Дробно-линейная функция

Равнобочная гипербола — простейший пример дробно-линейной функции

Дро́бно-лине́йная фу́нкция — это числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются линейные функции.

Дробно-линейная функция, отображающая в общем случае Шаблон:S числовое пространство в одномерное числовое, представляет собой важный частный случай:

• при $n=1$ как в вещественном, так и комплексном пространстве — рациональной функции, отображающей в общем случае одномерное числовое пространство само в себя с помощью многочленов одной переменной произвольной степени;
• при $n=1$ в комплексном пространстве — дробно-линейного преобразования, отображающего в общем случае многомерное комплексное пространство само в себя;
• при $n=1$ в комплексном и при $n=2$ в вещественном пространстве, инвертируя относительно окружностей, — частный случай преобразования Мёбиуса.

Формальное определение

Дробно-линейная функция — это числовая функция вида

${𝕌}^n\to 𝕌:w=L(u_1,u_2,\dots ,u_n)=\frac{a_1{u}_1+a_2{u}_2+\cdots +a_n{u}_n+b}{c_1{u}_1+c_2{u}_2+\cdots +c_n{u}_n+d},$

где $𝕌$ — комплексные ($\mathbb{Z}$) или вещественные ($ℝ$) числа, $u_1,u_2,\dots ,u_n$ — соответственно комплексные или вещественные переменные, $a_1,a_2,\dots ,a_n,$ $c_1,c_2,\dots ,c_n,$ $b,d$ — соответственно комплексные или вещественные коэффициенты,

$|c_1|+|c_2|+\dots +|c_n|+|d|>0$Шаблон:Sfn.

Возможно обобщение на кватернионыШаблон:Sfn.

Вырожденные случаиШаблон:Sfn:

• если

$|c_1|=|c_2|=\dots =|c_n|=0,$

то дробно-линейная функция становится целой линейной функций;

• если ранг матрицы

$\left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& a_2& \dots & a_n& b\\ c_1& c_2& \dots & c_n& d\end{array}\right)$

равен единице, то дробно-линейная функция вырождается в постоянную.

У собственно (невырожденной) дробно-линейной функцииШаблон:Sfn:

• $|c_1|+|c_2|+\dots +|c_n|>0;$
• равен двум ранг матрицы

$\left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& a_2& \dots & a_n& b\\ c_1& c_2& \dots & c_n& d\end{array}\right).$

Вещественная дробно-линейная функция

Вещественная дробно-линейная функция — это числовая функция вида

${ℝ}^n\to ℝ:y=L(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\frac{a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n+b}{c_1{x}_1+c_2{x}_2+\cdots +c_n{x}_n+d},$

где $ℝ$ — вещественные числа, $x_1,x_2,\dots ,x_n$ — вещественные переменные, $a_1,a_2,\dots ,a_n,$ $c_1,c_2,\dots ,c_n,$ $b,d$ — вещественные коэффициенты,

$|c_1|+|c_2|+\dots +|c_n|+|d|>0$Шаблон:Sfn.

Функция одной переменной

Равнобочная гипербола как вещественная дробно-линейная функция $\frac{2x-1}{x+2}$ с асимптотами $x=-2/1=-2$ и $y=2/1=2$, $ad-bc=5>0$

В простейшем случае $n=1$ и действительных

$x_1=x,$ $a_1=a,$ $b,$ $c_1=c,$ $d$

график дробно-линейной функции

$y=\frac{ax+b}{cx+d}$ —

равнобочная гипербола с асимптотами

$x=-d/c$

и

$y=a/c,$

параллельными осям координатШаблон:Sfn.

Асимптоты гиперболы

Пусть дробно-линейная функция одного переменного

$y=\frac{ax+b}{cx+d}$

несократима, то есть $ad-bc\ne 0$, и не сводится к целой линейной функции, то есть $c\ne 0$. Выделим целую часть дроби и вынесем за скобки коэффициент при $x$Шаблон:Sfn:

$y=\frac{\frac{a}{c}x+\frac{b}{c}}{x+\frac{d}{c}}=\frac{\frac{a}{c}(x+\frac{d}{c})+(\frac{b}{c}-\frac{ad}{c^2})}{x+\frac{d}{c}}=$

$=\frac{a}{c}-\frac{ad-bc}{c^2(x+\frac{d}{c})}.$

Теперь ясно, что график функции $\frac{ax+b}{cx+d}$ получается из графика $\frac{1}{x}$ следующими элементарными преобразованиями:

• растяжением в $\left|\frac{ad-bc}{c^2}\right|$ раз по оси $Oy$, причём в случае $ad-bc>0$ с отражением относительно оси $Ox$;
• перенесением параллельно оси $Ox$ на $-\frac{d}{c}$;
• перенесением параллельно оси $Oy$ на $\frac{a}{c}$.

Таким образом, дробно-линейная функция одного переменного $\frac{ax+b}{cx+d}$ — это обыкновенная гипербола второго порядка, прямые $x=-\frac{d}{c}$ и $y=\frac{a}{c}$ — асимптоты гиперболы, взаимно перпендикулярные и параллельные осям координат, а точка пересечения асимптот $(-\frac{d}{c},\frac{a}{c}),$ не принадлежащая кривой, — её центрШаблон:Sfn.

