Циклический порядок

Циклический порядок — способ упорядочивания объектов таким образом, чтобы последовательное движение по порядку после полного обхода совокупности возвращалось на начальный объект движения; полный порядок, «соединённый концами» в цикл. В отличие от структур, изучаемых в теории порядков, такой порядок не моделируется бинарным отношением, таким как «Шаблон:Math», например, нельзя сказать, что восток «больше по часовой стрелке», чем запад; вместо этого циклический порядок определяется как тернарное отношение Шаблон:Math, означающее, что «после Шаблон:Mvar достигается Шаблон:Mvar раньше, чем Шаблон:Mvar». Например, [Июнь, Октябрь, Февраль]. Тернарное отношение $[a,b,c]$ называется циклическим порядком, если оно является циклическим ($[a,b,c]\Rightarrow [b,c,a]$), асимметричным, транзитивным и полным. Порядок, не обладающий всеми этими свойствами, кроме полноты, называется Шаблон:Не переведено 5.

Множество с циклическим порядком называется циклически упорядоченным множеством, или просто цикломШаблон:Ref. Некоторые циклы дискретны, имея лишь конечное число элементов — имеется семь дней недели, четыре стороны света, двенадцать нот в хроматической гамме и три игрока в игре «камень, ножницы, бумага». В конечном цикле каждый элемент имеет «следующий элемент» и «предыдущий элемент». Существуют также непрерывные циклы с бесконечным числом элементов, такие как ориентированная единичная окружность на плоскости.

Циклические порядки тесно связаны с более известными линейными порядками, которые упорядочивают объекты вдоль прямой. Любой линейный порядок может быть свёрнут в цикл и любой циклический порядок может быть разрезан в точке, получая линейный порядок. Эти операции, вместе со связанными построениями интервалов и накрывающими отображениями, означают, что вопросы о циклических порядках могут часто быть трансформированы в вопросы о линейных порядках. Циклы имеют больше симметрий, чем линейные порядки, и они часто естественным образом возникают как вычеты линейных структур, как в конечных циклических группах или Шаблон:Не переведено 5.

Конечные циклы

5-элементный цикл

Циклический порядок на множестве Шаблон:Mvar с Шаблон:Mvar элементами подобен расположению элементов множества Шаблон:Mvar на циферблате с Шаблон:Mvar часами. Каждый элемент Шаблон:Mvar из Шаблон:Mvar имеет «следующий элемент» и «предыдущий элемент» и выбирая либо последующие, либо предыдущие элементы цикла, можно пройти в точности один раз через все элементы Шаблон:Math.

Существует несколько эквивалентных способов дать это определение. Циклический порядок на множестве Шаблон:Mvar будет тем же при перестановке элементов по циклу. Цикл с Шаблон:Mvar элементами является Шаблон:Math-Шаблон:Не переведено 5 — это множество со свободным транзитивным действием конечной циклической группыШаблон:Sfn. Другая формулировка заключается в превращении Шаблон:Mvar в стандартный ориентированный граф-цикл с Шаблон:Mvar вершинами путём сопоставления элементов множества вершинам.

Можно использовать инстинктивно циклические порядки для симметрических функций, например, как в случае

Шаблон:Math,

где запись последнего одночлена в виде Шаблон:Math отвлекло бы внимание от структуры.

По существу, использование циклических порядков проявляется в определении классов сопряжённости свободных групп. Два элемента Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar группы Шаблон:Mvar на множестве Шаблон:Mvar смежны тогда и только тогда, когда они записываются как произведения на элементы Шаблон:Mvar и Шаблон:Math с Шаблон:Mvar из Шаблон:Mvar, а тогда эти произведения располагаются в циклическом порядке. Циклические порядки эквивалентны при переписывании правил, которые позволяют удалять или добавлять смежные Шаблон:Mvar и Шаблон:Math.

