Процедура Кэли — Диксона

Процедура Кэ́ли — Ди́ксона (процедура удвоения) — это итеративная процедура построения алгебр над полем (или над кольцом) с удвоением размерности на каждом шаге. Названа в честь Артура Кэли и Леонарда Диксона.

Эта процедура позволяет построить из действительных чисел последовательно их расширения: комплексные числа, кватернионы, октонионы, седенионы и т. д. Также используется в теореме Гурвица для нахождения всех нормированных алгебр с делением. Так, согласно данной теореме, действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы являются единственными нормированными алгебрами с делением (над полем действительных чисел).

Свойства алгебр Кэли — Диксона

Алгебра	Размер- ность (n)	Упорядо- ченность	Свойства умножения				Отсутствие Шаблон:Comment делителей нуля
			Коммута- тивность	Ассоциа- тивность	Альтерна- тивность	Степенная ассоциа- тивность
Действитель- ные числа ($ℝ$)	1	Шаблон:Yes	Шаблон:Yes	Шаблон:Yes	Шаблон:Yes	Шаблон:Yes	Шаблон:Yes
Комплексные числа ($ℂ$)	2	Шаблон:No	Шаблон:Yes	Шаблон:Yes	Шаблон:Yes	Шаблон:Yes	Шаблон:Yes
Кватернионы ($ℍ$)	4	Шаблон:No	Шаблон:No	Шаблон:Yes	Шаблон:Yes	Шаблон:Yes	Шаблон:Yes
Октонионы ($𝕆$)	8	Шаблон:No	Шаблон:No	Шаблон:No	Шаблон:Yes	Шаблон:Yes	Шаблон:Yes
Седенионы ($𝕊$)	16	rowspan=2 Шаблон:No	rowspan=2 Шаблон:No	rowspan=2 Шаблон:No	rowspan=2 Шаблон:No	rowspan=2 Шаблон:Yes	rowspan=2 Шаблон:No
	> 16

Количество симметрий поля уменьшается при каждом применении процедуры Кэли — Диксона: сначала исчезает упорядоченность, затем коммутативность умножения, потом ассоциативность умножения и в итоге — альтернативность умножения (см. таблицу). Но при этом все алгебры сохраняют степенную ассоциативность умножения, а также по определению являются унитальными и их умножение дистрибутивно относительно сложения.

В более общем смысле процедура Кэли — Диксона переводит любую алгебру с инволюцией в другую алгебру с инволюцией в два раза большей размерностиШаблон:Rp.

Общий случай

Если для некоторых чисел $a$ и $b$ существуют понятия: умножения, сопряжённого числа и нормы числа как $|a{|}^2=a\overline{a}$ (см. композиционная алгебра), то эти понятия можно ввести и для упорядоченных пар чисел $(a,b)$:

• $(a,b)(c,d)=(ac-\overline{d}b,da+b\overline{c})$ — закон умножения пар,

• $\overline{(a,b)}=(\overline{a},-b)$ — сопряжённая пара.

Свойства

• (расширенная) норма упорядоченной пары:

$|(a,b){|}^2=(a,b)\overline{(a,b)}=(a,b)(\overline{a},-b)=(a\overline{a}+b\overline{b},ba-ba)=(|a{|}^2+|b{|}^2,0)=|a{|}^2+|b{|}^2$ — равна нулю только при Шаблон:Math.

• Если исходная алгебра была ассоциативной алгеброй с делением, то (расширенное) деление $r/q$ определяется как $\frac{r\overline{q}}{|q{|}^2}$ или $\frac{\overline{q}r}{|q{|}^2}$ — значит, из предыдущего свойства вытекает отсутствие делителей нуля.

