Треугольное число

Треугольное число — один из классов фигурных многоугольных чисел, определяемый как число точек, которые могут быть расставлены в форме правильного треугольника. Как видно из рисунка, Шаблон:S треугольное число $T_{n}$ — это сумма $n$ первых натуральных чисел:

\begin{matrix} T_{1} & = 1 & = & 1 \\ T_{2} & = 1 + 2 & = & 3 \\ T_{3} & = 1 + 2 + 3 & = & 6 \\ T_{4} & = 1 + 2 + 3 + 4 & = & 10 \end{matrix}

и т. д. Общая формула для $n$ -го по порядку треугольного числа:

T_{n} = \frac{1}{2} n (n + 1), n = 1, 2, 3 \dots

;

Последовательность треугольных чисел $T_{n}$ бесконечна. Она начинается так:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120 … (Шаблон:OEIS)

Часть источников начинает последовательность треугольных чисел с нуля, которому соответствует номер $n = 0 .$

Треугольные числа играют значительную роль в комбинаторике и теории чисел Шаблон:Переход, они тесно связаны с многими другими классами целых чисел Шаблон:Переход.

Свойства

Рекуррентная формула для Шаблон:Math-го треугольного числаШаблон:Sfn:

T_{n} = T_{n - 1} + n

.

Следствия ( $n > 1$ )Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn:

T_{n + 1} = T_{n - 1} + 2 n + 1

.

T_{n + 1} + T_{n - 1} = 2 T_{n} + 1

.

T_{2 n - 1} = 3 T_{n - 1} + T_{n}

(см. рисунок слева).

T_{2 n} = 3 T_{n} + T_{n - 1}

. (см. рисунок справа).

Ещё две формулы легко доказать по индукции Шаблон:Sfn:

T_{m + n} = T_{m} + T_{n} + m n

T_{m n} = T_{m} T_{n} + T_{m - 1} T_{n - 1}

Все треугольные числа, кроме 1 и 3, составные. Никакое треугольное число не может в десятичной записи заканчиваться цифройШаблон:Sfn $2, 4, 7, 9 .$ Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.

Третья сбоку линия (диагональ) треугольника Паскаля состоит из треугольных чиселШаблон:Sfn.

Сумма конечного ряда треугольных чисел вычисляется по одной из формулШаблон:Sfn:

S_{m - 1} = 1 + 3 + 6 + \dots + \frac{(m - 1) m}{2} = \frac{m^{3} - m}{6}

или:

S_{m} = 1 + 3 + 6 + \dots + \frac{m (m + 1)}{2} = \frac{m (m + 1) (m + 2)}{6}

Ряд из чисел, обратных треугольным, сходится (см. Телескопический ряд):

1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \dots = 2 \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 2

Восемь треугольных чисел и ещё одна точка образуют полный квадрат

Критерий треугольности числа

Натуральное число $x$ является треугольным тогда и только тогда, когда число $8 x + 1$ является полным квадратом.

В самом деле, если $x$ треугольное, то $8 x + 1 = 8 \frac{n (n + 1)}{2} + 1 = 4 n^{2} + 4 n + 1 = (2 n + 1)^{2} .$ Обратно, число $8 x + 1$ нечётно, и если оно равно квадрату некоторого числа $a,$ то $a$ тоже нечётно: $a = 2 n + 1,$ и мы получаем равенство: $8 x + 1 = (2 n + 1)^{2} = 4 n^{2} + 4 n + 1,$ откуда: $x = \frac{n (n + 1)}{2}$ — треугольное число Шаблон:ЧТД.

Следствие: номер числа $x$ в последовательности треугольных чисел определяется формулой:

n = \frac{\sqrt{8 x + 1} - 1}{2} .

Применение

Шаблон:Also Треугольные числа возникают во многих практических ситуациях.

Как биномиальный коэффициент $T_{n} = C_{n + 1}^{2}$ число $T_{n}$ определяет число сочетаний для выбора двух элементов из $n + 1$ возможных.

Если $n$ объектов попарно соединить отрезками, то число отрезков (число рёбер полного графа) будет выражаться треугольным числом:

T_{n - 1} = \frac{n (n - 1)}{2}

Это видно из того, что каждый из $n$ объектов соединяется с остальными $n - 1$ объектами, так что получается $n (n - 1)$ соединений, однако при таком учёте каждое соединение засчитывается дважды (с двух разных концов), так что результат надо разделить пополам.

Аналогично максимальное количество рукопожатий для $n$ человек или количество шахматных партий в турнире с $n$ участниками равны $T_{n - 1} .$ Из тех же соображений можно заключить, что число диагоналей в выпуклом многоугольнике с $n$ сторонами (n>3) равно:

T_{n - 2} - 1 = \frac{n (n - 3)}{2}

Максимальное количество $p$ кусков, которое можно получить с помощью $n$ прямых разрезов пиццы (см. рисунок справа), равно $T_{n} + 1$ (см. Центральные многоугольные числа, Шаблон:OEIS).

Тетраксис в христианской мистике {Якоб Бёме, XVII век)

Известное в мистике «число зверя» (666) является 36-м треугольным^[1]. Оно является наименьшим треугольным числом, которое представимо в виде суммы квадратов треугольных чиселШаблон:Sfn: $666 = 1 5^{2} + 2 1^{2} .$

Четвёртое треугольное число 10 (тетраксис) пифагорейцы считали священным, определяющим гармонию вселенной — в частности, соотношения музыкальных интервалов, смену времён года и движение планет^[2]. Шаблон:-

Связь с другими классами чисел

Любое $k$ -угольное число $P_{n}^{(k)} (k ⩾ 3, n > 1)$ может быть выражено через треугольныеШаблон:Sfn:

P_{n}^{(k)} = n + (k - 2) \frac{n (n - 1)}{2} = (k - 3) T_{n - 1} + T_{n}

Сумма двух последовательных треугольных чисел — это квадратное число (полный квадрат), то есть^[1]:

T_{n - 1} + T_{n} = n^{2}

(формула Теона Смирнского Шаблон:Sfn.

Примеры:

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

Обобщением этой формулы является формула Никомаха — для любого $k ⩾ 3$ разность между Шаблон:S и Шаблон:S числами с одним и тем же номером есть треугольное числоШаблон:Sfn:

P_{n}^{(k + 1)} - P_{n}^{(k)} = T_{n - 1}

Предыдущая формула получается при $k = 3 .$

Существует единственная пифагорова тройка, состоящая из треугольных чиселШаблон:Sfn:

{T_{132}, T_{143}, T_{164}} = {8778, 10296, 13530} .

Среди треугольных чисел существуют числа-палиндромы, то есть числа, которые одинаковы при чтении их слева направо и справа налево (Шаблон:OEIS):

1, 3, 6, 55, 66, 171, 595, 666, 3003, 5995, 8778, \dots

Существует бесконечно много треугольных чисел, которые одновременно являются квадратными («квадратные треугольные числа»)^[3]Шаблон:Sfn: $1, 36, 1225, 41616, 1413721 \dots$ (Шаблон:OEIS).

Треугольное число может также быть одновременно

пятиугольным (Шаблон:OEIS):

1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315626468283465…;

шестиугольным (все треугольные числа с нечётным номером);
семиугольным (Шаблон:OEIS):

1, 21, 11781, 203841, 113123361, 1957283461, 1086210502741, 18793835590881, 10429793134197921, 180458407386358101…

и т. д. Неизвестно, существуют ли числа, одновременно треугольные, квадратные и пятиугольные; проверка на компьютере чисел, меньших $1 0^{22166},$ не обнаружила ни одного подобного числа, однако не доказано, что таковых не существуетШаблон:Sfn.

Четыре треугольных числа $1, 3, 15, 4095$ являются одновременно числами Мерсенна (Шаблон:OEIS) (см. уравнение Рамануджана — Нагеля).

Пять чисел $1, 10, 120, 1540, 7140$ (и только они) одновременно треугольные и тетраэдральные (Шаблон:OEIS).

Четыре числа $1, 55, 91, 208335$ одновременно треугольные и квадратные пирамидальные (Шаблон:OEIS).

Никакое натуральное число, кроме 1, не может быть одновременно^[4]Шаблон:Sfn:

треугольным и кубическим;
треугольным и биквадратным Шаблон:Sfn;
треугольным и пятой степенью целого числа^[4];

Каждое чётное совершенное число является треугольным^[5].

Любое натуральное число представимо в виде суммы не более трёх треугольных чисел. Утверждение впервые сформулировал в 1638 году Пьер Ферма в письме к Мерсенну без доказательства, впервые доказано в 1796 году Гауссом Шаблон:Sfn.

Квадрат Шаблон:Math-го треугольного числа является суммой кубов первых $n$ натуральных чисел (тождество Никомаха)Шаблон:Sfn. Следствие: разность квадратов двух последовательных треугольных чисел дает кубическое число. Например, $1 5^{2} - 1 0^{2} = 125 = 5^{3} .$

Производящая функция

Степенной ряд, коэффициенты которого — треугольные числа, сходится при $| x | < 1$ :

\frac{x}{(1 - x)^{3}} = T_{1} x + T_{2} x^{2} + T_{3} x^{3} + \dots + T_{n} x^{n} + \dots

Выражение слева является производящей функцией для последовательности треугольных чиселШаблон:Sfn.

Вариации и обобщения

Вариацией треугольных чисел являются центрированные треугольные числа.

Понятие плоского треугольного числа можно обобщить на три и более измерений. Пространственным их аналогом служат тетраэдральные числа, а в произвольном $d$ -мерном пространстве можно определить гипертетраэдральные числаШаблон:Sfn:

T_{n}^{[d]} = \frac{(n - 1 + d)!}{(n - 1)! d!}

Их частным случаем выступают:

$T_{n}^{[2]}$ — треугольные числа.
$T_{n}^{[3]}$ — тетраэдральные числа.
$T_{n}^{[4]}$ — пентатопные числа.

Ещё одним обобщением треугольных чисел являются числа Стирлинга второго рода Шаблон:Sfn:

T_{n} = S (n + 1, n)

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Шаблон:Навигация

Шаблон:ВС Шаблон:Фигурные числа Шаблон:Классы натуральных чисел

[Sham-1] 1,0 ^1,1 Шаблон:Cite web

[2] Шаблон:Citation

[3] Шаблон:Cite web

[PENG9-4] 4,0 ^4,1 Шаблон:Cite web

[5] Шаблон:Статья

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]