Система координат

Систе́ма координа́т — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.

В математике координаты — совокупность чисел, сопоставленных точкам многообразия в некоторой карте определённого атласа.

В элементарной геометрии координаты — величины, определяющие положение точки на плоскости и в пространстве. На плоскости положение точки чаще всего определяется расстояниями от двух прямых (координатных осей), пересекающихся в одной точке (начале координат) под прямым углом; одна из координат называется ординатой, а другая — абсциссой. В пространстве по системе Декарта положение точки определяется расстояниями от трёх плоскостей координат, пересекающихся в одной точке под прямыми углами друг к другу, или сферическими координатами, где начало координат находится в центре сферы.

В географии координаты выбираются как (приближённо) сферическая система координат — широта, долгота и высота над известным общим уровнем (например, океана). См. Географические координаты.

В астрономии небесные координаты — упорядоченная пара угловых величин (например, прямое восхождение и склонение), с помощью которых определяют положение светил и вспомогательных точек на небесной сфере. В астрономии употребляют различные системы небесных координат. Каждая из них по существу представляет собой сферическую систему координат (без радиальной координаты) с соответствующим образом выбранной фундаментальной плоскостью и началом отсчёта. В зависимости от выбора фундаментальной плоскости система небесных координат называется горизонтальной (плоскость горизонта), экваториальной (плоскость экватора), эклиптической (плоскость эклиптики) или галактической (галактическая плоскость).

Наиболее используемая система координат — прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат).

Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае. Известным обобщением системы координат являются системы отсчёта и системы референции.

Основные системы

Точка P и её координаты в трёхмерной системе координат (с осью Х, направленной к читателю)

В этом разделе даются разъяснения к наиболее употребляемым системам координат в элементарной математике.

Декартовы координаты

Шаблон:Основная статьяРасположение точки Шаблон:Math на плоскости определяется декартовыми координатами с помощью пары чисел $(x,y):$

• $x$ — расстояние от точки Шаблон:Math до оси Шаблон:Math с учётом знака
• $y$ — расстояние от точки Шаблон:Math до оси Шаблон:Math с учётом знака

В пространстве необходимы уже три координаты $(x,y,z):$

• $x$ — расстояние от точки Шаблон:Math до плоскости Шаблон:Math
• $y$ — расстояние от точки Шаблон:Math до плоскости Шаблон:Math
• $z$ — расстояние от точки Шаблон:Math до плоскости Шаблон:Math

Полярные координаты

Полярные координаты

Поля́рная систе́ма координа́т (лат. polus — полюс, от др.-греч. πόλος — полюс, осьШаблон:Sfn) — система координат на плоскости, определяющаяся двумя полярными координатами $\rho$ и $\phi$, которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами $x$ и $y$ следующими выражениями:

$x=\rho \cos \phi ,$ $y=\rho \sin \phi ,$

где $0⩽\rho <+\mathrm{\infty },$ $0⩽\phi <2\pi$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Такие ограничения на значения полярных координат ставятся для того, чтобы соответствие между точками плоскости, отличными от полюса, и парами полярных координат $(\rho ,\phi )$ получилось взаимно однозначнымШаблон:Sfn.

Полярные координаты точек плоскости

Полярные координаты — координаты произвольной точки $M$ плоскости в выбранной полярной системе координат в виде следующих двух чисел: полярный радиус $\rho$, — расстояние от полюса $O$ до точки $M$; полярный угол $\phi$, — угол, на который поворачивается полярная ось до совмещения с точкой $M$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

В этих определениях предполагается, что полюс $O$ и точка $M$ не совпадают. Полюс $O$ находится на особом положении: его полярный радиус $\rho$ полагается равным нулю, а полярный угол $\phi$ — неопределённым, то есть ему можно приписать любое значение (иногда приписывают значение $\phi =0$Шаблон:Sfn)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Координатные линии полярной системы координат и две точки

Полярная система координат ортогональнаШаблон:Sfn. Ортогональные Шаблон:Iw полярной системы координат суть концентрические окружности при $\rho =\text{const}$ и лучи при $\phi =\text{const}$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Полярная система координат особенно проста и полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов, тогда как в более распространённой декартовой системе координат такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравненийШаблон:Sfn.

Примеры неоднозначности координат. Как полярные координаты $\rho =3$, $\phi =-\frac{\pi }{2}$, так и $\rho =3$, $\phi =\frac{3\pi }{2}$ задают одну и ту же точку плоскости. Как полярные координаты $\rho =1$, $\phi =0$, так и $\rho =1$, $\phi =2\pi$ и $\rho =1$, $\phi =-2\pi$ задают также одну и ту же точку плоскости (см. рисунок справа с этими точками $N$ и $A$)Шаблон:Sfn.