• Если для чисел выполняется $\overline{ab}=\overline{b}\cdot \overline{a},$ это выполняется и для упорядоченных пар:

$\overline{(a,b)(c,d)}=(\overline{c}\overline{a}-\overline{b}d,-da-b\overline{c})=(\overline{c},-d)(\overline{a},-b)=\overline{(c,d)}\cdot \overline{(a,b)}.$

• Если исходная алгебра ассоциативна, то расширенная алгебра нормирована, поскольку:

$|rq{|}^2=(rq)\overline{(rq)}=(rq)(\overline{q}\overline{r})=r(q\overline{q})\overline{r}=|r{|}^2\cdot |q{|}^2.$

В общем случае результат оказывается неассоциативной алгеброй.

Наследуемые

Если исходная алгебра имеет единицу, то Шаблон:Math — единица в расширенной алгебре.

Если в исходной алгебре всякий элемент вида Шаблон:Math или Шаблон:Math ассоциирует и коммутирует со всеми элементами, то такова же и расширенная алгебра. В частности, любой элемент порождает коммутативную *-алгебру, откуда следует свойство ассоциативности степеней.

Ослабляемые

1. Если исходная алгебра коммутативна и сопряжение тождественно, то расширенная алгебра коммутативна.
2. Если исходная алгебра коммутативна и ассоциативна, то расширенная алгебра ассоциативна.
3. Если исходная алгебра ассоциативна, и в исходной алгебре всякий элемент вида Шаблон:Math или Шаблон:Math коммутирует со всеми элементами, то расширенная алгебра альтернативна.

Можно проследить на примере чисел, как из поля [[действительное число|Шаблон:Math]] с тождественным сопряжением получается поле [[комплексное число|Шаблон:Math]] (*-алгебра с нетривиальным сопряжением), откуда получается некоммутативная *-алгебра (тело) [[кватернион|Шаблон:Math]], откуда получается неассоциативная алгебра [[октонион|Шаблон:Math]], но альтернативная и нормированная, так что без делителей нуля. Дальнейшие алгебры будут иметь делители нуля, т. к. умножение перестанет быть совместимо с нормой.

Приложения

Комплексные числа

Процедура Кэли — Диксона соответствует определению комплексных чисел как упорядоченных пар вещественных чисел.

Кватернионы

Произвольный кватернион $q=a+bi+cj+dk$  можно представить в виде $q=(a+bi)+(c+di)j$ или, эквивалентно, $q=z_1+z_2\cdot j,z_1=a+b\cdot i,z_2=c+d\cdot i,$ где $z_1,z_2$ — комплексные числа, поскольку $i^2=-1$ выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а $k=i\cdot j$.

Возьмём ещё один кватернион $r=w_1+w_{2}j.$ Перемножив и раскрыв скобки (т. к. умножение кватернионов ассоциативно), получим:

$qr=(z_1+z_{2}j)(w_1+w_{2}j)=z_1{w}_1+z_1{w}_{2}j+z_{2}j{w}_1+z_{2}j{w}_{2}j.$

Поскольку $zj=j\overline{z},zw=wz,$ то, переставляя множители, получим: $qr=(z_1{w}_1-\overline{w_2}{z}_2)+(w_2{z}_1+z_2\overline{w_1})j.$

Следовательно, кватернионы можно определять как выражения вида $z_1+z_2\cdot j$, удовлетворяющие вышеприведённой формуле умножения. Эта формула интересна тем, что она расширяет формулу умножения чисто комплексных чисел (т. е. кватернионов с $z_2=w_2=0$).

Обобщения

Предыдущие формулы строят гиперкомплексные системы, когда «мнимая единица расширения» имеет квадрат, равный «−1». Но при создании пар квадрат новой «мнимой единицы» можно взять как «+1» или даже «0», а также изменить (расширенный) закон умножения пар (см. алгебра Клиффорда). Правда, тогда норму и сопряжения (разного вида) нужно строить более сложно, также могут даже возникнуть и нетривиальные делители нуля. (См. напр. Тригинтадуонионы, так получаемые из Седенионов)

Ссылки

• Шаблон:Citation
• HyperJeff Sketching the History of Hypercomplex Numbers 1996–2006
• И.Л. Кантор, А.С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. — Москва, "Наука". — 1973.
• Е.А. Каратаев «Гиперкомплексные числа. Классификатор»