Многообразие Шимуры

Многообразие Шимуры (иногда многообразие Симуры) — аналог модулярной кривой в более высоких размерностях, который возникает как фактор Шаблон:Не переведено 5 по конгруэнтной подгруппе редуктивной алгебраической группе, определённой над Q. Термин «многообразие Шимуры» относится к высоким размерностям, в случае одномерных многообразий говорят о кривых Шимуры. Шаблон:Не переведено 5 и Шаблон:Не переведено 5 находятся среди лучших известных классов многообразий Шимуры.

Специальные случаи многообразий Шимуры ввёл Горо Шимура в ходе обобщения теории Шаблон:Не переведено 5 (модулярных кривых). Шимура показал, что первоначально определённые аналитически, объекты являются арифметическими в том смысле, что они удовлетворяют моделям, Шаблон:Не переведено 5 над числовым полем, полем отражения многообразия Шимуры. В 1970-х годах Пьер Делинь создал аксиоматическую схему для работы Шимуры. Примерно в то же время Роберт Ленглендс заметил, что многообразия Шимуры образуют естественную область примеров, для которых эквивалентность между Шаблон:Не переведено 5 и Шаблон:Не переведено 5, постулированная в программе Ленглендса, может быть проверена. Автоморфные формы, реализованные в когомологии многообразия Шимуры, более поддаются изучению, чем общие автоморфные формы. В частности, существует построение, присоединяющее к ним Шаблон:Не переведено 5.

Определение

Исходные данные Шимуры

Пусть S = Res_C/R G_m — ограничение Вейля мультипликативной группы из комплексных чисел в вещественные числа. Оно является алгебраической группой, группа R-точек которой S(R) — C^*, а группа C-точек — ${𝐂}^{*}\times {𝐂}^{*}$. Исходные данные Шимуры — это пара (G, X), состоящая из редуктивной алгебраической группы G, определённой над полем Q рациональных чисел, и G(R)-класса сопряжённости X гомоморфизмов h: $S\to G𝐑$, удовлетворяющего следующим аксиомам:

• Для любого h из X в g_C могут встретиться только веса (0,0), (1,−1), (−1,1), то есть комплексифицированная алгебра Ли группы G разлагается в прямую сумму

$𝔤\otimes ℂ=𝔨\oplus {𝔭}^{+}\oplus {𝔭}^{-},$

где для любого z ∈ S h(z) действует тривиально на первый член суммы и посредством $z/\overline{z}$ и $\overline{z}/z$) на второй и третий члены соответственно.

• Сопряжённое действие h(i) порождает Шаблон:Не переведено 5 на сопряжённой группе группы G_R.
• Сопряжённая группа для G_R не подчиняется фактору H, определённому над Q, так что проекция h на H тривиальна.

Из этих аксиом следует, что X имеет единственную структуру комплексного многообразия (возможно, несвязную), такую, что для любого представления $\rho :G_{𝐑}\to GL(V)$, семейство $(V\rho \cdot h)$ является голоморфным семейством структур Ходжа. Более того, оно образует вариацию структуры Ходжа и X является конечным объединением (непересекающихся) Шаблон:Не переведено 5.

Многообразие Шимуры

Пусть A_ƒ — Шаблон:Не переведено 5 группы Q. Для любой достаточно малой компактной открытой подгруппы K группы G(A_ƒ) Шаблон:Не переведено 5

$S{h}_K(G,X)=G(\mathbb{Q})\mathrm{\setminus }X\times G({𝔸}_f)/K$

является конечным объединением локально симметрических многообразий формы $\mathrm{\Gamma }\setminus X^{+}$, где верхний индекс плюс обозначает связную компоненту. Многообразия $S{h}_K(G,X)$ являются комплексными алгебраическими многообразиями и они образуют Шаблон:Не переведено 5 над всеми достаточно маленькими компактными открытыми подгруппами K. Эта инверсивная система

$(S{h}_K(G,X){)}_K$

подчиняется естественному правому действию $G({𝐀}_f)$. Она также называется многообразием Шимуры, ассоциированным с исходными данными Шимуры (G, X) и обозначается Sh(G, X).

