Характер (теория чисел)

Характер (или числовой характер, или характер Дирихле), это определённая арифметическая функция, которая возникает из Шаблон:Не переведено 5 характеров на обратимых элементах $\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$. Характеры Дирихле используются для определения L-функций Дирихле, которые являются мероморфными функциями со множеством интересных аналитических свойств. Если $\chi$ является характером Дирихле, его L-ряд Дирихле определяется равенством

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (n)}{n^s}$

где s — комплексное число с вещественной частью > 1. Путём аналитического продолжения эта функция может быть продолжена до мероморфной функции на всей комплексной плоскости. L-функции Дирихле являются обобщением дзета-функции Римана и заметно проявляются в обобщённых гипотезах Римана.

Характеры Дирихле названы в честь Петера Густава Лежёна Дирихле.

Аксиоматическое определение

Характер Дирихле — это любая функция $\chi$ на множестве целых чисел $\mathbb{Z}$ с комплексными значениями, имеющая следующие свойстваШаблон:Sfn:

1. Существует положительное целое число k, такое что $\chi (n)=\chi (n+k)$ для любых n.
2. Если n и k не взаимно просты, то $\chi (n)=0$; если же они взаимно просты, $\chi (n)\ne 0$.
3. $\chi (mn)=\chi (m)\chi (n)$ для любых целых m и n.

Из этого определения можно вывести некоторые другие свойства. Согласно свойству 3) $\chi (1)=\chi (1\times 1)=\chi (1)\chi (1)$. Поскольку НОД(1, k) = 1, свойство 2) гласит, что $\chi (1)\ne 0$, так что

4. $\chi (1)=1$.

Свойства 3) и 4) показывают, что любой характер Дирихле $\chi$ является Шаблон:Не переведено 5 характером.

Свойство 1) говорит, что характер является периодической функцией с периодом k. Мы говорим, что $\chi$ является характером по модулю k. Это эквивалентно утверждению, что

5. если $a\equiv b(\mathrm{mod}k)$, то $\chi (a)=\chi (b)$.

Если НОД(a,k) = 1, теорема Эйлера утверждает, что $a^{\phi (k)}\equiv 1(\mathrm{mod}k)$ (где $\phi (k)$ является функцией Эйлера). Таким образом, согласно свойствам 5) и 4), $\chi (a^{\phi (k)})=\chi (1)=1$, а по свойству 3) $\chi (a^{\phi (k)})=\chi (a{)}^{\phi (k)}$. Следовательно,

6. Для всех a, взаимно простых с k, $\chi (a)$ является $\phi (k)$-ым комплексным корнем из единицы,

то есть

$e^{2ri\pi /\phi (k)}$

для некоторого целого

$0⩽r<\phi (k)$

.

Единственный характер с периодом 1 называется тривиальным характером. Заметим, что любой характер обращается в 0 в точке 0, за исключением тривиального, который равен 1 для всех целых чисел.

• Характер, принимающий значение 1 на всех числах, взаимно простых с $k$, называется главным:

  ${\chi }_0(n)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{НОД}(n,k)=1;\\ 0,& \text{НОД}(n,k)\ne 1.\end{array}$Шаблон:Sfn.

  • В группе характеров по модулю $k$ он играет роль единицы.

Характер называется вещественным, если он принимает только вещественные значения. Характер, не являющийся вещественным, называется комплекснымШаблон:Sfn

Знак характера $\chi$ зависит от его значения в точке −1. Говорят, что $\chi$ нечётный, если $\chi (-1)=-1$, и чётный, если $\chi (-1)=1$.

Построение через классы вычетов

Характеры Дирихле могут рассматриваться в терминах Шаблон:Не переведено 5 группы обратимых элементов кольца $\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$ как расширенные характеры классов вычетовШаблон:Sfn.

Классы вычетов

Если дано целое число k, можно определить класс вычета целого числа n как множество всех целых чисел, сравнимых с n по модулю k: $\hat{n}=\{m\mid m\equiv n(\mathrm{mod}k)\}.$ То есть класс вычетов $\hat{n}$ является классом смежности n в факторкольце $\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$.

Множество обратимых элементов по модулю k образует абелеву группу порядка $\phi (k)$, где умножение в группе задаётся равенством $\widehat{mn}=\hat{m}\hat{n}$, а $\phi$ снова означает функцию Эйлера. Единицей в этой группе служит класс вычетов $\hat{1}$, а обратным элементом для $\hat{m}$ является класс вычетов $\hat{n}$, где $\hat{m}\hat{n}=\hat{1}$, то есть $mn\equiv 1(\mathrm{mod}k)$. Например, для k=6 множеством обратимых элементов является $\{\hat{1},\hat{5}\}$, поскольку 0, 2, 3 и 4 не взаимно просты с 6.

Группа характеров $(\mathbb{Z}/k{)}^{*}$ состоит из характеров классов вычетов. Характер класса вычетов $\theta$ на $(\mathbb{Z}/k{)}^{*}$ примитивен, если нет собственного делителя d для k, такого что $\theta$ факторизуются как $(\mathbb{Z}/k{)}^{*}\to (\mathbb{Z}/d{)}^{*}\to {ℂ}^{*}$Шаблон:Sfn.

Характеры Дирихле

Определение характера Дирихле по модулю k обеспечивает, чтобы он был ограничен Шаблон:Не переведено 5 группы обратимых элементов по модулю kШаблон:Sfn: группа гомоморфизмов $\chi$ из $(\mathbb{Z}/k{)}^{*}$ в ненулевые комплексные числа

$\chi :(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}{)}^{*}\to {ℂ}^{*}$,

со значениями, которые обязательно будут корнями из единицы, поскольку обратимые элементы по модулю k образуют конечную группу. В обратном направлении, если дана группа гомоморфизмов $\chi$ на группе обратимых элементов по модулю k, мы можем Шаблон:Не переведено 5 до Шаблон:Не переведено 5 функции на целых числах, взаимно простых с k, а затем расширить эту функцию на все целые числа путём присвоения значения 0 на всех целых числах, имеющих нетривиальные делители, общие с k. Получающаяся функция будет тогда характером ДирихлеШаблон:Sfn.

Главный характер ${\chi }_1$ по модулю k имеет свойства Шаблон:Sfn

${\chi }_1(n)=1$ при НОД(n, k) = 1 и

${\chi }_1(n)=0$ при НОД(n, k) > 1.

Ассоциированный характер мультипликативной группе $(\mathbb{Z}/k{)}^{*}$ является главным характером, который всегда принимает значение 1Шаблон:Sfn.

Когда k равен 1, главный характер по модулю k равен 1 на всех целых чисел. Для k, большего 1, главные характеры по модулю k обращаются в нуль в целых числах, имеющих ненулевые общие множители с k, и равно 1 на других целых числах.

Имеется $\phi (n)$ характеров Дирихле по модулю nШаблон:Sfn.

Примеры

• Для любого нечётного модуля $k$ символ Якоби $\left(\frac{n}{k}\right)$ является характером по модулю $k$.
• Степенной вычет степени выше 2 — это невещественный характер.

Некоторые таблицы характеров

Таблицы ниже помогают иллюстрировать природу характеров Дирихле. Они представляют характеры по модулю от 1 до 10. Характеры ${\chi }_1$ являются главными характерами.

По модулю 1

Существует $\phi (1)=1$ характер по модулю 1:

$\chi \setminus n$	0
${\chi }_1(n)$	1

Это тривиальный характер.

По модулю 2

Существует $\phi (2)=1$ характер по модулю 2:

$\chi \setminus n$	0	1
${\chi }_1(n)$	0	1

Заметим, что $\chi$ полностью определяется значением $\chi (1)$, поскольку 1 порождает группу обратимых элементов по модулю 2.

По модулю 3

Есть $\phi (3)=2$ характера по модулю 3:

$\chi \setminus n$	0	1	2
${\chi }_1(n)$	0	1	1
${\chi }_2(n)$	0	1	−1

Заметим, что $\chi$ полностью определяется значением $\chi (2)$, поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 3.

По модулю 4

Существует $\phi (4)=2$ характера по модулю 4:

$\chi \setminus n$	0	1	2	3
${\chi }_1(n)$	0	1	0	1
${\chi }_2(n)$	0	1	0	−1

Заметим, что $\chi$ полностью определяется значением $\chi (3)$, поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 4.

L-ряд Дирихле для ${\chi }_1(n)$ равен лямбда-функции Дирихле (тесно связанной с эта-функцией Дирихле)

$L({\chi }_1,s)=(1-2^{-s})\zeta (s)$,

где $\zeta (s)$ является дзета-функцией Римана. L-ряд для ${\chi }_2(n)$ является бета-функцией Дирихле

$L({\chi }_2,s)=\beta (s).$

По модулю 5

Существует $\phi (5)=4$ характеров по модулю 5. В таблицах i является квадратным корнем из $-1$.

$\chi \setminus n$	0	1	2	3	4
${\chi }_1(n)$	0	1	1	1	1
${\chi }_2(n)$	0	1	i	−i	−1
${\chi }_3(n)$	0	1	−1	−1	1
${\chi }_4(n)$	0	1	−i	i	−1

Заметим, что $\chi$ полностью определяется значение $\chi (2)$, поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 5.

По модулю 6

Существует $\phi (6)=2$ характеров по модулю 6:

$\chi \setminus n$	0	1	2	3	4	5
${\chi }_1(n)$	0	1	0	0	0	1
${\chi }_2(n)$	0	1	0	0	0	−1

Заметим, что $\chi$ полностью определяется значением$\chi (5)$, поскольку 5 порождает группу обратимых элементов по модулю 6.

По модулю 7

Существует $\phi (7)=6$ характеров по модулю 7. В таблице ниже $\omega =\exp (\pi i/3).$

$\chi \setminus n$	0	1	2	3	4	5	6
${\chi }_1(n)$	0	1	1	1	1	1	1
${\chi }_2(n)$	0	1	${\omega }^2$	$\omega$	$-\omega$	$-{\omega }^2$	−1
${\chi }_3(n)$	0	1	−$\omega$	${\omega }^2$	${\omega }^2$	$-\omega$	1
${\chi }_4(n)$	0	1	1	−1	1	−1	−1
${\chi }_5(n)$	0	1	${\omega }^2$	$-\omega$	$-\omega$	${\omega }^2$	1
${\chi }_6(n)$	0	1	$-\omega$	$-{\omega }^2$	${\omega }^2$	$\omega$	−1

Заметим, что $\chi$ полностью определяется значением $\chi (3)$, поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 7.

По модулю 8

Существует $\phi (8)=4$ характеров по модулю 8.

$\chi \setminus n$	0	1	2	3	4	5	6	7
${\chi }_1(n)$	0	1	0	1	0	1	0	1
${\chi }_2(n)$	0	1	0	1	0	−1	0	−1
${\chi }_3(n)$	0	1	0	−1	0	1	0	−1
${\chi }_4(n)$	0	1	0	−1	0	−1	0	1

Заметим, что $\chi$ полностью определяется значениями $\chi (3)$ и $\chi (5)$, поскольку 3 и 5 порождают группу обратимых элементов по модулю 8.

По модулю 9

Существует $\phi (9)=6$ характеров по модулю 9. В таблице ниже $\omega =\exp (\pi i/3).$

$\chi \setminus n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8
${\chi }_1(n)$	0	1	1	0	1	1	0	1	1
${\chi }_2(n)$	0	1	$\omega$	0	${\omega }^2$	$-{\omega }^2$	0	$-\omega$	−1
${\chi }_3(n)$	0	1	${\omega }^2$	0	$-\omega$	$\omega$	0	${\omega }^2$	1
${\chi }_4(n)$	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1
${\chi }_5(n)$	0	1	$-\omega$	0	${\omega }^2$	${\omega }^2$	0	$-\omega$	1
${\chi }_6(n)$	0	1	$-{\omega }^2$	0	$-\omega$	$\omega$	0	${\omega }^2$	−1

Заметим, что $\chi$ полностью определяется значением$\chi (2)$, поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 9.

По модулю 10

Существует $\phi (10)=4$ характеров по модулю 10.

$\chi \setminus n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
${\chi }_1(n)$	0	1	0	1	0	0	0	1	0	1
${\chi }_2(n)$	0	1	0	i	0	0	0	−i	0	−1
${\chi }_3(n)$	0	1	0	−1	0	0	0	−1	0	1
${\chi }_4(n)$	0	1	0	−i	0	0	0	i	0	−1

Заметим, что $\chi$ полностью определяется значением $\chi (3)$, поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 10.

Примеры

Если p является нечётным простым числом, то функция

$\chi (n)=\left(\frac{n}{p}\right),$ где $\left(\frac{n}{p}\right)$ является символом Лежандра, является примитивным характером Дирихле по модулю pШаблон:Sfn.

Более обще, если m является положительным нечётным числом, функция

$\chi (n)=\left(\frac{n}{m}\right),$ где $\left(\frac{n}{m}\right)$ является символом Якоби, является характером Дирихле по модулю mШаблон:Sfn.

Это квадратичные характеры — в общем случае примитивные квадратичные характеры возникают в точности из cимвола Кронекера — ЯкобиШаблон:Sfn.

Примитивные характеры и кондуктор

При переходе от вычетов по модулю N к вычетам по модулю M для любого множителя M числа N происходит потеря информации. Эффект характеров Дирихле дает противоположный результат – если $\chi *$ является характером по модулю M, он индуцирует характер $\chi *$ по модулю N для любого N, кратного M. Характер является примитивным, если он не индуцируется каким-либо характером по меньшему модулюШаблон:Sfn.

Если $\chi$ – характер по модулю n и d делит n, мы говорим, что модуль d является индуцированным модулем для $\chi$, если $\chi (a)=1$ для всех a, взаимно простых с n и 1 mod dШаблон:Sfn: характер примитивен, если нет меньшего индуцированного модуляШаблон:Sfn.

Мы можем это формализовать различным образом путём определения характеров ${\chi }_{1}mod{N}_1$ и ${\chi }_{2}mod{N}_2$ как согласованных, если для некоторого модуля N, такого что N₁ и N₂ оба делят N, мы имеем ${\chi }_1(n)={\chi }_2(n)$ для всех n взаимно простых с N, то есть существует некоторый характер $\chi *$, порождённый как ${\chi }_1$, так и ${\chi }_2$. Это отношение эквивалентности на характерах. Характер с наименьшим модулем в классе эквивалентности является примитивным, и этот наименьший модуль является кондуктором характеров в классе.

Непримитивность характеров может привести к отсутствию Шаблон:Не переведено 5 в их L-функциях.

Ортогональность характеров

Ортогональность характеров конечной группы переносится на характеры ДирихлеШаблон:Sfn.

Если мы зафиксируем характер $\chi$ по модулю n, то

$\sum _{amodn}\chi (a)=0$,

если $\chi$ не главный характер, иначе сумма равна $\phi (n)$.

Аналогично, если зафиксировать класс вычетов a по модулю n, то сумма по всем характерам даёт

$\sum _{\chi }\chi (a)=0$,

кроме случая a=1, когда сумма равна $\phi (n)$.

Отсюда делаем вывод, что любая периодическая функция с периодом n над классом вычетов, взаимно простых с n, является линейной комбинацией характеров ДирихлеШаблон:Sfn.

История

Характеры Дирихле вместе с их $L$-рядами были введены Дирихле в 1831 году, в рамках доказательства теоремы Дирихле о бесконечности числа простых чисел в арифметических прогрессиях. Он изучал их только для $s\in ℝ$ и в основном когда $s$ стремится к 1. Расширение этих функций на всю комплексную плоскость было получено Риманом в 1859 году.

См. также

• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5
• Сумма Гаусса
• Примитивный корень по модулю n
• Шаблон:Не переведено 5

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
  • Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга см. главу 13.
  • Шаблон:Книга
• Шаблон:Cite arxiv
• Шаблон:Книга
  • Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Московского университета, 1984.
• Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — М.: УРСС, 2004.