Циклический порядок на множестве Шаблон:Mvar может быть определён линейным порядком на Шаблон:Mvar, но не единственным образом. Выбор линейного порядка эквивалентен выбору первого элемента, так что имеется в точности Шаблон:Mvar линейных порядков, порождённых данным циклическим порядком. Поскольку имеется Шаблон:Math возможных линейных порядков, существует Шаблон:Math возможных циклических порядков.

Определение

Бесконечное множество может также быть упорядочено циклически. Важными примерами бесконечных циклов являются единичная окружность, Шаблон:Math, и рациональные числа, Шаблон:Math. Основная идея одна и та же — мы упорядочиваем элементы в множестве по окружности. Однако в бесконечном случае мы не можем полагаться на отношение непосредственного следования, поскольку точки могут не иметь предшественника. Например, если дана точка на окружности, нет никакой «следующей точки». Нельзя также полагаться на бинарное отношение, какая из двух точек «первая». Проходя по часовой стрелке по окружности, ни с одной, ни с другой стороны точки не идут раньше, но следуют одна за другой.

Вместо этого мы используем тернарное отношение, указывая, что элементы Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar идут один за другим (не обязательно немедленно) вдоль окружности. Например, в порядке часовой стрелки, [восток, юг, запад]. При использовании каррирования аргументов тернарного отношения Шаблон:Math можно считать циклический порядок однопараметрическим семейством бинарных отношений порядка, которые называются сечениями, или двупараметрическим семейством подмножеств множества Шаблон:Mvar, которые называются интервалами.

Тернарное отношение

Общее определение следующее: циклический порядок на множестве Шаблон:Mvar — это отношение $C\subset X^3$ (пишется Шаблон:Math), которое удовлетворяет следующим аксиомам:Шаблон:Ref

1. Цикличность: Из Шаблон:Math следует Шаблон:Math
2. Асимметрия: Из Шаблон:Math следует неверность Шаблон:Math
3. Транзитивность: Если Шаблон:Math и Шаблон:Math, то Шаблон:Math
4. Полнота: Если Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar различны, то либо Шаблон:Math, либо Шаблон:Math

Аксиомы названы по аналогии с аксиомами асимметрии, транзитивности и Шаблон:Не переведено 5 для бинарного отношения, которые вместе определяют строго линейный порядок. Эдвард ХантингтонШаблон:SfnШаблон:Sfn предложил другой возможный список аксиом, включая аксиомы, подчёркивающие аналогию циклического порядка с Шаблон:Не переведено 5. Тернарное отношение, удовлетворяющее первым трём аксиомам, но не обязательно аксиоме полноты, называется Шаблон:Не переведено 5.

Развёртки и разрезы

Если дан линейный порядок Шаблон:Math на множестве Шаблон:Mvar, циклический порядок на Шаблон:Mvar, порождённый порядком Шаблон:Math, определяется следующим образомШаблон:SfnШаблон:Sfn:

Шаблон:Math тогда и только тогда, когда Шаблон:Math, или Шаблон:Math, или Шаблон:Math

Два линейных порядка порождают тот же циклический порядок, если они могут быть преобразованы друг в друга циклической перестановкой, как это происходит при Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn. Можно определить отношение циклического порядка как тернарное отношение, порождённое строго линейным порядком (как показано выше)Шаблон:Sfn.

Удаление одной точки из циклического порядка оставляет линейный порядок. Более точно, если дано циклически упорядоченное множество (Шаблон:Math), каждый элемент Шаблон:Math определяет естественный линейный порядок Шаблон:Math на оставшемся множестве, Шаблон:Math со следующим правиломШаблон:SfnШаблон:Sfn:

Шаблон:Math тогда и только тогда, когда Шаблон:Math.

Более того, Шаблон:Math можно расширить путём добавления Шаблон:Mvar в качестве наименьшего элемента. Получающийся линейный порядок на Шаблон:Mvar называется главным сечением с наименьшим элементом Шаблон:Mvar. Подобным же образом добавление Шаблон:Mvar в качестве наибольшего элемента приводит к сечению Шаблон:Math.Шаблон:Sfn

Интервалы

Если даны два элемента $a\ne b\in K$, открытый интервал от Шаблон:Mvar до Шаблон:Mvar, записывается Шаблон:Math, — это множество всех $x\in K$, таких что Шаблон:Math. Система открытых интервалов полностью определяет циклический порядок и может быть использована как альтернативное определение циклического отношенияШаблон:Sfn.

Интервал Шаблон:Math имеет естественный линейный порядок, задаваемый отношением Шаблон:Math. Можно определить полузамкнутые и замкнутые интервалы Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math путём присоединения Шаблон:Mvar в качестве Шаблон:Не переведено 5 и/или Шаблон:Mvar в качестве Шаблон:Не переведено 5 элементов.Шаблон:Sfnp Как специальный случай открытый интервал Шаблон:Math определяется как разрез Шаблон:Math.

Более обще, собственное подмножество S множества K называется выпуклым, если оно содержит все интервалы между любой парой точек — для $a\ne b\in S$ либо Шаблон:Math, либо Шаблон:Math должно также лежать в SШаблон:Sfn. Выпуклое множество является линейно упорядоченным при сечении Шаблон:Math для любого Шаблон:Mvar, не входящего в множество. Это упорядочение не зависит от выбора Шаблон:Mvar.

Автоморфизмы

Так как окружность имеет упорядочение по часовой стрелке и противоположное упорядочение, любое множество с циклическим порядком имеет два смысла. Биекция множества, сохраняющая порядок, называется упорядоченным соответствием. Если смысл (направление) то же самое, биекция называется прямым соответствием, в противном случае — обратным соответствиемШаблон:Sfn. Коксетер использовал Шаблон:Не переведено 5 для описания циклического порядка и это отношение достаточно сильно для отличия двух смыслов циклического порядка. Автоморфизмы циклически упорядоченного множества могут быть отождествлены с C₂, двухэлементной группой прямых и обратных соответствий.

Монотонные функции

Идея «циклический порядок = расположение на окружности» работает, поскольку любое подмножество цикла также является циклом. Чтобы использовать эту идею для введения циклического порядка на множествах, которые на самом деле не являются единичными окружностями на плоскости, нужно рассматривать функции между множествами.

Функция между двумя циклически упорядоченными множествами, Шаблон:Math, называется монотонной функцией или гомоморфизмом, если она сохраняет порядок на Шаблон:Mvar — если Шаблон:Math, имеем Шаблон:Math. Эквивалентно, Шаблон:Mvar монотонна, если в случае Шаблон:Math и элементы Шаблон:Math и Шаблон:Math различны, то Шаблон:Math. Типичный пример монотонной функции — следующая функция на цикле из 6 элементов:

Шаблон:Math

Шаблон:Math

Шаблон:Math

Функция называется вложением, если она монотонна и инъективнаШаблон:Ref. Эквивалентно, вложение — это функция, которая переносит порядок с множества Шаблон:Mvar: из Шаблон:Math следует Шаблон:Math. В качестве важного примера, если Шаблон:Mvar является подмножеством циклически упорядоченного множества Шаблон:Mvar и в Шаблон:Mvar задан естественный порядок, то Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:Math является вложением.

В общем случае инъективная функция Шаблон:Mvar из неупорядоченного множества Шаблон:Mvar в цикл Шаблон:Mvar порождает циклический порядок на Шаблон:Mvar, который делает функцию Шаблон:Mvar вложением.

Функции на конечных множествах

Циклический порядок на конечном множестве Шаблон:Mvar может быть определён по вложению в единичную окружность, Шаблон:Math. Существует много возможных функций, порождающих тот же циклический порядок — фактически, бесконечно много. Чтобы дать количественную оценку, необходимо использовать более сложный объект, чем число. Исследование конфигурационного пространства всех таких отображений приводит к определению Шаблон:Nowrap многогранника, известного под названием Шаблон:Не переведено 5. Циклоэдры первоначально использовались для изучения инвариантов узловШаблон:Sfn. Они позднее были применены для экспериментального выявления периодических генов при изучении биологических часовШаблон:Sfnp.

Категория гомеоморфизмов стандартных конечных циклов называется Шаблон:Не переведено 5. Она может быть использована для построения циклической гомотопии Аллена Конна.

Можно определить степень функции между циклами аналогично степени непрерывного отображения. Например, естественное отображение квинтового круга в Шаблон:Не переведено 5 является отображением степени 7. Можно определить также число вращения.

Замыкание

• Сечение с наименьшим и наибольшим элементом называется прыжком. Например, любое разбиение конечного цикла Шаблон:Math является прыжком. Цикл без прыжков называется плотнымШаблон:SfnШаблон:Sfnp.
• Сечение, в котором нет ни наименьшего, ни наибольшего элемента, называется щелью. Например, рациональные числа Шаблон:Math имеют щель в любом иррациональном числе. Для этих чисел имеется также щель на бесконечности, то есть обычный порядок. Цикл без щелей называется Шаблон:Не переведено 5Шаблон:SfnШаблон:Sfnp.
• Сечение с одной конечной точкой называется главным сечением. Например, любое сечение окружности Шаблон:Math является главным. Цикл, в котором любое сечение является главным, будучи плотным и полным, называется непрерывнымШаблон:SfnШаблон:Sfnp.

Шаблон:Math и Шаблон:Math

Множество всех сечений является циклическим порядком со следующим отношением: Шаблон:Math тогда и только тогда, когда существуют Шаблон:Math такие чтоШаблон:Sfn:

Шаблон:Math,

Шаблон:MathШаблон:Math и

Шаблон:MathШаблон:Math.

Некоторые подмножества сечений этого цикла являются Шаблон:Не переведено 5 исходного цикла.

Дополнительные построения

Разворачивания и покрытия

Начав с циклически упорядоченного множества Шаблон:Mvar, можно образовать линейный порядок путём разворачивания его на бесконечную прямую. Это отражает интуитивное понимание прохождения по окружности. Формально, линейный порядок определяется на прямом произведении Шаблон:Math, где Шаблон:Math — множество целых чисел, путём фиксации элемента Шаблон:Mvar и требования, чтобы для всех Шаблон:MvarШаблон:SfnШаблон:Sfnp:

Если Шаблон:Math, то Шаблон:Math.

Например, месяцы Шаблон:MONTHNAME 2025, Шаблон:MONTHNAME 2025, Шаблон:MONTHNAME 2025 и Шаблон:MONTHNAME 2026 находятся в таком порядке.

Это упорядочение Шаблон:Math называется универсальным накрытием Шаблон:MvarШаблон:Ref. Его порядковый тип не зависит от выбора Шаблон:Mvar, что нельзя сказать об обозначениях, поскольку целочисленная координата «перекатывается» через Шаблон:Mvar. Например, хотя циклический порядок высотных классов совместим с алфавитным порядком от A до G, буква C выбрана в качестве первой ноты октавы, так что в американской системе нотации за B₃ следует C₄.

Обратное построение начинает с линейно упорядоченного множества и сворачивает его в циклически упорядоченное множество. Если дано линейно упорядоченное множество Шаблон:Mvar и сохраняющая порядок биекция Шаблон:Math с незамкнутыми орбитами, пространство траекторий Шаблон:Math является циклически упорядоченным по необходимому условию:Шаблон:SfnШаблон:Ref

Если Шаблон:Math, то Шаблон:Math.

В частности, можно найти Шаблон:Mvar, определив Шаблон:Math на Шаблон:Math.

Существует также Шаблон:Mvar-кратное покрытие для конечных Шаблон:Mvar. В этом случае одно циклически упорядоченное множество накрывает другое циклически упорядоченное множество. Например, Шаблон:Nowrap дважды накрывает Шаблон:Nowrap. В геометрии пучок лучей, исходящих из точки на ориентированной плоскости является двойным накрытием пучка неориентированных прямых, проходящих через ту же точкуШаблон:SfnШаблон:Sfnp. Эти накрытия можно описать как их поднятие до универсального накрытияШаблон:Sfn.

Произведения и стягивания

Если дано циклически упорядоченное множество Шаблон:Math и линейно упорядоченное множество Шаблон:Math, (полное) лексикографическое произведение — это циклический порядок на прямом произведении Шаблон:Math, определённый какШаблон:Math когда выполняется:Шаблон:Sfn

• Шаблон:Math
• Шаблон:Math и Шаблон:Math
• Шаблон:Math и Шаблон:Math
• Шаблон:Math и Шаблон:Math
• Шаблон:Math и Шаблон:Math

Лексикографическое произведение Шаблон:Math глобально выглядит как Шаблон:Mvar, а локально как Шаблон:Mvar. Его можно рассматривать как Шаблон:Mvar копий Шаблон:Mvar. Это построение иногда используется для описания циклически упорядоченных группШаблон:Sfn.

Можно склеить вместе различные линейно упорядоченные множества для образования циклически упорядоченного множества. Например, если даны два линейно упорядоченных множества Шаблон:Math и Шаблон:Math, можно образовать цикл путём соединения этих множеств на положительной и отрицательной бесконечностях. Циклический порядок на несвязном объединении Шаблон:Math} определяется как Шаблон:Math, где порождённый порядок на Шаблон:Math противоположен исходному порядку. Например, множество всех долгот циклически упорядочено путём склеивания всех восточных точек и всех западных точек вдоль нулевого меридиана и 180-го меридиана. Кульман, Маршалл и ОсякШаблон:Sfn использовали это построение для описания пространств упорядочений и вещественных точек двойных формальных рядов Лорана над Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn.

Топология

Открытые интервалы образуют базу для естественной топологии, циклической Шаблон:Не переведено 5. Открытые множества в этой топологии — это в точности те множества, которые открыты в любом совместимом линейном порядкеШаблон:Sfn. Чтобы проиллюстрировать разницу, на множестве [0, 1), подмножество [0, 1/2) является окрестностью 0 в линейном порядке, но не в циклическом.

Интересными примерами циклически упорядоченных пространств являются конформные границы односвязной Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn и лепестковые пространства поднятых центральных расслоений некоторых 3-многообразийШаблон:Sfn. Шаблон:Не переведено 5 на циклически упорядоченных пространствах также изучалисьШаблон:Sfn.

Интервальная топология отбрасывает исходную ориентацию циклического порядка. Ориентацию можно восстановить путём добавления интервалов с их порождёнными линейными порядками. Тогда имеем множество, покрытое атласом линейных порядков, которые совместимы при перекрытии. Другими словами, циклически упорядоченное множество можно рассматривать как локально упорядоченное пространство, как объекты, подобные многообразиям, но с отношениями порядка вместо криволинейной системы координат. Эта точка зрения делает более точными концепции, такие как накрывающие отображения. Обобщение локально частично упорядоченного пространства изучается в статье РоллаШаблон:Sfn, см. также Шаблон:Не переведено 5.

Связанные структуры

Группы

Шаблон:Основная статья Шаблон:Не переведено 5 — это множество со структурой группы и циклическим порядком, таким, что левое и правое умножение сохраняет циклический порядок. Циклически упорядоченные группы первым глубоко изучал Шаблон:Не переведено 5 в 1947Шаблон:Sfn. Циклически упорядоченные группы являются обобщением циклических групп — бесконечной циклической группы Шаблон:Math и конечных циклических групп Шаблон:Math. Поскольку линейный порядок порождает циклический порядок, циклически упорядоченные группы являются также обобщением линейно упорядоченных групп — рациональных чисел Шаблон:Math, вещественных чисел Шаблон:Math и так далее. Некоторые из наиболее важных циклически упорядоченных групп не попадают ни в одну из перечисленных категорий — это группа круга Шаблон:Math и её подгруппы, такие как Шаблон:Не переведено 5.