Также очевидно, что дробно-линейная функция одного переменного $\frac{ax+b}{cx+d}$Шаблон:Sfn:

• «теряет смысл», то есть не имеет никакого значения, перестаёт «существовать» в точке $x=-\frac{d}{c}$;
• на интервалах $(-\mathrm{\infty },-\frac{d}{c})$ и $(-\frac{d}{c},+\mathrm{\infty })$ функция везде возрастает при $ad-bc>0$ и везде убывает при $ad-bc<0$;
• при неограниченном увеличении $|x|$ значения функции неограниченно приближаются к $\frac{a}{c}$, что видно также из преобразования

$\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{a+\frac{b}{x}}{c+\frac{d}{x}}.$

ПроизводнаяШаблон:Sfn:

$(\frac{a}{c}-\frac{ad-bc}{c^2(x+\frac{d}{c})}{)}^{\prime }=\frac{ad-bc}{c^2{(x+\frac{d}{c})}^2}.$

Неопределённый интеграл:

$\int (\frac{a}{c}-\frac{ad-bc}{c^2(x+\frac{d}{c})})dx=\frac{a}{c}x-\frac{ad-bc}{c^2}\ln |x+\frac{d}{c}|+C.$

Каноническое уравнение гиперболы

Сначала приведём функцию

$y=\frac{a}{c}-\frac{ad-bc}{c^2(x+\frac{d}{c})}$

преобразованиями координат

$x^{\prime }=x+\frac{d}{c},$ $y^{\prime }=y-\frac{a}{c},$ $m=-\frac{ad-bc}{c^2}$

к простейшему виду

$y^{\prime }=\frac{m}{x^{\prime }}$,

который называется уравнением обратной пропорциональности величин $x^{\prime }$ и $y^{\prime }$Шаблон:Sfn.

Теперь повернём координатные оси на угол $45^{\circ },$ сделав замену координат

$x^{\prime }=x^{″}\cos (45^{\circ })-y^{″}\sin (45^{\circ })=\frac{x^{″}-y^{″}}{\sqrt{2}},$

$y^{\prime }=x^{″}\sin (45^{\circ })+y^{″}\cos (45^{\circ })=\frac{x^{″}+y^{″}}{\sqrt{2}},$

получим в новых координатахШаблон:Sfn:

$x^{\prime }{y}^{\prime }=m,$ $\frac{x^{″}-y^{″}}{\sqrt{2}}\frac{x^{″}+y^{″}}{\sqrt{2}}=m,$

$\frac{x^{\prime }{\text{'}}^2}{2m}-\frac{y^{\prime }{\text{'}}^2}{2m}=1.$

Последнее уравнение есть каноническое уравнение равносторонней гиперболы с полуосями $a=b=\sqrt{2|m|}.$Шаблон:Sfn

Функция двух переменных

Гиперболический параболоид

В случае $n=2$ и действительных $x_1,$ $x_2,$ $a_1,$ $a_2,$ $b,$ $c_1,$ $c_2,$ $d$ график дробно-линейной функции

$y=\frac{a_1{x}_1+a_2{x}_2+b}{c_1{x}_1+c_2{x}_2+d}$

представляет собой гиперболический параболоидШаблон:Sfn.

Комплексная дробно-линейная функция

Шаблон:Основная статья Комплексная дробно-линейная функция — числовая функция вида

${ℂ}^n\to ℂ:w=L(z_1,z_2,\dots ,z_n)=\frac{a_1{z}_1+a_2{z}_2+\cdots +a_n{z}_n+b}{c_1{z}_1+c_2{z}_2+\cdots +c_n{z}_n+d},$

где $ℂ$ — комплексные числа, $z_1,z_2,\dots ,z_n$ — комплексные переменные, $a_1,a_2,\dots ,a_n,$ $c_1,c_2,\dots ,c_n,$ $b,d$ — комплексные коэффициенты,

$|c_1|+|c_2|+\dots +|c_n|+|d|>0$Шаблон:Sfn.

При $n=1$ комплексная дробно-линейная функция

$ℂ\to ℂ:w=L(z)=\frac{az+b}{cz+d}$ —

аналитическая функция одной комплексной переменной всюду в расширенной комплексной плоскости $\widehat{ℂ}=ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}$, за исключением точки $z=-d/c$, в которой комплексная дробно-линейная функция имеет простой полюсШаблон:Sfn.

При $n⩾1$ комплексная дробно-линейная функция

${ℂ}^n\to ℂ:w=L(z_1,z_2,\dots ,z_n)=\frac{a_1{z}_1+a_2{z}_2+\cdots +a_n{z}_n+b}{c_1{z}_1+c_2{z}_2+\cdots +c_n{z}_n+d},$ —

мероморфная функция в пространстве ${ℂ}^n$ комплексных переменных $z_1,z_2,\dots ,z_n$, имеющая полярное множество

$\{z\in {ℂ}^n;c_1{z}_1+c_2{z}_2+\cdots +c_n{z}_n+d=0\}$Шаблон:Sfn.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H