Вписанно-описанный четырёхугольник

Поризм Понселе для вписанно-описанных четырёхугольников ABCD и EFGH

Вписанно-описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, который имеет как вписанную окружность, так и описанную окружность. Из определения следует, что вписанно-описанные четырёхугольники имеют все свойства как описанных четырёхугольников, так и вписанных четырёхугольников. Другие названия этих четырёхугольников: хордо-касающийся четырёхугольникШаблон:Sfn и бицентрический четырёхугольник. Их также называют двух-окружностными четырёхугольникамиШаблон:Sfn.

Если две окружности, одна внутри другой, являются вписанной окружностью и описанной окружностью некоторого четырёхугольника, то любая точка на описанной окружности является вершиной какого-то (возможно, другого) вписанно-описанного четырёхугольника, имеющего те же самые вписанные и описанные окружности. Это следствие поризма Понселе, который доказал французский математик Жан-Виктор Понселе (1788–1867).

Специальные случаи

Прямоугольный дельтоид

Примерами вписанно-описанных четырёхугольников являются квадраты, прямоугольные дельтоиды и равнобокие описанные трапеции.

Описание

Вписанно-описанный четырёхугольник ABCD и его контактный четырёхугольник WXYZ

Выпуклый четырёхугольник ABCD со сторонами a, b, c, d является бицентрическим тогда и только тогда, когда противоположные стороны удовлетворяют теореме Пито для описанных четырёхугольников и свойству вписанных четырёхугольников, что противоположные углы в сумме дают 180 градусов, то есть

$\{\begin{array}{c}a+c=b+d\\ A+C=B+D=\pi .\end{array}$

Три других описания касаются точек, в которых вписанная окружность в описанном четырёхугольнике касается сторон. Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD и DA в точках W, X, Y и Z соответственно, то описанный четырёхугольник ABCD является также и описанным в том и только в том случае, когда выполняется любое из следующих трёх условийШаблон:Sfn:

• Отрезок WY перпендикулярен XZ
• $\frac{AW}{WB}=\frac{DY}{YC}$
• $\frac{AC}{BD}=\frac{AW+CY}{BX+DZ}$

Первое из этих трёх условий означает, что контактный четырёхугольник WXYZ является ортодиагональным четырёхугольником.

Если E, F, G, H являются серединами WX, XY, YZ, ZW соответственно, то описанный четырёхугольник ABCD также является описанным тогда и только тогда, когда четырёхугольник EFGH является прямоугольникомШаблон:Sfn.

Согласно другому описанию, если I является центром вписанной окружности описанного четырёхугольника, у которого продолжения противоположных сторон пересекаются в точках J и K, то четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда JIK является прямым угломШаблон:Sfn.

Ещё одним необходимым и достаточным условием является то, что описанный четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда его прямая Гаусса перпендикулярна прямой Гаусса его контактного четырёхугольника WXYZ. (Прямая Гаусса четырёхугольника определяется средними точками его диагоналей.)Шаблон:Sfn

Построение

Вписанно-описанный четырёхугольник ABCD с контактным четырёхугольником WXYZ. Анимацию смотрите здесь

Имеется простой метод построения бицентрического четырёхугольника:

Построение начинается с вписанной окружности C_r с центром I и радиусом r, затем рисуем две перпендикулярные друг другу хорды WY и XZ во вписанной окружности C_r. На концах хорд проводим касательные a, b, c и d к вписанной окружности. Они пересекаются в точках A, B, C and D, которые являются вершинами вписанно-описанного четырёхугольникаШаблон:Sfn. Чтобы нарисовать описанную окружность, рисуем два серединных перпендикуляра p₁ и p₂ к сторонам вписанно-описанного четырёхугольника a и b соответственно. Они пересекаются в центре O описанной окружности C_R на расстоянии x от центра I вписанной окружности C_r.

Справедливость этого построения вытекает из факта, что в описанном четырёхугольнике ABCD контактный четырёхугольник WXYZ имеет перпендикулярные диагонали тогда и только тогда, когда описанный четырёхугольник является также вписанным.

Площадь

Формулы в терминах четырёх величин

Площадь K вписанно-описанного четырёхугольника можно выразить в терминах четырёх величин четырёхугольника несколькими способами. Если a, b, c и d являются сторонами, то площадь задаётся формулойШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn

$K=\sqrt{abcd}.$

Это частный случай формулы Брахмагупты. Формулу можно получить и прямо из тригонометрической формулы площади описанного четырёхугольника. Заметим, что обратное не выполняется — некоторые четырёхугольники, не являющиеся бицентрическими, также имеют площадь $K=\sqrt{abcd}.$Шаблон:Sfn. Примером такого четырёхугольника служит прямоугольник (с разными сторонами, не квадрат).

Площадь может быть выражена в терминах отрезков от вершины до точки касания (для краткости будем называть эти длины касательными длинами) e, f, g, hШаблон:Sfn

$K=\sqrt[4]{efgh}(e+f+g+h).$

Формула площади вписанно-описанного четырёхугольника ABCD с центром вписанной окружности IШаблон:Sfn

$K=AI\cdot CI+BI\cdot DI.$

Если вписанно-описанный четырёхугольник имеет касательные хорды k, l и диагонали p, q, тогда он имеет площадьШаблон:Sfn

$K=\frac{klpq}{k^2+l^2}.$

Если k, l являются касательными хордами и m, n являются бимедианами четырёхугольника, тогда площадь может быть вычислена с помощью формулыШаблон:Sfn.

$K=\left|\frac{m^2-n^2}{k^2-l^2}\right|kl$

Формула не может быть использована, если четырёхугольник является прямоугольным дельтоидом, поскольку в этом случае знаменатель равен нулю.

Если M и N являются серединами диагоналей, а E и F являются точками пересечения продолжения сторон, то площадь вписанно-описанного четырёхугольника задаётся формулой

$K=\frac{2MN\cdot EI\cdot FI}{EF}$,

где I является центром вписанной окружностиШаблон:Sfn.

Формулы в терминах трёх величин

Площадь вписанно-описанного четырёхугольника можно выразить в терминах двух противоположных сторон и угла θ между диагоналями согласно формулеШаблон:Sfn

$K=ac\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\theta }{2}=bd\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\theta }{2}.$

В терминах двух смежных углов и радиуса r вписанной окружности площадь площадь задаётся формулойШаблон:Sfn

$K=2r^2(\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}).$

Площадь задаётся в терминах радиуса R описанной окружности и радиуса r вписанной окружности как

$K=r(r+\sqrt{4R^2+r^2})\sin \theta$

где θ является любым из углов между диагоналямиШаблон:Sfn.

Если M и N являются средними точками диагоналей, а E и F являются точками пересечения продолжений противоположных сторон, площадь можно выразить формулой

$K=2MN\sqrt{EQ\cdot FQ}$,

где Q является основанием перпендикуляра на прямую EF из центра вписанной окружностиШаблон:Sfn.

Неравенства

Если r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно, тогда площадь K удовлетворяет двойному неравенствуШаблон:Sfn

$4r^2⩽K⩽2R^2.$

Равенство получим, только если четырёхугольник является квадратом.

Другим неравенством для площади будетШаблон:Rp

$K⩽\frac{4}{3}r\sqrt{4R^2+r^2}$,

где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно.

Похожее неравенство, дающее более точную верхнюю границу для площади, чем предыдущееШаблон:Sfn

$K⩽r(r+\sqrt{4R^2+r^2})$

и равенство достигается тогда и только тогда, когда четырёхугольник является прямоугольным дельтоидом.

Кроме того, со сторонами a, b, c, d и полупериметром s:

$2\sqrt{K}⩽qs⩽r+\sqrt{r^2+4R^2};$Шаблон:Rp

$6K⩽ab+ac+ad+bc+bd+cd⩽4r^2+4R^2+4r\sqrt{r^2+4R^2};$Шаблон:Rp

$4K{r}^2⩽abcd⩽\frac{16}{9}{r}^2(r^2+4R^2).$Шаблон:Rp

Формулы углов

Если a, b, c и d являются длинами сторон AB, BC, CD и DA соответственно во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD, то его углы в вершинах можно вычислить с помощью тангенсаШаблон:Sfn:

$\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{bc}{ad}}=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{C}{2},$

$\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{B}{2}=\sqrt{\frac{cd}{ab}}=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{D}{2}.$

Если использовать те же обозначения, выполняются следующие формулы для синусов и косинусовШаблон:Sfn:

$\sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{bc}{ad+bc}}=\cos \frac{C}{2},$

$\cos \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{ad}{ad+bc}}=\sin \frac{C}{2},$

$\sin \frac{B}{2}=\sqrt{\frac{cd}{ab+cd}}=\cos \frac{D}{2},$

$\cos \frac{B}{2}=\sqrt{\frac{ab}{ab+cd}}=\sin \frac{D}{2}.$

Угол θ между диагоналями можно вычислить из формулыШаблон:Sfn.

$\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{bd}{ac}}.$

Радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности

Радиус вписанной окружности r вписанно-описанного четырёхугольника определяется сторонами a, b, c, d по формуле

$r=\frac{\sqrt{abcd}}{a+c}=\frac{\sqrt{abcd}}{b+d}.$

Радиус описанной окружности R является частным случаем формулы Парамешвары

$R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}.$

Радиус вписанной окружности можно выразить также в терминах последовательных касательных длин e, f, g, h согласно формулеШаблон:Sfn.

$r=\sqrt{eg}=\sqrt{fh}.$

Эти две формулы, фактически, являются необходимыми и достаточными условиями для описанного четырёхугольника с радиусом вписанной окружности r быть вписанным.

Четыре стороны a, b, c, d вписанно-описанного четырёхугольника являются решениями Шаблон:Не переведено

$y^4-2s{y}^3+(s^2+2r^2+2r\sqrt{4R^2+r^2})y^2-2rs(\sqrt{4R^2+r^2}+r)y+r^2{s}^2=0$,

где s является полупериметром, а r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственноШаблон:Sfn.

Если имеется вписанно-описанный четырёхугольник с радиусом вписанной окружности r, касательные длины которых равны e, f, g, h, то существует вписанно-описанный четырёхугольник с радиусом вписанной окружности r^v, касательные длины которых равны $e^v,f^v,g^v,h^v$, где v могут быть любым вещественным числомШаблон:Sfn.

Вписанно-описанный четырёхугольник имеет больший радиус вписанной окружности, чем любой другой описанный четырёхугольник, имеющий те же длины сторон в той же последовательностиШаблон:Sfn.

Неравенства

Радиус описанной окружности R и радиус вписанной окружности r удовлетворяют неравенству

$R⩾\sqrt{2}r$,

которое доказал Л. Фейеш Тот в 1948Шаблон:Sfn. Неравенство превращается в равенство, только если две окружности концентричны (центры совпадают). В этом случае четырёхугольник является квадратом. Неравенство можно доказать несколькими различными путями, один из путей использует двойное неравенство для площади выше.

Обобщением предыдущего неравенства являетсяШаблон:SfnШаблон:Sfn.

$\frac{r\sqrt{2}}{R}⩽\frac{1}{2}(\sin \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}+\sin \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}+\sin \frac{C}{2}\cos \frac{D}{2}+\sin \frac{D}{2}\cos \frac{A}{2})⩽1$,

где неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда четырёхугольник является квадратомШаблон:Sfn.

Полупериметр s вписанно-описанного четырёхугольника удовлетворяетШаблон:Sfn

$\sqrt{8r(\sqrt{4R^2+r^2}-r)}⩽s⩽\sqrt{4R^2+r^2}+r$,

где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно.

Более того,Шаблон:Rp

$2s{r}^2⩽abc+abd+acd+bcd⩽2r(r+\sqrt{r^2+4R^2}{)}^2$

и

$abc+abd+acd+bcd⩽2\sqrt{K}(K+2R^2).$ Шаблон:Rp

Расстояние между центром вписанной окружности и центром описанной окружностей

Вписанно-описанный четырёхугольник ABCD с центром вписанной окружности I и центром описанной окружности O

Теорема Фусса

Теорема Фусса даёт связь между радиусом вписанной окружности r, радиусом описанной окружности R и расстоянием x между центром вписанной окружности I и центром описанной окружности O, для любого бицентрического четырёхугольника. Связь задаётся формулойШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

$\frac{1}{(R-x{)}^2}+\frac{1}{(R+x{)}^2}=\frac{1}{r^2},$

Или, эквивалентно,

$2r^2(R^2+x^2)=(R^2-x^2{)}^2.$

Формулу вывел Николай Иванович Фусс (1755–1826) в 1792. Решая относительно x, получим