Любая циклически упорядоченная группа может быть выражена как фактор-группа Шаблон:Math, где Шаблон:Mvar является линейно упорядоченной группой, а Шаблон:Mvar — циклическая конфинальная подгруппа группы Шаблон:Mvar. Любую циклическую упорядоченную группу можно выразить как произведение Шаблон:Math, где Шаблон:Mvar — линейно упорядоченная группа. Если циклически упорядоченная группа является архимедовой или компактной, её можно вложить в саму группу Шаблон:MathШаблон:Sfn.

Модифицированные аксиомы

Шаблон:Не переведено 5 — это тернарное отношение, обобщающее (полный) циклический порядок тем же образом, как частично упорядоченное множество обобщает линейно упорядоченное множество. В этом случае порядок является циклическим, асимметричным и транзитивным, но не обязательно полным. Упорядоченное многообразие — это частичный циклический порядок, удовлетворяющий дополнительной распределительной аксиоме. Замена аксиомы асимметрии на комплементарную версию приводит к определению коциклического порядка. Полные коциклические порядки связаны с циклическими порядками таким же образом, как Шаблон:Math связан с Шаблон:Math.

Циклический порядок удовлетворяет сильной 4-точечной аксиоме транзитивности. Одна структура, более слабая, чем эта аксиома, это Шаблон:Не переведено 5 — тернарное отношение, являющееся циклическим, асимметричным и полным, но, в общем случае, не транзитивным. Вместо этого система CC должна удовлетворять 5-точечной аксиоме транзитивности и новой аксиоме внутренности, которая ограничивает 4-точечные конфигурации, которые нарушают циклическую транзитивностьШаблон:Sfn.

От циклического порядка требуется, чтобы он был симметричен относительно циклических перестановок, Шаблон:Math и симметричен относительно обратимости: Шаблон:Math. Тернарное отношение, асимметричное относительно циклической перестановки и симметричное относительно обратимости, вместе с подходящими версиями аксиом транзитивности и полноты, называется Шаблон:Не переведено 5. Шаблон:Не переведено 5 является кватернарным отношением, которое можно понимать как циклический порядок без ориентации. Взаимосвязь между циркулярным порядком и Шаблон:Не переведено 5 аналогична взаимосвязи между линейным порядком и отношением «между»Шаблон:Sfn.

Симметрии и теория моделей

Эванс, Макферсон и ИвановШаблон:Sfn дали теоретико-модельное описание накрывающих отображений циклов.

ТараринШаблон:SfnШаблон:Sfn изучал группы автоморфизмов циклов с различными свойствами транзитивности. Жироде и Холланд Шаблон:Sfn описали циклы, полные группы автоморфизмов которых действуют свободно и транзитивно. Камперо-Арена и ТрассШаблон:Sfn описали счётные цветные циклы, группы автоморфизмов которых действуют транзитивно. ТрассШаблон:Sfn изучал группу автоморфизмов уникального (с точностью до изоморфизмов) счётного плотного цикла.

Кулпешов и МакферсонШаблон:Sfn изучали условия Шаблон:Не переведено 5 на циклических порядках Шаблон:Не переведено 5, то есть моделях языков первого порядка, которые включают отношение циклического порядка. Эти условия аналогичны Шаблон:Не переведено 5 и Шаблон:Не переведено 5 для случая линейно упорядоченных структур. КулпешовШаблон:SfnШаблон:Sfn продолжил некоторое описание Шаблон:Не переведено 5 структурШаблон:Sfn.

Восприятие

Ханс Фройденталь подчеркнул роль циклических порядков в когнитивном развитии, в отличие от Жана Пиаже, который рассматривал только линейные порядки. Были проведены эксперименты по исследованию ментального образа циклически упорядоченных множеств, таких как месяца года.

Примечания

Шаблон:NoteВ литературе на английском языке этот порядок может называться cyclic orderШаблон:Sfn, circular order (круговой порядок) Шаблон:Sfn, cyclic ordering (циклическое упорядочение)Шаблон:Sfn или circular ordering (круговое упорядочение)Шаблон:Sfn. Можно встретить также названия total cyclic order (вполне циклический порядок)Шаблон:Sfn, complete cyclic order (полностью циклический порядок)Шаблон:Sfn, linear cyclic order (линейный циклический порядок) Шаблон:Sfn, l-cyclic order или ℓ-cyclic order (l-/ℓ-циклический порядок)Шаблон:Sfn, чтобы подчеркнуть отличие от более широкого класса Шаблон:Не переведено 5, которые они называют просто циклическими порядками. Наконец, некоторые авторы используют термин циклический порядок для обозначения неориентированного кватернарного Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn.

Шаблон:NoteМножество с циклическим порядком можно назвать цикломШаблон:Sfn или окружностьюШаблон:Sfn. В литературе на английском языке появляются также названия cyclically ordered set (циклически упорядоченное множество), circularly ordered set (упорядоченное по кругу множество), total cyclically ordered set (вполне циклически упорядоченное множество), complete cyclically ordered set (полностью циклически упорядоченное множество ), linearly cyclically ordered set (линейно циклически упорядоченное множество), l-cyclically ordered set (l-циклически упорядоченное множество), ℓ-cyclically ordered set (ℓ-циклически упорядоченное множество ). Все авторы соглашаются, что цикл полностью упорядочен.

Шаблон:Note Существует несколько различных символов для циклического отношения. ХантингтонШаблон:Sfn использовал соединение в цепочку: Шаблон:Math. ЧехШаблон:Sfn и НовакШаблон:Sfn использовали упорядоченные тройки и символ включения: Шаблон:Math. МегиддоШаблон:Sfn использовал соединение в цепочку и символ включения: Шаблон:Math, понимая под Шаблон:Math циклически упорядоченную тройку. В литературе по теории групп, как у ШвирцковскогоШаблон:Sfn, Чернака и ЯкубикаШаблон:Sfn, чаще употребляются квадратные скобки: Шаблон:Math. Жироде и ХолландШаблон:Sfn используют круглые скобки: Шаблон:Math, оставляя квадратные скобки для отношения «между». Камперо-Арена и ТрассШаблон:Sfn используют запись в стиле функций: Шаблон:Math. РигерШаблон:Sfn, которого цитирует ПекиноваШаблон:Sfn), использует символ «меньше» как разделитель: Шаблон:Math. Некоторые авторы используют инфиксное обозначение: Шаблон:Math, понимая, что такое обозначение не соответствует обычной интерпретации Шаблон:Math и Шаблон:Math для того же бинарного отношения <Шаблон:Sfn. ВайнштайнШаблон:Sfn подчёркивает циклическую природу отношения путём повторения элемента: Шаблон:Math.

Шаблон:Note НовакШаблон:Sfn называет вложение «изоморфным вложением».

Шаблон:Note Отображение T Бодвич называет архимедовымШаблон:Sfn, Камперо-Арена и Трасс называют котерминальнымШаблон:Sfn, а Макмаллен называет трансляциейШаблон:Sfn.

Шаблон:Note МакмалленШаблон:Sfn называет Шаблон:Math «универсальным накрытием» Шаблон:Mvar. Жироде и ХолландШаблон:Sfn написали, что Шаблон:Mvar является «свёрткой» Шаблон:Math. Фройдентал и БауэрШаблон:Sfn называют Шаблон:Math «∞-кратным накрытием» Шаблон:Mvar. Часто это построение записывается в антилексикографическом порядке на Шаблон:Math.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:СтатьяШаблон:Dead link
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:СтатьяШаблон:Dead link
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга Язык: Чешский
• Шаблон:Статья Язык: Чешский
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Дополнительная литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья Язык: Итальянский
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Ссылки

• cyclic order на сайте Шаблон:Не переведено 5