Пространство Колмогорова

Пространство Колмогорова (T₀-пространство) — топологическое пространство, удовлетворяющее аксиоме Колмогорова T₀, то есть пространство, в котором для любой пары различных точек окрестность хотя бы одной из них не содержит вторую точку. Названы в честь математика Андрея Колмогорова.

Формальная запись условия для топологического пространства $(X,\tau )$:

$\mathrm{\forall }a,b\in X,a\ne b\mathrm{\exists }O\in \tau :(a\in O)\wedge (b\notin O)\vee (a\notin O)\wedge (b\in O)$.

Почти все изучаемые топологические пространства являются колмогоровыми, в частности, таковы хаусдорфовы и Шаблон:Nobr.

Топологически различимые точки всегда не равны друг другу. С другой стороны, если одноточечные множества $\{x\}$ и $\{y\}$ разделимы, то $x$ и $y$ должны быть топологически различимы. Таким образом, топологическая различимость, в общем случае, сильнее различности точек, но слабее их разделимости.

Примеры неколмогоровских пространств

Если носитель топологии содержит больше одной точки, то в тривиальной топологии точки будут неразличимы.

В ${ℝ}^2$, где топология определяется декартовыми произведениями открытых множеств $ℝ$ на само $ℝ$, точки $(a,b)$ и $(a,c)$ будут неразличимы.

Пространство всех измеримых функций $f:ℝ\to ℂ$, таких что интеграл Лебега ${\left(\underset{ℝ}{\int }{|f(x)|}^2\right)}^{1/2}dx$ конечен. Тогда две функции неразличимы, если они равны почти всюду.

Примеры колмогоровских пространств, не удовлетворяющих T₁

Особый интерес представляют T₀-пространства, не удовлетворяющие следующей по ограничительности аксиоме отделимости — T₁ (аксиоме Тихонова).

Топология Зарисского на множестве простых идеалов заданного коммутативного кольца $R$ всегда удовлетворяет T₀, но не всегда T₁. В этом случае незамкнутые точки соответствуют простым идеалам, которые не являются максимальными.

Топология на носителе $X$ с хотя бы двумя элементами, заданная как $\tau =\{S\subseteq X|p\in S\}\cup \{\varnothing \}$ для некоторой точки $p\in X$, определяет колмогоровское пространство, не удовлетворяющее T₁, поскольку $p$ не замкнута (её замыкание есть всё пространство). Важным частным случаем является пространство Серпинского. Если же в этом случае топология задаётся наоборот: $\tau =\{S\subseteq X|p\notin S\}\cup \{X\}$, то также выполняется T₀, но не T₁.

Частично упорядоченное множество с топологией Александрова (в такой топологии, любое пересечение открытых множеств открыто) будет удовлетворять T₀, но не T₁, если только порядок не является дискретным. Любое конечное T₀-пространство принадлежит этому типу.

Топология, базой которой являются все интервалы линейно упорядоченного множества вида $(a,\mathrm{\infty })=\{x\in X|x>a\}$ вместе с самим $X$.

Факторпространство Колмогорова

В основном изучаемые в топологии пространства удовлетворяют T₀. При возникновении неколмогорова пространства $X$ для удобства можно перейти к T₀-пространству, для чего вводится отношение эквивалентности $\sim$, объединяющее неразличимые точки, и в дальнейшем изучается T₀-отделимое факторпространство $X/\sim$, называемое факторпространством Колмогорова и обозначаемое $KQ(X)$ (аналогичным образом в функциональном анализе переходят от ${ℒ}^p$ к факторизованным $L^p$-пространствам).

Очевидно, если $X$ изначально является T₀-пространством, то $X$ и $KQ(X)$ гомеоморфны.

Топологические пространства $X$ и $Y$ являются эквивалентными по Колмогорову, если их колмогоровы факторпространства гомеоморфны. Различные свойства топологических пространств сохраняются при таком отношении. То есть, если $KQ(X)$ и $KQ(Y)$ гомеоморфны, то $X$ обладает некоторым свойством тогда и только тогда, когда $Y$ также обладает им. C другой стороны, некоторые свойства предполагают колмогоровость, но тогда, если $X$ им обладает, то $X$ должно быть колмогоровым. Лишь малое количество свойств, такие как недискретность, являются исключениями к этому правилу. Тем более, множество структур могут быть индуцированы с $X$ на $KQ(X)$.

Преобразование неколмогорова пространства в колмогорово путём перехода к факторпространству сохраняет основные изначально введённые дополнительные структуры, в частности, векторное пространство, полунорму и псевдометрику, согласованные с топологией. Например, можно перейти от полунормированного неколмогорова пространство к факторпростраству Колмогорова, удовлетворяющему тождеству параллелограмма, в этом случае полунорма становится нормой тогда и только тогда, когда топология удовлетворяет T₀, поэтому тем более факторпространство будет гильбертовым.