$x=\sqrt{R^2+r^2-r\sqrt{4R^2+r^2}}.$

Теорема Фусса для вписанно-описанных четырёхугольников, которая является аналогом теоремы Эйлера для треугольников, утверждает, что если четырёхугольник бицентрический, то его две ассоциированных окружности связаны приведённой выше формулой. Фактически, обратное также выполняется — если даны две окружности (одна внутри другой) с радиусами R и r и расстояние x между их центрами удовлетворяет условию теоремы Фусса, существует выпуклый четырёхугольник, вписанный в одну из окружностей, а другая окружность будет вписана в четырёхугольникШаблон:Sfn (а тогда, по теореме Понселе, существует бесконечно много таких четырёхугольников).

Если использовать факт, что $x^2⩾0$ в выражении теоремы Фусса, получим другим способом уже упомянутое неравенство $R⩾\sqrt{2}r.$ Обобщением неравенства будетШаблон:Sfn

$2r^2+x^2⩽R^2⩽2r^2+x^2+2rx.$

Тождество Карлица

Другая формула расстояния x между центрами вписанной окружности и описанной окружности принадлежит американскому математику Леонарду Карлицу (1907–1999). Формула утверждает, чтоШаблон:Sfn.

$x^2=R^2-2Rr\cdot \mu$,

где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно, и

$\mu =\sqrt{\frac{(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c{)}^2(ac+bd)}}=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d{)}^2(ac+bd)}}$,

где a, b, c, d являются сторонами вписанно-описанного четырёхугольника.

Неравенства для касательных длин и сторон

Для касательных длин e, f, g, h выполняются следующие неравенстваШаблон:Sfn:

$4r⩽e+f+g+h⩽4r\cdot \frac{R^2+x^2}{R^2-x^2}$

и

$4r^2⩽e^2+f^2+g^2+h^2⩽4(R^2+x^2-r^2)$,

где r является радиусом вписанной окружности, R является радиусом описанной окружности, а x является расстоянием между центрами этих окружностей. Стороны a, b, c, d удовлетворяют неравенствамШаблон:Sfn

$8r⩽a+b+c+d⩽8r\cdot \frac{R^2+x^2}{R^2-x^2}$

и

$4(R^2-x^2+2r^2)⩽a^2+b^2+c^2+d^2⩽4(3R^2-2r^2).$

Другие свойства центра вписанной окружности

Центр описанной окружности, центр вписанной окружности и точка пересечения диагоналей во вписанно-описанном четырёхугольнике коллинеарны.

Есть следующее равенство относительно четырёх расстояний между центром вписанной окружности I и вершинами бицентрического четырёхугольника ABCD:

$\frac{1}{A{I}^2}+\frac{1}{C{I}^2}=\frac{1}{B{I}^2}+\frac{1}{D{I}^2}=\frac{1}{r^2}$,

где r — радиус вписанной окружности.

Если точка P является пересечением диагоналей во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности I, то

$\frac{AP}{CP}=\frac{A{I}^2}{C{I}^2}.$

Есть неравенство для радиуса r вписанной окружности и радиуса описанной окружности R во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD

$4r^2⩽AI\cdot CI+BI\cdot DI⩽2R^2$,

где I является центром вписанной окружности.

Свойства диагоналей

Длины диагоналей во вписанно-описанном четырёхугольнике можно выразить терминах сторон или касательных длин. Эти формулы верны для вписанных четырёхугольников и описанных четырёхугольников соответственно.

Во вписанно-описанном четырёхугольнике с диагоналями p и q выполняется тождествоШаблон:Sfn:

$\frac{pq}{4r^2}-\frac{4R^2}{pq}=1$,

где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно. Это тождество можно переписать какШаблон:Sfn

$r=\frac{pq}{2\sqrt{pq+4R^2}}$

или, решив его как квадратное уравнение относительно произведения диагоналей, получим

$pq=2r(r+\sqrt{4R^2+r^2}).$

Есть неравенство для произведения диагоналей p, q во вписанно-описанном четырёхугольникеШаблон:Sfn

$8pq⩽(a+b+c+d{)}^2$,

где a, b, c, d — стороны. Неравенство доказал Мюррей С. Кламкин в 1967.

См. также

• Шаблон:Не переведено
• Внеописанный четырёхугольник

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья