Натуральный логарифм 2

Натуральный логарифм 2 в десятичной системе счисления (Шаблон:OEIS) равен приблизительно

$\ln 2\approx 0,693147180559945309417232121458176568075500134360255254120680009493393621969694715605863326996418687$

как показывает первая строка в таблице ниже. Логарифм числа 2 с другим основанием (Шаблон:Math) можно вычислить из соотношения

${\log }_{b}2=\frac{\ln 2}{\ln b}.$

Десятичный логарифм числа 2 (Шаблон:OEIS2C) приблизительно равен

${\log }_{10}2\approx 0,301029995663981195213738894724493026768189881462108541310427461127108189274424509486927252118186172040684$

Обратное число к данному представляет собой двоичный логарифм 10:

${\log }_{2}10=\frac{1}{{\log }_{10}2}\approx 3,32192809488736234787031942948939017586483139302458061205475639581593477660862521585013974335937015$ (Шаблон:OEIS2C).

Число	Приближённое значение натурального логарифма	OEIS
2	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
3	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
4	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
5	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
6	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
7	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
8	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
9	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
10	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS

По теореме Линдемана — Вейерштрасса натуральный логарифм любого натурального числа, отличного от 0 и 1 (в общем случае, для любого положительного алгебраического числа, кроме 1), является трансцендентным числом.

Неизвестно, является ли ln 2 нормальным числом.

Представление в виде рядов

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=\ln 2.$ (Ряд Меркатора)

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}=\ln 2.$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(n+1)(n+2)}=2\ln 2-1.$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(4n^2-1)}=2\ln 2-1.$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n(4n^2-1)}=\ln 2-1.$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n(9n^2-1)}=2\ln 2-\frac{3}{2}.$

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}[\zeta (n)-1]=\ln 2-\frac{1}{2}.$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n+1}[\zeta (n)-1]=1-\gamma -\frac{\ln 2}{2}.$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{2n}(2n+1)}\zeta (2n)=\frac{1-\ln 2}{2}.$

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n}={\mathrm{Li}}_1\left(\frac{1}{2}\right).$ (Полилогарифм)

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{3^n}+\frac{1}{4^n})\frac{1}{n}.$

$\ln 2=\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\sum _{k\ge 1}(\frac{1}{2k}+\frac{1}{4k+1}+\frac{1}{8k+4}+\frac{1}{16k+12})\frac{1}{16^k}.$

$\ln 2=\frac{2}{3}\sum _{k\ge 0}\frac{1}{9^k(2k+1)}.$

$\ln 2=\sum _{k\ge 0}(\frac{14}{31^{2k+1}(2k+1)}+\frac{6}{161^{2k+1}(2k+1)}+\frac{10}{49^{2k+1}(2k+1)}).$

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2(-1{)}^{n+1}(2n-1)+1}{8n^2-4n}.$

(здесь через Шаблон:Math обозначена постоянная Эйлера — Маскерони, Шаблон:Math — дзета-функция Римана).

Иногда к данной категории формул относят формулу Бэйли — Боруэйна — Плаффа:

$\begin{array}{cc}\ln 2& =\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 2^2}+\frac{1}{3\cdot 2^3}+\frac{1}{4\cdot 2^4}+\frac{1}{5\cdot 2^5}+\cdots \\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^k\cdot k}=\frac{1}{2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left[\frac{1}{2^k}\left(\frac{1}{k+1}\right)\right]\\ & =\frac{1}{2}P(1,2,1,(1)).\end{array}$

Представление в виде интегралов

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{1+x}=\ln 2,\text{ или, равносильно, }\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{dx}{x}=\ln 2.$

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{(1+x^2)(1+x{)}^2}=\frac{1-\ln 2}{4}.$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{1+e^{nx}}=\frac{\ln 2}{n};\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{3+e^{nx}}=\frac{2\ln 2}{3n}.$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{e^x-1}-\frac{2}{e^{2x}-1}dx=\ln 2.$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}\frac{1-e^{-x}}{x}dx=\ln 2.$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\ln \left(\frac{x^2-1}{x\ln x}\right)dx=-1+\ln 2+\gamma .$

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\mathrm{tg}xdx=2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\mathrm{tg}xdx=\ln 2.$

$\underset{-\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\ln (\sin x+\cos x)dx=-\frac{\pi \ln 2}{4}.$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^2\ln (1+x)dx=\frac{2\ln 2}{3}-\frac{5}{18}.$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\ln (1+x)\ln (1-x)dx=\frac{1}{4}-\ln 2.$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^3\ln (1+x)\ln (1-x)dx=\frac{13}{96}-\frac{2\ln 2}{3}.$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln x}{(1+x{)}^2}dx=-\ln 2.$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln (1+x)-x}{x^2}dx=1-2\ln 2.$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{x(1-\ln x)(1-2\ln x)}=\ln 2.$

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\ln (\ln x)}{x^3}dx=-\frac{\gamma +\ln 2}{2}.$

Другие формы представления числа

Разложение Пирса имеет вид (Шаблон:OEIS2C)

$\ln 2=1-\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 12}-\cdots .$

Разложение Энгеля (Шаблон:OEIS2C):

$\ln 2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 7}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}+\cdots .$

Разложение в виде котангенсов имеет вид Шаблон:OEIS2C

$\ln 2=\mathrm{ctg}(\mathrm{arcctg}0-\mathrm{arcctg}1+\mathrm{arcctg}5-\mathrm{arcctg}55+\mathrm{arcctg}14187-\cdots ).$

Представление в виде бесконечной суммы дробей (знакопеременный гармонический ряд):

$\ln 2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots .$

Также можно представить натуральный логарифм 2 в виде разложения в ряд Тейлора:

$\ln 2=\frac{1}{2}+\frac{1}{12}+\frac{1}{30}+\frac{1}{56}+\frac{1}{90}+\cdots$

Представление в виде обобщённой непрерывной дроби:

$\ln 2=\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{2}{2+\frac{2}{5+\frac{3}{2+\frac{3}{7+\frac{4}{2+\ddots }}}}}}}}=\frac{2}{3-\frac{1^2}{9-\frac{2^2}{15-\frac{3^2}{21-\ddots }}}}$

Вычисление других логарифмов

Если известно значение Шаблон:Math, то для вычисления логарифмов других натуральных чисел можно табулировать логарифмы простых чисел, а логарифмы смешанных чисел Шаблон:Math затем определять исходя из разложения на простые множители:

$c=2^i{3}^j{5}^k{7}^l\cdots \to \ln c=i\ln 2+j\ln 3+k\ln 5+l\ln 7+\cdots$

В таблице представлены логарифмы некоторых простых чисел.

Простое число	Приблизительное значение натурального логарифма	OEIS
11	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
13	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
17	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
19	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
23	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
29	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
31	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
37	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
41	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
43	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
47	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
53	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
59	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
61	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
67	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
71	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
73	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
79	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
83	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
89	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS
97	Шаблон:Val	Шаблон:OEIS

На третьем шаге логарифмы рациональных чисел Шаблон:Math вычисляются как Шаблон:Math, логарифмы корней: Шаблон:Math.

Логарифм 2 полезен в том смысле, что степени 2 распределены достаточно плотно: определение степени Шаблон:Math, близкой к степени Шаблон:Math другого числа Шаблон:Math сравнительно несложно.

Известные значения

Это таблица последних записей по вычислению цифр $\ln (2)$. По состоянию на декабрь 2018 года в ней было вычислено больше цифр, чем в любом другом натуральном логарифме натурального числа, кроме 1.

Дата	Количество значащих цифр	Авторы вычисления
7 января 2009 г.	15 500 000 000	A.Yee & R.Chan
4 февраля 2009 г.	31 026 000 000	A.Yee & R.Chan
21 февраля 2011 г.	50 000 000 050	Alexander Yee
14 мая 2011 г.	100 000 000 000	Shigeru Kondo
28 февраля 2014 г.	200 000 000 050	Shigeru Kondo
12 июля 2015 г.	250 000 000 000	Ron Watkins
30 января 2016 г.	350 000 000 000	Ron Watkins
18 апреля 2016 г.	500 000 000 000	Ron Watkins
10 декабря 2018 г.	600 000 000 000	Michael Kwok
26 апреля 2019 г.,	1 000 000 000 000	Jacob Riffee
19 августа 2020 г.	1 200 000 000 100	Seungmin Kim

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Cite web

Шаблон:Иррациональные числа