Преобразование Фурье на группах

Шаблон:См. такжеПреобразование Фурье на группах — обобщение дискретного преобразования Фурье от циклических к локально компактным абелевым группам или произвольным компактным группам.

Вспомогательные понятия

• Конечномерное представление группы $G$ — это отображение $\pi :G\mapsto GL(V)$ из $G$ в группу обратимых линейных преобразований векторного пространства $V$, такое что для любых $g_1,g_2\in G$

$\pi (g_1)\pi (g_2)=\pi (g_1{g}_2).$

Другими словами, $\pi$ — гомоморфизм групп $G$ и $GL(V)$.

• Представление называется унитарным если $\pi (G)\subset U(V)$, где $U(V)$ — группа унитарных преобразований пространства $V$.
• Представления $\pi :G\mapsto GL(V)$ и $\rho :G\mapsto GL(V)$ называются эквивалентными если переход от одного к другому может быть осуществлён равномерной сменой базиса, то есть если есть преобразование $T\in GL(V)$ такое что для любого $g\in G$

  $T\pi (g)T^{-1}=\rho (g)$

• Представление $\rho :G\mapsto GL(W)$ называется подпредставлением представления $\pi$ если $W$ — подпространство $V$ и для любых $g\in G$ и $w\in W$

$\rho (g)w=\pi (g)w.$

Другими словами, $W$ является инвариантным подпространством $\pi (g)$ и $\rho (g)$ — сужение $\pi (g)$ на $W$.

• Представление называется неприводимым если у него нет подпредставлений, кроме него самого и подпредставления, отображающего в нульмерное подпространство.

• Двойственным множеством $\hat{G}$ называется полное множество неэквивалентных неприводимых унитарных представлений $G$.

Определение

Преобразование Фурье функции $f\in L^2(G)$ определяется как матричная функция $\hat{f}\in L^2(\hat{G})$ такая что

$\hat{f}(\pi )=\sum _{g\in G}f(g)\pi (g^{-1}).$

В таких обозначения, обратное преобразование записывается в виде

$f(g)=\frac{1}{|G|}\sum _{\pi \in \hat{G}}{d}_{\pi }\text{tr}[\pi (g)\hat{f}(\pi )],$ где $d_{\pi }$ — размерность линейного пространства, преобразования которого задаёт $\pi (g)$.

Мотивировка

В непрерывном случае преобразование Фурье $\hat{f}$ квадратично интегрируемой функции $f\in L^2(ℝ)$ соответствует разложению $f(x)$ по ортонормированному базису $\{e^{2\pi iyx}|y\in ℝ\}$ гильбертова лебегова пространства $L^2(ℝ)$

$f(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\hat{f}(y)e^{2\pi iyx}dy.$

Преобразование Фурье периодической функции $f\in L^2(ℝ/\mathbb{Z})$ соответствует её разложению по ортонормированному базису $\{e^{2\pi kx}|k\in \mathbb{Z}\}$ пространства $L^2(ℝ/\mathbb{Z})$

$f(x)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\hat{f}(k)e^{2\pi ikx}.$

Дискретное преобразование Фурье функции $f\in L^2(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ соответствует разложению по ортонормированному базису $\left\{\frac{1}{\sqrt{n}}{e}^{\frac{2\pi ikj}{n}}\right|k=0,1,\dots ,n-1\}$ пространства $L^2(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$

$f(j)=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\hat{f}(k)e^{\frac{2\pi ikj}{n}}$

В общем случае, преобразование Фурье на группах соответствует разложению функции $f\in L^2(G)$ по некоторому ортонормированному базису $L^2(G)$.

Литература

• Шаблон:Cite Q
• Шаблон:Cite Q