Часто требуется в ущерб однозначности поддерживать непрерывное изменение полярных координат точек (например, у уравнениях, описывающих кривые на плоскости). Тогда отказываются от приведённых ограничений для $\rho$ и $\phi$. Закон изменения значений полярных координат $\rho$ и $\phi$ выясняется в каждом конкретном случае. Обычно в качестве полярного угла берут величину $\phi +k\pi$, где $k$ — произвольное целое число, а полярному радиусу приписывают знак плюс или минус, смотря по ситуации (имеется более подробное описаниеШаблон:Sfn)Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Обобщённая полярная система координат — система координат на плоскости, определяющаяся двумя обобщёнными полярными координатами $r$ и $\psi$, которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами $x$ и $y$ следующими выражениямиШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$x=ar\cos \psi ,$ $y=br\sin \psi ,$

где $0⩽r<+\mathrm{\infty },$ $0⩽\psi <2\pi ,$ $a,b>0,$ $a\ne b$.

Координатные линии обобщённой полярной системы координат суть эллипсы при $r=\text{const}$ и лучи при $\psi =\text{const}$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Полярную систему координат в трёхмерном пространстве представляют цилиндрическая система координат и сферическая система координатШаблон:Sfn.

Цилиндрические координаты

Цилиндрические координаты.

Шаблон:Основная статья Цилиндрические координаты — трёхмерный аналог полярных, в котором точка Шаблон:Math представляется упорядоченной тройкой $(r,\phi ,z).$ В терминах декартовой системы координат,

• $0⩽r$ (радиус) — расстояние от оси Шаблон:Math до точки Шаблон:Math,
• $0⩽\phi <360^{\circ }$ (азимут или долгота) — угол между положительной («плюсовой») частью оси Шаблон:Math и отрезком, проведённым от полюса до точки Шаблон:Math и спроектированной на плоскость Шаблон:Math.
• $z$ (высота) равна декартовой Шаблон:Math-координате точки Шаблон:Math.

Примечание: в литературе для первой (радиальной) координаты иногда используется обозначение Шаблон:Math, для второй (угловой, или азимутальной) — обозначение Шаблон:Math, для третьей координаты — обозначение Шаблон:Math.

Полярные координаты имеют один недостаток: значение Шаблон:Math не определено при Шаблон:Math.

Цилиндрические координаты полезны для изучения систем, симметричных относительно некоторой оси. Например, длинный цилиндр с радиусом Шаблон:Math в декартовых координатах (с осью Шаблон:Math, совпадающей с осью цилиндра) имеет уравнение $x^2+y^2=R^2,$ тогда как в цилиндрических координатах оно выглядит гораздо проще, как Шаблон:Math.

Сферические координаты

Сферические координаты.

Шаблон:Основная статья Сферические координаты — трёхмерный аналог полярных.

В сферической системе координат расположение точки Шаблон:Math определяется тремя компонентами: $(\rho ,\phi ,\theta ).$ В терминах декартовой системы координат,

• $0⩽\rho$ (радиус) — расстояние от точки Шаблон:Math до полюса,
• $0⩽\phi ⩽360^{\circ }$ (азимут или долгота) — угол между положительной («плюсовой») полуосью Шаблон:Math и проекцией отрезка, проведённого из полюса до точки Шаблон:Math, на плоскость Шаблон:Math.
• $0⩽\theta ⩽180^{\circ }$ (широта или полярный угол) — угол между положительной («плюсовой») полуосью Шаблон:Math и отрезком, проведённым из полюса до точки Шаблон:Math.

Примечание: в литературе иногда азимут обозначается Шаблон:Math, а полярный угол - Шаблон:Math. Иногда для радиальной координаты используется Шаблон:Math вместо Шаблон:Math. Кроме того, диапазон углов для азимута может выбираться как (−180°, +180°] вместо диапазона [0°, +360°). Наконец, полярный угол может отсчитываться не от положительного направления оси Шаблон:Math, а от плоскости Шаблон:Math; в этом случае он лежит в диапазоне [−90°, +90°], а не в диапазоне [0°, 180°]. Иногда порядок координат в тройке выбирается отличным от описанного; например, полярный и азимутальный углы могут быть переставлены.

Сферическая система координат также имеет недостаток: Шаблон:Math и Шаблон:Math не определены, если Шаблон:Math = 0; угол Шаблон:Math не определён также и для граничных значений Шаблон:Math = 0 и Шаблон:Math = 180° (или для Шаблон:Math = ±90°, в случае принятия соответствующего диапазона для этого угла).

Для построения точки Шаблон:Math по её сферическим координатам нужно от полюса вдоль положительной полуоси Шаблон:Math отложить отрезок, равный Шаблон:Math, повернуть его на угол Шаблон:Math вокруг оси Шаблон:Math в направлении положительной полуоси Шаблон:Math, и затем повернуть на угол Шаблон:Math вокруг оси Шаблон:Math в направлении положительной полуоси Шаблон:Math.

Сферические координаты полезны при изучении систем, симметричных относительно точки. Так, уравнение сферы с радиусом Шаблон:Math в декартовых координатах с началом отсчёта в центре сферы выглядит как $x^2+y^2+z^2=R^2,$ тогда как в сферических координатах оно становится намного проще: $\rho =R.$

Другие распространённые системы координат

• Аффинная (косоугольная) система координат — прямолинейная система координат в аффинном пространстве. На плоскости задаётся точкой начала координат Шаблон:Math и двумя упорядоченными неколлинеарными векторами, которые представляют собой аффинный базис. Осями координат в данном случае называются прямые, проходящие через точку начала координат параллельно векторам базиса, которые, в свою очередь, задают положительное направление осей. В трёхмерном пространстве, соответственно, аффинная система координат задаётся тройкой линейно независимых векторов и точкой начала координат. Для определения координат некоторой точки Шаблон:Math вычисляются коэффициенты разложения вектора ОМ по векторам базиса.
• Барицентрические координаты были впервые введены в 1827 году А. Мёбиусом, решавшим вопрос о центре тяжести масс, расположенных на вершинах треугольника. Они аффинно инвариантны, представляют собой частный случай общих однородных координат. Точка с барицентрическими координатами расположена в Шаблон:Math-мерном векторном пространстве Шаблон:Math, а собственно координаты при этом относятся к фиксированной системе точек, которые не лежат в (Шаблон:Math−1)-мерном подпространстве. Барицентрические координаты используются также и в алгебраической топологии применительно к точкам симплекса.
• Биангулярные координаты — частный случай бицентрических координат, система координат на плоскости, задаваемая двумя фиксированными точками Шаблон:Math и Шаблон:Math, через которые проводится прямая, выступающая в качестве оси абсцисс. Позиция некоторой точки Шаблон:Math, которая не лежит на этой прямой, определяется углами Шаблон:Math и Шаблон:Math.
• Биполярные координаты характеризуются тем, что в качестве координатных линий на плоскости в этом случае выступают два семейства окружностей с полюсами Шаблон:Math и Шаблон:Math, а также семейство окружностей, ортогональных к ним. Преобразование биполярных координат в декартовы прямоугольные осуществляется посредством специальных формул. Биполярные координаты в пространстве называются бисферическими; в этом случае координатными поверхностями являются сферы, поверхности, образуемые вращением дуг окружностей, а также полуплоскости, проходящие через ось Шаблон:Math.
• Бицентрические координаты — всякая система координат, которая основана на двух фиксированных точках и в рамках которой положение некоторой другой точки определяется, как правило, степенью её удаления или вообще позицией относительно этих двух основных точек. Системы подобного рода могут быть довольно полезны в определённых сферах научных исследований.
• Бицилиндрические координаты — система координат, которая образуется в том случае, если система биполярных координат на плоскости Шаблон:Math параллельно переносится вдоль оси Шаблон:Math. В качестве координатных поверхностей в этом случае выступают семейство пар круговых цилиндров, оси которых параллельны, семейство ортогональных к ним круговых цилиндров, а также плоскость. Для перевода бицилиндрических координат в декартовы прямоугольные для трёхмерного пространства также применяются специальные формулы.
• Диполярные координаты — трёхмерная криволинейная ортогональная система координат, основанная на точечном (центральном) диполе, точнее, на его инвариантах преобразования координат. Одним из инвариантов является эквипотенциальная поверхность, которая служит координатной поверхностью; другой инвариант — силовые линии векторного поля, перпендикулярные эквипотенциальным поверхностям. Преобразование сферических или декартовых координат в диполярные осуществляется посредством специальных формул.
• Конические координаты — трёхмерная ортогональная система координат, состоящая из концентрических сфер, которые описываются посредством их радиуса, и двух семейств перпендикулярных конусов, расположенных вдоль осей Шаблон:Math и Шаблон:Math.
• Координаты Риндлера используются преимущественно в рамках теории относительности и описывают ту часть плоского пространства-времени, которая обыкновенно называется пространством Минковского. В специальной теории относительности равномерно ускоряющаяся частица находится в гиперболическом движении, и для каждой такой частицы в координатах Риндлера может быть выбрана такая точка отсчёта, относительно которой она покоится.
• Параболические координаты — это двумерная ортогональная система координат, в которой координатными линиями является совокупность конфокальных парабол. Трёхмерная модификация параболических координат строится путём вращения двумерной системы вокруг оси симметрии этих парабол. У параболических координат также имеется определённый спектр потенциальных практических приложений: в частности, они могут использоваться применительно к эффекту Штарка. Параболические координаты связаны определённым отношением с прямоугольными декартовыми.
• Подерные координаты — координаты, основанные на подерном преобразовании. Подерные координаты точки дифференцируемой кривой состоят из двух величин, двух расстояний от некоторой заданной точки: до точки кривой и до соответствующей точки её подеры.
• Проективные координаты существуют, согласно наименованию, в проективном пространстве Шаблон:Math (Шаблон:Math) и представляют собой взаимно однозначное соответствие между его элементами и классами конечных подмножеств элементов тела Шаблон:Math, характеризующихся свойствами эквивалентности и упорядоченности. Для определения проективных координат проективных подпространств достаточно определить соответствующие координаты точек проективного пространства. В общем случае относительно некоторого базиса проективные координаты вводятся чисто проективными средствами.
• Тороидальная система координат — трёхмерная ортогональная система координат, получаемая в результате вращения двумерной биполярной системы координат вокруг оси, разделяющей два её фокуса. Фокусы биполярной системы, соответственно, превращаются в кольцо с радиусом Шаблон:Math, лежащее на плоскости Шаблон:Math тороидальной системы координат, в то время как ось Шаблон:Math становится осью вращения системы. Фокальное кольцо также называют иногда базовой окружностью.
• Трилинейные координаты являются одним из образцов однородных координат и имеют своей основой заданный треугольник, так что положение некоторой точки определяется относительно сторон этого треугольника — главным образом степенью удалённости от них, хотя возможны и другие вариации. Трилинейные координаты могут быть относительно просто преобразованы в барицентрические; кроме того, они также конвертируемы в двумерные прямоугольные координаты, для чего используются соответствующие формулы.
• Цилиндрические параболические координаты — трёхмерная ортогональная система координат, получаемая в результате пространственного преобразования двумерной параболической системы координат. Координатными поверхностями, соответственно, служат конфокальные параболические цилиндры. Цилиндрические параболические координаты связаны определённым отношением с прямоугольными, могут быть применены в ряде сфер научных исследований.
• Эллипсоидальные координаты — эллиптические координаты в пространстве. Координатными поверхностями в данном случае являются эллипсоиды, однополостные гиперболоиды, а также двуполостные гиперболоиды, центры которых расположены в начале координат. Система ортогональна. Каждой тройке чисел, являющихся эллипсоидальными координатами, соответствуют восемь точек, которые относительно плоскостей системы O_xyz симметричны друг другу.

Переход из одной системы координат в другую

Шаблон:Also

Декартовы и полярные

$x=r\cos \phi ,$

$y=r\sin \phi ,$

$r=\sqrt{x^2+y^2},$

$\phi =\mathrm{arctg}\frac{y}{x}+\pi u_0(-x)\mathrm{sgn}y,$

где Шаблон:Math — функция Хевисайда с $u_0(0)=0,$ а Шаблон:Math — функция signum. Здесь функции Шаблон:Math и Шаблон:Math используются как «логические» переключатели, аналогичные по значению операторам «если .. то» (if…else) в языках программирования. Некоторые языки программирования имеют специальную функцию atan2 (Шаблон:Math, Шаблон:Math), которая возвращает правильный Шаблон:Math в необходимом квадранте, определённом координатами Шаблон:Math и Шаблон:Math.

Декартовы и цилиндрические

$x=r\cos \phi ,$

$y=r\sin \phi ,$

$z=z.$

$r=\sqrt{x^2+y^2},$

$\phi =\mathrm{arctg}\frac{y}{x}+\pi u_0(-x)\mathrm{sgn}y,$

$z=z.$

$\left(\begin{array}{c}dx\\ dy\\ dz\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}r\cos \phi & -r\sin \phi & 0\\ r\sin \phi & r\cos \phi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}dr\\ d\phi \\ dz\end{array}\right),$

$\left(\begin{array}{c}dr\\ d\phi \\ dz\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}& \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}& 0\\ \frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}}& \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}dx\\ dy\\ dz\end{array}\right).$

Декартовы и сферические

$x=\rho \sin \theta \cos \phi ,$

$y=\rho \sin \theta \sin \phi ,$

$z=\rho \cos \theta ;$

$\rho =\sqrt{x^2+y^2+z^2},$

$\theta =\arccos \frac{z}{\rho }=\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z},$

$\phi =\mathrm{arctg}\frac{y}{x}+\pi u_0(-x)\mathrm{sgn}y.$

$\left(\begin{array}{c}dx\\ dy\\ dz\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \phi & \rho \cos \theta \cos \phi & -\rho \sin \theta \sin \phi \\ \sin \theta \sin \phi & \rho \cos \theta \sin \phi & \rho \sin \theta \cos \phi \\ \cos \theta & -\rho \sin \theta & 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}d\rho \\ d\theta \\ d\phi \end{array}\right),$

$\left(\begin{array}{c}d\rho \\ d\theta \\ d\phi \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}x/\rho & y/\rho & z/\rho \\ \frac{xz}{{\rho }^2\sqrt{x^2+y^2}}& \frac{yz}{{\rho }^2\sqrt{x^2+y^2}}& \frac{-(x^2+y^2)}{{\rho }^2\sqrt{x^2+y^2}}\\ \frac{-y}{x^2+y^2}& \frac{x}{x^2+y^2}& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}dx\\ dy\\ dz\end{array}\right).$

Цилиндрические и сферические

$r=\rho \sin \theta ,$

$\phi =\phi ,$

$z=\rho \cos \theta ;$

$\rho =\sqrt{r^2+z^2},$

$\theta =\mathrm{arctg}\frac{z}{r}+\pi u_0(-r)\mathrm{sgn}z,$

$\phi =\phi .$

$\left(\begin{array}{c}dr\\ d\phi \\ dh\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\sin \theta & \rho \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\\ \cos \theta & -\rho \sin \theta & 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}d\rho \\ d\theta \\ d\phi \end{array}\right),$

$\left(\begin{array}{c}d\rho \\ d\theta \\ d\phi \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{r}{\sqrt{r^2+z^2}}& 0& \frac{z}{\sqrt{r^2+z^2}}\\ \frac{-z}{r^2+z^2}& 0& \frac{r}{r^2+z^2}\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}dr\\ d\phi \\ dz\end{array}\right).$

Географическая система координат

Шаблон:Main Географическая система координат обеспечивает возможность идентификации любой точки на поверхности земного шара совокупностью цифробуквенных обозначений. Как правило, координаты назначаются таким образом, что один из указателей обозначает позицию по Шаблон:D-l, а другой или совокупность других — по Шаблон:D-l. Традиционный набор географических координат — широта, долгота и высота. Географическая система координат с использованием трёх перечисленных указателей является ортогональной.

Широта точки на поверхности Земли определяется как угол между плоскостью экватора и прямой, проходящей через эту точку в виде нормали к поверхности базового эллипсоида, примерно совпадающего по форме с Землёй. Эта прямая обычно проходит в нескольких километрах от центра Земли, за исключением двух случаев: полюсов и экватора (в этих случаях она проходит непосредственно через центр). Линии, соединяющие точки одной широты, именуются параллелями. 0° широты соответствуют плоскости экватора, Северный полюс Земли соответствует 90° северной широты, Южный — соответственно, 90° южной широты. В свою очередь, долгота точки на поверхности Земли определяется как угол в восточном или западном направлении от основного меридиана к другому меридиану, проходящему через эту точку. Меридианы, соединяющие точки одной долготы, представляют собой полуэллипсы, сходящиеся на полюсах. Нулевым считается меридиан, проходящий через королевскую обсерваторию в Гринвиче, близ Лондона. Что касается высоты, то она отсчитывается от условной поверхности геоида, являющегося абстрактным пространственным представлением земного шара.

См. также

• Галилеевы координаты
• Гауссовы координаты
• Нормальные координаты
• Римановы координаты
• Начало координат, координатная ось, орт
• Локальный стандарт покоя (начало координат в астрономии)
• Главноортодромическая система координат
• Размерность пространства
• Аффинные преобразования

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H

Литература

• Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А. Метод координат. Издание седьмое, стереотипное. Серия: Библиотечка физико-математической школы. Математика. Выпуск 1. М.: МЦНМО, 2009.
• Шаблон:ВТ-ЭСБЕ

Ссылки

• Факультативное занятие по математике на тему: «Разные системы координат»