Представление фазового пространства

Шаблон:Физическая теория В представлении фазового пространства квантовая механика трактует единообразно как координаты, так и импульсы частиц, которые образуют фазовое пространство, в отличие от трактовки Шредингера, где используется координатное или импульсное представления (см. Шаблон:Нп5). Два ключевых элемента физической картины в представлении фазового пространства состоят в следующем: квантовое состояние описывается квазивероятностным распределением (вместо волновой функции, векторами состояний или матрицей плотности), и оператор умножения заменяется звёздочным произведением.

Теория была полностью разработана Хилбрандом Груневолдом в 1946 году в своей кандидатской диссертации и независимо Джо Моялем. Каждая из этих работ базировались на более ранних идеях, сформулированных Германом Вейлем и Юджином Вигнером.

Главное преимущество квантовой механики в представлении фазового пространства заключается в том, что оно делает квантовую механику аналогичной гамильтоновой механике, избегая формализма операторов, тем самым «освобождая» квантование от «бремени» Гильбертова пространства. Эта формулировка носит статистический характер и предлагает логические связи между квантовой механикой и классической статистической механикой, что позволяет естественное сравнение между ними в так называемом классическом пределе, то есть при $\hslash \to 0$. Квантовая механика в фазовом пространстве часто выступает в определённых приложениях квантовой оптики (см. Шаблон:Нп5), при изучении декогеренции и целом ряде специальных технических проблем, хотя этот формализм редко используется на практике.

Концептуальные идеи, лежащие в основе развития квантовой механики в фазовом пространстве, воплотились в математических ответвлениях, таких как алгебраическая теория деформирования (см. Шаблон:Нп5) и некоммутативная геометрия.

Распределение в фазовом пространстве

Шаблон:Main Распределение в фазовое пространстве Шаблон:Math, которое описывает квантовое состояние это Шаблон:Нп5. В представлении фазового пространства, распределение можно рассматривать как основополагающее, примитивное описание квантовой системы, без каких-либо ссылок на волновые функции или матрицы плотности.

Существует несколько различных способов представления распределений, но все они взаимосвязаны. Наиболее примечательным является представление Вигнера, Шаблон:Math, обнаруженое первым. Другие представления (приблизительно в порядке убывания распространённости в литературе) включают Шаблон:Нп5, Шаблон:Нп5, представление Кирквуда — Рихачека, представление Мехты, представление Ривьера и представление Борна — Иордана. Эти альтернативы наиболее полезны, когда гамильтониан принимает особую форму, например при Шаблон:Нп5 в P представления Глаубера — Сударшана. Поскольку представление Вигнера является самым распространенным в литературе, то в этой статье, как правило, рассматривается оно, если не указано иное.

Распределение в фазовом пространстве обладает свойствами подобными плотности вероятности в 2n-мерном фазовом пространстве. Например, оно является вещественнозначным, в отличие от комплекснозначной волновой функции. Мы можем понимать вероятность, нахождения внутри координатного интервала. Например, путем интегрирования функция Вигнера по всем импульсам и по координатам в интервале Шаблон:Math получим:

$\mathrm{P}[a\le X\le b]=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}W(x,p)dpdx.$

Если Шаблон:Math — оператор, представляющий наблюдаемую величину, то ему можно сопоставить в фазовом пространстве, величину Шаблон:Math через преобразование Вигнера. Наоборот, этот оператор можно восстановить через преобразование Вейля.

Среднее значение наблюдаемой по отношению к распределению в фазовом пространстве задаётся выражением

$⟨\hat{A}⟩=\int A(x,p)W(x,p)dpdx.$

Однако, несмотря на внешнее сходство, Шаблон:Math не обладает всеми свойствами подлинного совместного распределения вероятностей, потому что области под ним не являются взаимно исключающими, как требуется в четвёртой аксиоме теории вероятности (аксиома аддитивности). Кроме того, оно может, в общем случае, принимать Шаблон:Нп5 даже для чистых состояний, за уникальным исключением сжатых когерентных состояний и, соответственно, нарушать вторую аксиому Колмогорова.

Области с такими отрицательными значениями «малы»: они не могут распространяться на компактные области больше, чем несколько ħ, и, следовательно, исчезают в классическом пределе. Они защищены неопределенностью Гейзенберга, которая не позволяет точно локализовать частицу в пределах области фазового пространства меньше, чем ħ, и, таким образом, делает такие «отрицательные вероятности» менее парадоксальными. Если левую часть уравнения можно интерпретировать как среднее значение в гильбертовом пространстве по отношению к оператору, то в контексте квантовой оптики это уравнение известно как Шаблон:Нп5. (Подробнее о свойствах и интерпретации функции Вигнера, смотрите главную статью.)

Альтернативный подход к квантовой механике в фазовом пространстве стремится определить волновую функцию (не только квазивероятностной плотности) на фазовом пространстве, обычно с помощью Шаблон:Нп5. Для совместимости с принципом неопределенности, волновая функция в фазовом пространстве не может быть произвольной функцией, иначе частицу можно было бы локализовать в сколь угодно малой области фазового пространства. Скорее, преобразование Сегала — Бергмана является голоморфной функцией от Шаблон:Math. Существует квазивероятностная плотность, связанная с волновой функцией в фазовом пространстве; это Q представление Хусими волновой функции в координатном представлении.

Звёздочное произведение

Шаблон:Main Фундаментальный некоммутативный бинарный оператор в фазовом пространстве, который заменяет стандартный оператор умножения — это звёздочное произведение, обозначаемое символом ★. Каждое представление распределения в фазовом пространстве имеет различные звёздочные произведения. Для конкретности, здесь рассматривается звёздочное произведение, соответствующее представлению Вигнера — Вейля.

Для удобства вводятся обозначения для правой и левой производных. Для пары функций f и g левая и правая производные определяются как

$f{\overleftarrow{\partial }}_{x}g=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot g$

$f{\overrightarrow{\partial }}_{x}g=f\cdot \frac{\partial g}{\partial x}.$

Дифференциальное определение звёздочного произведения

$f\star g=f\exp (\frac{i\hslash }{2}({\overleftarrow{\partial }}_x{\overrightarrow{\partial }}_p-{\overleftarrow{\partial }}_p{\overrightarrow{\partial }}_x))g,$

где аргумент экспоненциальной функции представляется в виде степенного ряда. Введённые дифференциальные соотношения позволяют записать это выражение в виде разницы в аргументах f и g:

$\begin{array}{cc}(f\star g)(x,p)& =f(x+\frac{i\hslash }{2}{\overrightarrow{\partial }}_p,p-\frac{i\hslash }{2}{\overrightarrow{\partial }}_x)\cdot g(x,p)\\ & =f(x,p)\cdot g(x-\frac{i\hslash }{2}{\overleftarrow{\partial }}_p,p+\frac{i\hslash }{2}{\overleftarrow{\partial }}_x)\\ & =f(x+\frac{i\hslash }{2}{\overrightarrow{\partial }}_p,p)\cdot g(x-\frac{i\hslash }{2}{\overleftarrow{\partial }}_p,p)\\ & =f(x,p-\frac{i\hslash }{2}{\overrightarrow{\partial }}_x)\cdot g(x,p+\frac{i\hslash }{2}{\overleftarrow{\partial }}_x).\end{array}$

Также возможно переписать ★-произведение как конволюцию, через преобразование Фурье:

$(f\star g)(x,p)=\frac{1}{{\pi }^2{\hslash }^2}\int f(x+x^{\prime },p+p^{\prime })g(x+x^{″},p+p^{″})\exp (\frac{2i}{\hslash }(x^{\prime }{p}^{″}-x^{″}{p}^{\prime }))d{x}^{\prime }d{p}^{\prime }d{x}^{″}d{p}^{″}.$

Таким образом, например, гауссианы преобразуются через гиперболическую функцию

$\exp (-a(x^2+p^2))\star \exp (-b(x^2+p^2))=\frac{1}{1+{\hslash }^{2}ab}\exp (-\frac{a+b}{1+{\hslash }^{2}ab}(x^2+p^2)),$

или

$\delta (x)\star \delta (p)=\frac{2}{h}\exp \left(2i\frac{xp}{\hslash }\right),$

и т. д..

Собственные состояния гамильтониана для распределений известны как «звёздочные состояния», ★-состояния или ★-собственные функции, а соответствующие им собственные значения известны как звёздочные собственные значения или ★-собственные значения. Эти решения находятся аналогично как для стационарного уравнения Шрёдингера, используя уравнения для ★-собственных значений,

$H\star W=E\cdot W,$

где H — гамильтониан, простая функция в фазовом пространстве обычно аналогичная классическому гамильтониану.

Эволюция во времени

Шаблон:Нп5 распределения в фазовом пространстве задаётся квантовой модификацией лиувиллевского потока. Эта формула является результатом применения преобразования Вигнера к версии квантового уравнения Лиувилля для матрицы плотности или уравнением фон Неймана.

В любом представлении распределения в фазовом пространстве со своим ассоциированным звёздочным произведением эволюция во времени определяется уравнением

$\frac{\partial f}{\partial t}=-\frac{1}{i\hslash }(f\star H-H\star f),$

или для функции Вигнера в частности

$\frac{\partial W}{\partial t}=-\{\{W,H\}\}=-\frac{2}{\hslash }W\sin \left(\frac{\hslash }{2}(\overleftarrow{{\partial }_x}\overrightarrow{{\partial }_p}-\overleftarrow{{\partial }_p}\overrightarrow{{\partial }_x})\right)H=-\{W,H\}+O({\hslash }^2),$

где {{ , }} — скобки Мояля, преобразование Вигнера квантового коммутатора, а { , } — классические скобки Пуассона.

Это чёткий пример принципа соответствия: это уравнение явно сводится к классическому уравнению Лиувилля в пределе ħ → 0. Однако в квантовом потоке, плотность точек в фазовом пространстве не сохраняется, и вероятностная жидкость становится «диффузионной» и "сжимаемой". Таким образом, концепция траектории квантовой частицы не определяется точно. Учитывая ограничения, установленные принципом неопределенности в отношении локализации, Нильс Бор отрицал физическое существование таких траекторий в микроскопическом масштабе. С помощью формальных траекторий в фазовом пространстве, временное уравнение для функции Вигнера можно строго решить с помощью метода интегралов по траекториям и Шаблон:Нп5, хотя есть неустранимые практические препятствия в обоих случаях. См. фильм для потенциала Морзе, ниже, чтобы оценить быстрое распространение потенциальных траекторий.

Примеры

Простой гармонический осциллятор

Квазивероятностное распределение Вигнера Шаблон:Math для простого одномерного гармонического осциллятора для квантовых чисел a) n = 0, b) n = 1, и c) n = 5.

Гамильтониан для простого гармонического осциллятора в одномерном случае в представлении Вигнера — Вейля равен

$H=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2+\frac{p^2}{2m}.$

Уравнение на ★-собственные значений для статической функции Вигнера имеет вид

$\begin{array}{cc}H\star W& =(\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2+\frac{p^2}{2m})\star W\\ & =(\frac{1}{2}m{\omega }^2{(x+\frac{i\hslash }{2}{\overrightarrow{\partial }}_p)}^2+\frac{1}{2m}{(p-\frac{i\hslash }{2}{\overrightarrow{\partial }}_x)}^2)W\\ & =(\frac{1}{2}m{\omega }^2(x^2-\frac{{\hslash }^2}{4}{\overrightarrow{\partial }}_p^2)+\frac{1}{2m}(p^2-\frac{{\hslash }^2}{4}{\overrightarrow{\partial }}_x^2))W\\ & +\frac{i\hslash }{2}(m{\omega }^{2}x{\overrightarrow{\partial }}_p-\frac{p}{m}{\overrightarrow{\partial }}_x)W\\ & =E\cdot W.\end{array}$

Эволюция во времени комбинированного состояния, состоящего из основного и 1-го возбужденного состояний Вигнера, для простого гармонического осциллятора. Обратите внимание на жесткое движение в фазовом пространстве, соответствующее обычным колебаниям в координатном пространстве. Соответствует функции Вигнера вида $W(x,p)=\frac{1}{\pi }(x^2+\sqrt{2}x+p^2)\exp (-x^2-p^2)$

Функция Вигнера для основного состояния гармонического осциллятора, смещенного от начала фазового пространства, то есть когерентное состояние. Обратите внимание на жесткое вращение, идентичное классическому движению: это особенность гармонического осциллятора, иллюстрирующая принцип соответствия.

Рассмотрим сначала мнимую часть уравнения на ★-собственные значения.

$\frac{\hslash }{2}(m{\omega }^{2}x{\overrightarrow{\partial }}_p-\frac{p}{m}{\overrightarrow{\partial }}_x)\cdot W=0$

Это означает, что можно записать ★-собственные значения как функцию одного аргумента,

$W(x,p)=F(\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2+\frac{p^2}{2m})\equiv F(u).$

С этой заменой переменных, можно записать действительную часть уравнения на ★-собственные значения в форме модифицированного уравнения Лагерра (не Эрмита), решения которого включают в себя полиномы Лагерра в виде

$F_n(u)=\frac{(-1{)}^n}{\pi \hslash }{L}_n\left(4\frac{u}{\hslash \omega }\right)e^{-2u/\hslash \omega },$

введенные Груневолдом в его статье, которые соответствуют ★-собственным значениям

$E_n=\hslash \omega (n+\frac{1}{2}).$

Для гармонического осциллятора эволюция во времени произвольного распределения Вигнера тривиальна. Начальная функция Шаблон:Math развивается во времени с помощью приведенного выше уравнения для гамильтониана осциллятора — она просто жёстко вращается в фазовом пространстве,

$W(x,p;t)=W(m\omega x\cos \omega t-p\sin \omega t,p\cos \omega t+\omega mx\sin \omega t;0).$

Как правило, «холм» (или когерентное состояние) энергии Шаблон:Math может представлять макроскопическую величину и выглядит как классический объект, равномерно вращающийся в фазовом пространстве и напоминает простой механический осциллятор (см. Анимированные фигуры). Интегрируя по всем фазам (начальные позиции при t = 0) таких объектов, непрерывный «палисад», дает не зависящую от времени конфигурацию, аналогичную приведенным выше статическим ★-состояниям F(u) и интуитивную визуализацию Шаблон:Нп5 для систем с большим действием.

Угловой момент свободной частицы

Предположим, что частица первоначально находится в минимально неопределенном гауссовском состоянии, причем ожидаемые значения положения и импульса центрированы в начале координат в фазовом пространстве. Функция Вигнера для такого свободно распространяющегося состояния,

$W(𝐱,𝐩;t)=\frac{1}{(\pi \hslash {)}^3}\exp (-{\alpha }^2{r}^2-\frac{p^2}{{\alpha }^2{\hslash }^2}(1+{\left(\frac{t}{\tau }\right)}^2)+\frac{2t}{\hslash \tau }𝐱\cdot 𝐩),$

где α — параметр, описывающий начальную ширину гауссиана и Шаблон:Math.

Первоначальное положение и импульсы некоррелированы. Таким образом, в трех измерениях мы ожидаем, что векторы положения и импульса будут в два раза более вероятно расположены перпендикулярно друг другу, чем параллельно.

Однако положение и импульс становятся все более коррелированными по мере того, как состояние эволюционирует во времени, поскольку части распределения дальше от центра соответствуют большему импульсу: асимптотически

$W⟶\frac{1}{(\pi \hslash {)}^3}\exp [-{\alpha }^2{(𝐱-\frac{𝐩t}{m})}^2].$

Это относительное «сжатие» отражает распространение пакета свободной волны в координатном пространстве.

Действительно, можно показать, что кинетическая энергия частицы становится асимптотически радиальной только в согласии со стандартным квантовомеханическим представлением о ненулевом угловом моменте основного состояния, определяющем независимость от направления:

$K_{rad}=\frac{{\alpha }^2{\hslash }^2}{2m}(\frac{3}{2}-\frac{1}{1+(t/\tau {)}^2})$

$K_{ang}=\frac{{\alpha }^2{\hslash }^2}{2m}\frac{1}{1+(t/\tau {)}^2}.$

Потенциал Морзе

Потенциал Морзе используется для аппроксимации колебательной структуры двухатомной молекулы.

Файл:Wigner function propagation for morse potential.ogv

Квантовое туннелирование

Туннелирование — это ключевой квантовый эффект, когда квантовая частица, не обладающая достаточной энергией для пролёта выше барьера, все же проходит через него. Этот эффект не существует в классической механике.

Файл:Wigner function for tunnelling.ogv

Потенциал четвёртой степени

Файл:Wigner function for quartic potential.ogv

Состояние кота Шрёдингера

Функция Вигнера двух интерферирующих когерентных состояний, эволюционирующих согласно гамильтониану гармонического осциллятора. Соответствующие импульсные и координатные проекции изображены справа и внизу от амплитуды в фазовом пространстве.