Перестановочные операторы

Перестановочные операторы — ограниченный линейный оператор $B$ и линейный оператор $T$, для которых оператор $TB$ является расширением оператора $BT$: $BT\subseteq TB$. Если операторы $B$ и $T$ определены на всем пространстве (причем не обязательно ограничены), то они перестановочны, если $BT=TB$. В этом случае перестановочные операторы также называют коммутирующимиШаблон:Sfn. В общем случае равенство $BT=TB$ неудобно использовать в качестве определения перестановочности, потому что тогда даже обратный оператор $B^{-1}$ не будет перестановочен с $B$, если $B^{-1}$ определён не на всём пространстве — тогда операторы $B{B}^{-1}$ и $B^{-1}B$ будут иметь разные области определения. Иногда для перестановочных операторов используют обозначения: $B\cup T$ или $B⌣T$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Свойства

• Если оператор $B$ перестановочен с $T_1$ и перестановочен с $T_2$, то $B$ также перестановочен с $T_1+T_2$ и $T_1{T}_2$.
• Если $B_1$ перестановочен с $T$ и $B_2$ перестановочен с $T$, то операторы $B_1+B_2$ и $B_1{B}_2$ перестановочны с $T$.
• Если $B$ перестановочен с $T$ и существует $T^{-1}$, то $B$ перестановочен с $T^{-1}$.
• Если $B$ перестановочен с каждым из операторов $T_n(n=1,2,\dots )$, то $B$ перестановочен с $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{T}_n$.
• Если каждый из операторов $B_n(n=1,2,\dots )$ перестановочен с $T$, то $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{B}_n$ перестановочен с $T$ в предположении, что $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{B}_n$ ограничен, а $T$ замкнут.
• Если $B$ перестановочен с $T$ и сопряжённый оператор $T^{\ast }$ существует, то $B^{\ast }$ перестановочен с $T^{\ast }$Шаблон:Sfn.

Случай конечномерного пространства

В конечномерном пространстве перестановочным операторам отвечают перестановочные матрицы: $AB=BA$. Задача Фробениуса состоит в том, чтобы определить все матрицы $X$, перестановочные с данной матрицей $A$. Все решения задачи Фробениуса имеют вид

$X=U{X}_A{U}^{-1},$

где $X_A$ — произвольная матрица, перестановочная с $A$, $U$ — матрица, приводящая $A$ к нормальной жордановой форме $J$: $A=UJ{U}^{-1}$. Число линейно независимых решений задачи Фробениуса определяется формулой:

$N=n_1+3n_2+\dots +(2t-1)n_t,$

где $n_1,n_2,\dots ,n_t$ — степени непостоянных инвариантных многочленов $i_1(\lambda ),i_2(\lambda ),\dots ,i_t(\lambda )$ матрицы $A$.

Если линейные операторы $A_1,A_2,\dots ,A_m$ в конечномерном пространстве $R$ попарно перестановочны, то можно расщепить все пространство $R$ на инвариантные относительно всех операторов $A_i$ подпространства:

$R=I_1+I_2+\dots +I_m$

так, чтобы минимальный многочлен любого из этих подпространств относительно любого из операторов $A_i$ был степенью неприводимого многочленаШаблон:Sfn.

Перестановочные операторы всегда имеют общий собственный векторШаблон:Sfn. Если дано конечное или бесконечное множество попарно перестановочных нормальных операторов $A_1,A_2,\dots$ в унитарном пространстве, то все эти операторы имеют полную ортонормированную систему общих собственных векторов. В терминах матриц это означает, что любое конечное или бесконечное множество попарно перестановочных матриц приводится к диагональному виду одним и тем же унитарным преобразованиемШаблон:Sfn.

См. также

• Полная система коммутирующих наблюдаемых

Литература

• Шаблон:Книга:Математическая энциклопедия
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга