Уравнение электромагнитной волны

Уравнение электромагнитной волны  — дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, которое описывает распространение электромагнитных волн через среду или в вакуумe. Это трёхмерная форма волнового уравнения. Однородная форма уравнения, записанная в терминах либо электрического поля Шаблон:Math, либо магнитного поля Шаблон:Math, имеет вид:

$\begin{array}{cc}(v_{ph}^2{\mathrm{\nabla }}^2-\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})𝐄& =\mathrm{𝟎}\\ (v_{ph}^2{\mathrm{\nabla }}^2-\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})𝐁& =\mathrm{𝟎}\end{array}$

где

$v_{ph}=\frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon }}$

— скорость света (т.e. фазовая скорость) в среде с магнитной проницаемостью Шаблон:Mvar и диэлектрической проницаемостью Шаблон:Mvar, а Шаблон:Math — оператор Лапласа. В вакууме Шаблон:Math — фундаментальная физическая постоянная. Уравнение электромагнитной волны вытекает из уравнения Максвелла. В большинстве старых литературных источников Шаблон:Math называется плотностью магнитного потока или магнитной индукцией. Следующие уравнения

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄& =0\\ \mathrm{\nabla }\cdot 𝐁& =0\end{array}$

обозначают, что любая электромагнитная волна должна быть поперечной, где электрическое поле Шаблон:Math и магнитное поле Шаблон:Math оба перпендикулярны направлению распространения волны.

Происхождение уравнения электромагнитной волны

Открытка от Максвелла Питеру Тейту.

В своей статье 1865 года под названием «Шаблон:Iw» Джеймс Максвелл использовал поправку к закону циркуляции Ампера, которую он внёс в часть III своей статьи 1861 года «О физических силовых линиях». В части VI своей статьи 1864 года под названием «Электромагнитная теория света», Максвелл объединил ток смещения с некоторыми другими уравнениями электромагнетизма и получил волновое уравнение со скоростью, равной скорости света. Он комментировал:

Согласование результатов, по-видимому, показывает, что свет и магнетизм являются воздействиями одного и того же вещества, и что свет является электромагнитным возмущением, распространяющимся через поле в соответствии с электромагнитными законами.

Вывод Максвеллом уравнения электромагнитной волны был заменён в современном физическом образовании гораздо менее громоздким методом, включающим объединение исправленной версии закона циркуляции Ампера с законом индукции Фарадея.

Чтобы получить уравнение электромагнитной волны в вакууме с использованием современного метода, мы начинаем с уравнений Максвелла в форме Хевисайда. В пространстве без тока и заряда эти уравнения запишутся в виде:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄& =0\\ \mathrm{\nabla }\times 𝐄& =-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}\\ \mathrm{\nabla }\cdot 𝐁& =0\\ \mathrm{\nabla }\times 𝐁& ={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}\\ \end{array}$

Это общие уравнения Максвелла, специализированные для случая, когда заряд и ток равны нулю. Взятие ротора вихревого уравнения даёт:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)& =\mathrm{\nabla }\times (-\frac{\partial 𝐁}{\partial t})=-\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\times 𝐁)=-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2𝐄}{\partial t^2}\\ \mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)& =\mathrm{\nabla }\times \left({\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}\right)={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\times 𝐄)=-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2𝐁}{\partial t^2}\end{array}$

Мы можем использовать векторное тождество

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐕)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐕)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐕$

где Шаблон:Math — любая векторная функция пространства. И

${\mathrm{\nabla }}^2𝐕=\mathrm{\nabla }\cdot \left(\mathrm{\nabla }𝐕\right)$

где Шаблон:Math — диада, которая при работе с оператором дивергенции Шаблон:Math даёт вектор. Поскольку

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄& =0\\ \mathrm{\nabla }\cdot 𝐁& =0\end{array}$

первый член справа в тождестве обращается в нуль, и мы получаем волновые уравнения:

$\begin{array}{cc}\frac{1}{c_0^2}\frac{{\partial }^2𝐄}{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2𝐄& =0\\ \frac{1}{c_0^2}\frac{{\partial }^2𝐁}{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2𝐁& =0\end{array}$

где

$c_0=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}=2.99792458\times 10^8\text{м/с}$

— скорость света в свободном пространстве.

Ковариантная форма однородного волнового уравнения

Замедление времени при трансверсальном движении. Требование, чтобы скорость света была постоянной в каждой инерциальной система отсчёта, приводит к специальной теории относительности.

Эти релятивистские уравнения могут быть записаны в контравариантной форме как

$◻A^{\mu }=0$

где электромагнитный четырехпотенциал равен

$A^{\mu }=(\frac{\varphi }{c},𝐀)$

с условием калибровки Лоренца:

${\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0,$

и где

$◻={\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}$

является оператором Д’Аламбера.

Однородное волновое уравнение в искривлённом пространстве-времени

Уравнение электромагнитной волны модифицируется двумя способами, производная заменяется ковариантной производной и появляется новое слагаемое, которое зависит от кривизны.

$-{A^{\alpha ;\beta }}_{;\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }{A}^{\beta }=0$

где ${R^{\alpha }}_{\beta }$ — тензор Риччи, а точка с запятой указывает на ковариантное дифференцирование.

Допускается обобщение Шаблон:Iw в искривлённом пространстве-времени:

${A^{\mu }}_{;\mu }=0.$

Неоднородное уравнение электромагнитной волны

Локализованные изменяющиеся во времени плотности заряда и тока могут выступать в качестве источников электромагнитных волн в вакууме. Уравнения Максвелла можно записать в виде волнового уравнения с источниками. Добавление источников к волновым уравнениям делает дифференциальные уравнения в частных производных неоднородными

Решения однородного уравнения электромагнитной волны

Шаблон:Main Общим решением уравнения электромагнитной волны является линейная суперпозиция волн в виде

$\begin{array}{cc}𝐄(𝐫,t)& =g(\varphi (𝐫,t))=g(\omega t-𝐤\cdot 𝐫)\\ 𝐁(𝐫,t)& =g(\varphi (𝐫,t))=g(\omega t-𝐤\cdot 𝐫)\end{array}$

практически для любой хорошо управляемой функции Шаблон:Mvar безразмерного аргумента Шаблон:Mvar, где Шаблон:Mvar — угловая частота (в радианах в секунду), и Шаблон:Math — волновой вектор (в радианах на метр).

Хотя функция Шаблон:Mvar может быть и часто является монохроматической синусоидальной волной, она не обязательно должна быть синусоидальной или даже периодической. На практике, Шаблон:Mvar не может иметь бесконечную периодичность, потому что любая реальная электромагнитная волна всегда имеет конечную протяжённость во времени и пространстве. В результате, исходя из теории разложения Фурье, реальная волна должна состоять из суперпозиции бесконечного набора синусоидальных частот.

К тому же, чтобы решение было правильным, волновой вектор и угловая частота не должны быть независимыми; они должны подчиняться дисперсионному соотношению:

$k=|𝐤|=\frac{\omega }{c}=\frac{2\pi }{\lambda }$

где Шаблон:Mvar — волновое число и Шаблон:Mvar — длина волны. Переменная Шаблон:Mvar может использоваться в этом уравнении только тогда, когда электромагнитная волна находится в вакууме.

Монохроматическое, синусоидальное стационарное состояние

Простейший набор решений волнового уравнения вытекает из предположения о синусоидальных формах волн одной частоты в разделяемой форме:

$𝐄(𝐫,t)=\mathrm{\Re }\{𝐄(𝐫)e^{i\omega t}\}$

где

• Шаблон:Mvar — мнимая единица,
• Шаблон:Math — угловая частота в радианах в секунду,
• Шаблон:Math — частота в Гц, и
• $e^{i\omega t}=\cos (\omega t)+i\sin (\omega t)$ — формула Эйлера.

Решения для плоских волн

Рассмотрим плоскость, определяемую единичным нормальным вектором

$𝐧=\frac{𝐤}{k}.$

Тогда решения волновых уравнений для плоских бегущих волн имеют вид

$\begin{array}{cc}𝐄(𝐫)& ={𝐄}_0{e}^{-i𝐤\cdot 𝐫}\\ 𝐁(𝐫)& ={𝐁}_0{e}^{-i𝐤\cdot 𝐫}\end{array}$

где Шаблон:Math — позиционный вектор (в метрах).

Эти решения представляют собой плоские волны, движущиеся в направлении нормального вектора Шаблон:Math. Если мы определим направление Шаблон:Mvar как направление Шаблон:Math, а направление Шаблон:Mvar как направление Шаблон:Math, то по закону Фарадея магнитное поле лежит в направлении Шаблон:Mvar и связано с электрическим полем соотношением

$c^2\frac{\partial B}{\partial z}=\frac{\partial E}{\partial t}.$

Поскольку дивергенция электрического и магнитного полей равна нулю, поля в направлении распространения отсутствуют.

Это решение является линейно поляризованным решением волновых уравнений. Существуют также циркулярно поляризованные решения, в которых поля вращаются вокруг нормального вектора.

Спектральное разложение

Из-за линейности уравнений Максвелла в вакууме их решения можно разложить в суперпозицию синусоид. На этом основан метод преобразования Фурье для решения дифференциальных уравнений. Синусоидальное решение уравнения электромагнитной волны имеет вид

$\begin{array}{cc}𝐄(𝐫,t)& ={𝐄}_0\cos (\omega t-𝐤\cdot 𝐫+{\varphi }_0)\\ 𝐁(𝐫,t)& ={𝐁}_0\cos (\omega t-𝐤\cdot 𝐫+{\varphi }_0)\end{array}$

где

• Шаблон:Mvar — время (в секунду),
• Шаблон:Mvar — угловая частота (в радианах в секунду),
• Шаблон:Math — волновой вектор (в радианах на метр), и
• ${\varphi }_0$ — фазовый угол (в радианах).

Волновой вектор связан с угловой частотой следующим образом

$k=|𝐤|=\frac{\omega }{c}=\frac{2\pi }{\lambda }$

где Шаблон:Mvar — волновое число и Шаблон:Mvar — длина волны.

Электромагнитный спектр — это график зависимости величины поля (или энергии) от длины волны.

Мультипольное разложение

Если предположить, что монохроматические поля изменяются во времени по закону $e^{-i\omega t}$, то при использовании уравнений Максвелла для устранения Шаблон:Math уравнение электромагнитной волны сводится к уравнению Гельмгольца для Шаблон:Math:

$({\mathrm{\nabla }}^2+k^2)𝐄=0,𝐁=-\frac{i}{k}\mathrm{\nabla }\times 𝐄,$

с Шаблон:Math, как указано выше. Альтернативно, можно исключить Шаблон:Math в пользу Шаблон:Math, чтобы получить:

$({\mathrm{\nabla }}^2+k^2)𝐁=0,𝐄=-\frac{i}{k}\mathrm{\nabla }\times 𝐁.$

Общее электромагнитное поле с частотой Шаблон:Mvar может быть записано как сумма решений этих двух уравнений. Трёхмерные решения уравнения Гельмгольца можно выразить в виде разложения по сферическим функциям с коэффициентами, пропорциональными сферическим функциям Бесселя. Однако применение этого разложения к каждой компоненте вектора Шаблон:Math или Шаблон:Math даст решения, которые в общем случае не являются бездивергентными (Шаблон:Math), и поэтому требуют дополнительных ограничений на коэффициенты.

Мультипольное разложение обходит эту трудность, разлагая не Шаблон:Math или Шаблон:Math, а Шаблон:Math или Шаблон:Math на сферические функции. Эти разложения по-прежнему решают исходные уравнения Гельмгольца для Шаблон:Math и Шаблон:Math потому что для бездивергентного поля Шаблон:Math, Шаблон:Math. Полученные выражения для общего электромагнитного поля имеют вид:

$\begin{array}{cc}𝐄& =e^{-i\omega t}\sum _{l,m}\sqrt{l(l+1)}[a_E(l,m){𝐄}_{l,m}^{(E)}+a_M(l,m){𝐄}_{l,m}^{(M)}]\\ 𝐁& =e^{-i\omega t}\sum _{l,m}\sqrt{l(l+1)}[a_E(l,m){𝐁}_{l,m}^{(E)}+a_M(l,m){𝐁}_{l,m}^{(M)}],\end{array}$

где ${𝐄}_{l,m}^{(E)}$ и ${𝐁}_{l,m}^{(E)}$ являются электрическими мультипольными полями порядка (l, m), и ${𝐄}_{l,m}^{(M)}$ и ${𝐁}_{l,m}^{(M)}$ — соответствующие им магнитные мультипольные поля, и Шаблон:Math и Шаблон:Math — коэффициенты разложения. Мультипольные поля задаются как

$\begin{array}{cc}{𝐁}_{l,m}^{(E)}& =\sqrt{l(l+1)}[B_l^{(1)}{h}_l^{(1)}(kr)+B_l^{(2)}{h}_l^{(2)}(kr)]{\mathrm{\Phi }}_{l,m}\\ {𝐄}_{l,m}^{(E)}& =\frac{i}{k}\mathrm{\nabla }\times {𝐁}_{l,m}^{(E)}\\ {𝐄}_{l,m}^{(M)}& =\sqrt{l(l+1)}[E_l^{(1)}{h}_l^{(1)}(kr)+E_l^{(2)}{h}_l^{(2)}(kr)]{\mathrm{\Phi }}_{l,m}\\ {𝐁}_{l,m}^{(M)}& =-\frac{i}{k}\mathrm{\nabla }\times {𝐄}_{l,m}^{(M)},\end{array}$

где Шаблон:Math — сферические функции Ганкеля, Шаблон:Math и Шаблон:Math определяются граничными условиями, и

${\mathrm{\Phi }}_{l,m}=\frac{1}{\sqrt{l(l+1)}}(𝐫\times \mathrm{\nabla })Y_{l,m}$

— векторные сферические гармоники, нормированные таким образом, что

$\int {\mathrm{\Phi }}_{l,m}^{*}\cdot {\mathrm{\Phi }}_{l^{\prime },m^{\prime }}d\mathrm{\Omega }={\delta }_{l,l^{\prime }}{\delta }_{m,m^{\prime }}.$

Мультипольное разложение электромагнитного поля находит применение в ряде задач, связанных со сферической симметрией, например, в задачах о диаграмме направленности антенн или ядерном гамма-излучении. Часто в таких приложениях интересует мощность, излучаемая в дальнем поле. В этих областях поля Шаблон:Math и Шаблон:Math асимптотически приближаются к

$\begin{array}{cc}𝐁& \approx \frac{e^{i(kr-\omega t)}}{kr}\sum _{l,m}(-i{)}^{l+1}[a_E(l,m){\mathrm{\Phi }}_{l,m}+a_M(l,m)\widehat{𝐫}\times {\mathrm{\Phi }}_{l,m}]\\ 𝐄& \approx 𝐁\times \widehat{𝐫}.\end{array}$

Угловое распределение усреднённой по времени излучаемой мощности даётся следующим образом:

$\frac{dP}{d\mathrm{\Omega }}\approx \frac{1}{2k^2}{|\sum _{l,m}(-i{)}^{l+1}[a_E(l,m){\mathrm{\Phi }}_{l,m}\times \widehat{𝐫}+a_M(l,m){\mathrm{\Phi }}_{l,m}]|}^2.$

См. также

Теория и эксперименты

• Уравнения Максвелла
• Волновое уравнение
• Дифференциальное уравнение в частных производных
• Шаблон:Iw
• Электромагнитное излучение
• Закон сохранения электрического заряда
• Свет
• Электромагнитный спектр
• Оптика

• Специальная теория относительности
• Общая теория относительности
• Шаблон:Iw
• Шаблон:Iw
• Формула Лармора
• Шаблон:Iw

Приложения

• Радуга
• Реликтовое излучение
• Лазер
• Инерциальный управляемый термоядерный синтез
• Фотография
• Рентгеновское излучение
• Рентгеноструктурный анализ
• Радар

• Радиоволны
• Оптический компьютер
• Микроволновое излучение
• Голография
• Микроскоп
• Телескоп
• Гравитационная линза
• Шаблон:Iw

Биографии

• Андре-Мари Ампер
• Альберт Эйнштейн
• Майкл Фарадей
• Генрих Герц
• Оливер Хевисайд
• Джеймс Максвелл
• Хендрик Лоренц

Литература

Электромагнетизм

Журнальные статьи

• Шаблон:Cite journal

Учебники для студентов вузов

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Учебники для выпускников вузов

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Векторный анализ

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book