Скрученно удлинённая пятискатная куполоротонда

Скру́ченно удлинённая пятиска́тная куполорото́нда — один из многогранников Джонсона (J₄₇, по Залгаллеру — М₆+А₁₀+М₉).

Составлена из 47 граней: 35 правильных треугольников, 5 квадратов и 7 правильных пятиугольников. Среди пятиугольных граней 1 окружена пятью квадратными, остальные 6 — пятью треугольными; каждая квадратная грань окружена пятиугольной и тремя треугольными; среди треугольных граней 5 окружены тремя пятиугольными, 5 — двумя пятиугольными и треугольной, 5 — пятиугольной и двумя треугольными, 5 — двумя квадратными и треугольной, 5 — квадратной и двумя треугольными, остальные 10 — тремя треугольными.

Имеет 80 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между пятиугольной и квадратной гранями, 30 рёбер — между пятиугольной и треугольной, 15 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 30 — между двумя треугольными.

У скрученно удлинённой пятискатной куполоротонды 35 вершин. В 10 вершинах сходятся две пятиугольных и две треугольных грани; в 5 вершинах — пятиугольная, две квадратных и треугольная; в 10 вершинах — пятиугольная и четыре треугольных; в остальных 10 — квадратная и четыре треугольных.

Скрученно удлинённую пятискатную куполоротонду можно получить из пятискатного купола (J₅), пятискатной ротонды (J₆) и правильной десятиугольной антипризмы, все рёбра у которой равны, — приложив десятиугольные грани купола и ротонды к основаниям антипризмы.

Это один из пяти хиральных многогранников Джонсона (наряду с J₄₄, J₄₅, J₄₆ и J₄₈), существующих в двух разных зеркально-симметричных (энантиоморфных) вариантах — «правом» и «левом». Кроме того, среди многогранников Джонсона это единственный с группой симметрии C₅ и единственный, группа симметрии которого имеет нечётный порядок (5).

Метрические характеристики

Если cкрученно удлинённая пятискатная куполоротонда имеет ребро длины $a$, её площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\frac{1}{4}(20+35\sqrt{3}+7\sqrt{25+10\sqrt{5}})a^2\approx 32,1987864a^2,$

$V=\frac{5}{12}(11+5\sqrt{5}+2\sqrt{2(\sqrt{650+290\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1)})a^3\approx 15,9910962a^3.$

Ссылки

• Шаблон:Mathworld