается в том, что импульс и операторы углового момента не коммутируют друг с другом, следовательно, векторное произведениеШаблон:Math и Шаблон:Math должно быть определено тщательно. Как правило, операторы в декартовой системе координат Шаблон:Math определены с помощью симметризованного произведения

$A_s=-mk{\hat{r}}_s+\frac{1}{2}\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3{\epsilon }_{sij}(p_i{l}_j-l_i{p}_j),$

из которого определяются соответствующие лестничные операторы

$A_0=A_3,$

$A_{\pm 1}=\mp \frac{1}{\sqrt{2}}(A_1\pm i{A}_2).$

Нормированный оператор первого инварианта Казимира может быть определён подобным образом

$C_1=-\frac{m{k}^2}{2{\hslash }^2}{H}^{-1}-I,$

где Шаблон:Math — оператор, обратный к оператору энергии (гамильтониан) и Шаблон:Math — единичный оператор. Применяя эти лестничные операторы к собственным состояниям $|lmn⟩$ операторов полного углового момента, азимутального углового момента и энергии, можно показать, что собственные состояния первого оператора Казимира задаются формулой Шаблон:Math. Следовательно, уровни энергии даются выражением

$E_n=-\frac{m{k}^2}{2{\hslash }^2{n}^2},$

которое идентично формуле Ридберга для атома водорода (рис. 9).

Обобщение на другие потенциалы и СТО

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца был обобщён на другие потенциалы и даже на специальную теорию относительности. Наиболее общую форму этого вектора можно записать в виде

$𝒜=\left(\frac{\partial \xi }{\partial u}\right)(𝐩\times 𝐋)+[\xi -u\left(\frac{\partial \xi }{\partial u}\right)]L^2\widehat{𝐫},$

где $u=1/r$ (см. теорема Бертрана) и $\xi =\cos \theta$, с углом $\theta$, определённым как

$\theta =L\int {\mathrm{\backslash limits}}^u\frac{du}{\sqrt{m^2{c}^2({\gamma }^2-1)-L^2{u}^2}}.$

Здесь $\gamma$ — релятивистский фактор. Как и раньше, можно получить сохраняющийся вектор бинормали $𝐁$, взяв векторное произведение с сохраняющимся вектором углового момента

$ℬ=𝐋\times 𝒜.$

Эти два вектора можно соединить в сохраняющийся двухкомпонентный тензор Шаблон:Math

$𝒲=\alpha 𝒜\otimes 𝒜+\beta ℬ\otimes ℬ.$

Для примера вычислим вектор Лапласа — Рунге — Ленца для нерелятивистского изотропного гармонического осциллятора. Для центральной силы

$𝐅(r)=-k𝐫,$

вектор углового момента сохраняется, и поэтому движение происходит в плоскости. Сохраняющийся тензор можно записать в более простом виде:

$𝐖=\frac{1}{2m}𝐩\otimes 𝐩+\frac{k}{2}𝐫\otimes 𝐫,$

однако векторы Шаблон:Math и Шаблон:Math не ортогональны, как Шаблон:Math и Шаблон:Math. Соответствующий вектор Лапласа — Рунге — Ленца принимает более сложный вид

$𝐀=\frac{1}{\sqrt{m{r}^2{\omega }_{0}A-m{r}^{2}E+L^2}}\{(𝐩\times 𝐋)+(mr{\omega }_{0}A-mrE)\widehat{𝐫}\},$

где ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$ — частота осциллятора.

Ссылки

• Шаблон:Статья Статья посвящена обобщению вектора Лапласа — Рунге — Ленца на потенциалы, отличные от кулоновского. arxiv.org Шаблон:Wayback