История

Для специальных типов эрмитово-симметрических областей и конгруэнтных подгрупп Γ алгебраическое многообразие вида $\mathrm{\Gamma }\setminus X=S{h}_K(G,X)$ и его Шаблон:Не переведено 5 были введены в серии статей Горо Шимуры в течение 1960-х годов. Подход Шимуры, позднее представленный в его монографиях, был в большой степени феноменологическим и преследовал цель широкого обобщения формулировки закона взаимности теории Шаблон:Не переведено 5 (модулярных кривых). Ретроспективно, название «многообразие Шимуры» ввёл Делинь, который пробовал изолировать абстрактные свойства, играющие роль в теории Шимуры. В формулировке Делиня многообразия Шимуры — это область параметров структур Ходжа некоторого типа. Тогда они образуют естественное обобщение модулярных кривых более высокой размерности, которые рассматриваются как пространства модулей эллиптических кривых с уровневой структурой.

Примеры

Пусть F — полностью вещественное числовое поле и D — кватернионная алгебра с делением над F. Мультипликативная группа D^× порождает каноническое многообразие Шимуры. Его размерность d является числом бесконечных мест, на которые D расщепляется. В частности, если d = 1 (например, если F = Q и $D\otimes 𝐑\cong {\mathrm{M}}_2(𝐑)$), фиксируя достаточно малую арифметическую подгруппу группы D^×, получаем кривую Шимуры и кривые, возникающие из этого построения, уже компактны (то есть Шаблон:Не переведено 5).

Некоторые примеры кривых с известными уравнениями, заданные поверхностями Гурвица низкого рода:

• Шаблон:Не переведено 5 (род 3)
• Поверхность Макбита (род 7)
• Шаблон:Не переведено 5 (род 14)

и кривой Ферма степени 7.

Другие примеры многообразий Шимуры включают Шаблон:Не переведено 5 и Шаблон:Не переведено 5.

Канонические модели и специальные точки

Любое многообразие Шимуры можно определить над каноническим числовым полем E называется полем отражений. Этот важный результат, принадлежащий Шимуре, показывает, что многообразия Шимуры, которые априори являются лишь комплексными многообразиями, имеют алгебраическое Шаблон:Не переведено 5 и, поэтому, имеют арифметическое значение. Это образует стартовую точку в формулировке закона взаимности, в котором важную роль играют некоторые арифметически определённые специальные точки.

Качественная природа замыкания Зарисского множеств точек на многообразии Шимуры описывается гипотезой Андре — Оорта. Условные результаты могут быть получены из этой гипотезы, исходя из обобщённой гипотезы Римана.

Роль в программе Ленглендса

Многообразия Шимуры играют выдающуюся роль в программе Ленглендса. Из Шаблон:Не переведено 5 следует, что дзета-функция Хассе — Вейля модулярной кривой является произведением L-функций, ассоциированных с явно определёнными модулярными формами веса 2. На самом деле, Горо Шимура ввёл свои многообразия и доказал свой закон взаимности в процессе обобщения этой теоремы. Дзета-функции многообразий Шимуры, ассоциированных с группой GL₂ над другими числовыми полями и их внутренние формы (то есть мудьтипликативные группы алгебр кватернионов) изучали Эйхлер, Шимура, Куга, Сато и Ихара. На основе их результатов Роберт Ленглендс высказал прогноз, что дзета-функция Вейля любого алгебраического многообразия W, определённого над числовым полем должна быть произведением положительных и отрицательных степеней автоморфных L-функций, то есть должна возникать из набора Шаблон:Не переведено 5. Однако утверждения такого типа могут быть доказаны, если W является многообразием Шимуры. По словам Ленглендса:

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга