Ортодиагональный четырёхугольник

Ортодиагональный четырёхугольник. Согласно описанию этих четырёхугольников, два красных квадрата на двух противоположных сторонах четырёхугольника дают в сумме ту же площадь, что и два синих квадрата на другой паре сторон.

В евклидовой геометрии ортодиагональный четырёхугольник — это четырёхугольник, в котором диагонали пересекаются под прямым углом.

Специальные случаи

Дельтоид является ортодиагональным четырёхугольником, в котором одна диагональ является осью симметрии. Дельтоиды — это в точности ортодиагональные четырёхугольники, имеющие окружность, касающуюся всех четырёх сторон. Таким образом, дельтоиды являются описанными ортодиагональными четырёхугольникамиШаблон:Sfn.

Ромб — это ортодиагональный четырёхугольник с двумя парами параллельных сторон (т.е. ортодиагональный четырёхугольник и параллелограмм одновременно).

Квадрат — это частный случай ортодиагонального четырёхугольника, который является одновременно и дельтоидом, и ромбом.

Ортодиагональные равнодиагональные четырёхугольники, в которых диагонали не меньше любой стороны, имеют максимальный диаметр среди всех четырёхугольников, что решает случай n = 4 задачи наибольшего по площади многоугольника единичного диаметра. Квадрат является одним из таких четырёхугольников, но есть бесконечно много других.

Описание

Файл:Orthodiagonal quadrilateral C5.svg

Ортодиагональный четырёхугольник. Параллелограмм Вариньона выделен красным (M₁₂ M₂₃ M₃₄ M₄₁, где M_xy является серединой отрезка [B_x, B_y]).
Антимедиатрисы выделены синим (основанием антимедиатрисы, опущенной из M_xy является точка A_xy).
Середины сторон и основания антимедиатрис лежат на одной окружности. На рисунке точка O — центр этой окружности.

Для любого ортодиагонального четырёхугольника суммы квадратов противоположных сторон равны — для сторон a, b, c и d мы имеемШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$a^2+c^2=b^2+d^2.$

Это следует из теоремы Пифагора, по которой любая из этих двух сумм равна сумме четырёх квадратов расстояний от вершин четырёхугольника до точки пересечения диагоналей.

Обратно — любой четырёхугольник, в котором a² + c² = b² + d², должен быть ортодиагональным Шаблон:Sfn. Это можно показать разными путями, используя теорему косинусов, вектора, доказательство от противного и комплексные числа Шаблон:Sfn.

Диагонали выпуклого четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда бимедианы имеют одинаковую длинуШаблон:Sfn.

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны также тогда и только тогда, когда

$\mathrm{\angle }PAB+\mathrm{\angle }PBA+\mathrm{\angle }PCD+\mathrm{\angle }PDC=\pi$,

где P — точка пересечения диагоналей. Из этого равенства следует почти немедленно, что диагонали выпуклого четырёхугольника перпендикулярны также тогда и только тогда, когда проекции пересечения диагоналей на стороны четырёхугольника являются вершинами вписанного четырёхугольникаШаблон:Sfn.

Файл:Orthodiagonal quadrilateral C4.svg

Ортодиагональный четырёхугольник. Нормали к сторонам треугольника (перпендикуляры из точки пересечения диагоналей на стороны четырёхугольника) выделены синим цветом, точки K, L, M, N — основания нормалей.
Прямоугольник, образованный точками пересечения нормалей с противоположными сторонами, выделен красным цветом (вершины прямоугольника — R, S, T, U.
Основания нормалей и пересечения нормалей с противолежащими сторонами лежат на одной окружности. На рисунке точка O — центр этой окружности.

Выпуклый четырёхугольник ортодиагонален тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона (вершинами которого служат середины сторон) является прямоугольникомШаблон:Sfn. Также выпуклый четырёхугольник ортодиагонален тогда и только тогда, когда середины его сторон и основания четырёх антимедиатрис являются восемью Шаблон:Не переведено 5, окружности восьми точек. Центр этой окружности является центроидом четырёхугольника. Четырёхугольник, образованный основаниями антимедиатрис, называется главным орточетырёхугольникомШаблон:Sfn.

Если нормали к сторонам выпуклого четырёхугольника ABCD через пересечение диагоналей пересекают противоположные стороны в точках R, S, T, U, а K, L, M, N — основания нормалей, то четырёхугольник ABCD ортодиагонален тогда и только тогда, когда восемь точек K, L, M, N, R, S, T и U лежат на одной окружности, второй окружности восьми точек. Кроме того, выпуклый четырёхугольник ортодиагонален тогда и только тогда, когда четырёхугольник RSTU является прямоугольником, стороны которого параллельны диагоналям четырёхугольника ABCDШаблон:Sfn.

Файл:Orthodiagonal quadrilateral C3.svg

Ортодиагональный четырёхугольник. Нормали к сторонам треугольника выделены синим цветом, точки K, L, M, N — основания нормалей.
Медианы выделены красным. Основания медиан являются центрами описанных окружностей.

Есть несколько соотношений относительно четырёх треугольников, образованных точкой пересечения диагоналей P и вершинами выпуклого четырёхугольника ABCD. Обозначим через m₁, m₂, m₃, m₄ медианы в треугольниках ABP, BCP, CDP, DAP из P на стороны AB, BC, CD, DA соответственно. Обозначим через R₁, R₂, R₃, R₄ радиусы описанных окружностей, а через h₁, h₂, h₃, h₄ — высоты этих треугольников. Тогда четырёхугольник ABCD ортодиагонален тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих равенствШаблон:Sfn:

• $m_1^2+m_3^2=m_2^2+m_4^2$
• $R_1^2+R_3^2=R_2^2+R_4^2$
• $\frac{1}{h_1^2}+\frac{1}{h_3^2}=\frac{1}{h_2^2}+\frac{1}{h_4^2}$

Более того, четырёхугольник ABCD с точкой пересечения диагоналей P ортодиагонален тогда и только тогда, когда центры описанных вокруг треугольников ABP, BCP, CDP и DAP окружностей являются серединами сторон четырёхугольникаШаблон:Sfn.

Сравнение с описанным четырёхугольником

Некоторые числовые характеристики описанных четырёхугольников и ортодиагональных четырёхугольников очень похожи, что видно в следующей таблицеШаблон:Sfn. Здесь длины сторон четырёхугольника равны a, b, c, d, радиусы описанных окружностей вокруг треугольников равны R₁, R₂, R₃, R₄, а высоты равны h₁, h₂, h₃, h₄ (как на рисунке).

Описанный четырёхугольник	Ортодиагональный четырёхугольник
$a+c=b+d$	$a^2+c^2=b^2+d^2$
$R_1+R_3=R_2+R_4$	$R_1^2+R_3^2=R_2^2+R_4^2$
$\frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_3}=\frac{1}{h_2}+\frac{1}{h_4}$	$\frac{1}{h_1^2}+\frac{1}{h_3^2}=\frac{1}{h_2^2}+\frac{1}{h_4^2}$

Площадь

Площадь K ортодиагонального четырёхугольника равна половине произведения длин диагоналей p и qШаблон:Sfn:

$K=\frac{p\cdot q}{2}.$

Обратно — любой выпуклый четырёхугольник, площадь которого равна половине произведения диагоналей, ортодиагоналенШаблон:Sfn. Ортодиагональный четырёхугольник имеет наибольшую площадь среди всех выпуклых четырёхугольников с данными диагоналями.

Другие свойства

• Только для ортодиагональных четырёхугольников площадь не определяется однозначно сторонами и углом между диагоналямиШаблон:Sfn. Например, если из двух ромбов со сторонами a (как у всех ромбов, у них диагонали перпендикулярны) один имеет меньший острый угол, то площади будут различными.
• Если на сторонах любого четырёхугольника (выпуклого, вогнутого или самопересекающегося) нарисовать квадраты, то их центры будут вершинами ортодиагонального четырёхугольника (к тому же и равнодиагонального). Это утверждение носит название теоремы Ван-Обеля.

Свойства ортодиагонального вписанного четырёхугольника

Радиус описанной окружности и площадь

Пусть во вписанном в окружность ортодиагональном четырёхугольнике точка пересечения диагоналей делит одну из диагоналей на отрезки длиной p₁ и p₂, а другую — на отрезки длиной q₁ и q₂. Тогда (первое равенство в Утверждении 11 в книге Архимеда «Леммы»)

$D^2=p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2$,

где D — диаметр описанной окружности. Это выполняется для любых двух перпендикулярных хорд окружностиШаблон:Sfn. Из этой формулы вытекает выражение для радиуса описанной окружности

$R=\frac{1}{2}\sqrt{p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2}$

или, в терминах сторон четырёхугольника,

$R=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+c^2}=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+d^2}.$

Отсюда также следует, что

$a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.$

Тогда, согласно формуле Эйлера, радиус описанной окружности может быть выражен в терминах диагоналей p и q и расстоянию x между серединами диагоналей

$R=\sqrt{\frac{p^2+q^2+4x^2}{8}}.$

Формула для площади K вписанного ортодиагонального четырёхугольника в терминах четырёх сторон получается непосредственно, если скомбинировать теорему Птолемея и формулу площади ортодиагонального четырёхугольника.

$K=\frac{1}{2}(ac+bd).$

Другие свойства

• Во вписанном ортодиагональном четырёхугольнике антицентр совпадает с точкой пересечения диагоналейШаблон:Sfn.
• Теорема Брахмагупты утверждает, что для любого вписанного ортодиагонального четырёхугольника перпендикуляр к стороне, проходящий через точку пересечения диагоналей, делит пополам противоположную сторонуШаблон:Sfn.
• Если ортодиагональный четырёхугольник является вписанным, расстояние от центра описанной окружности до любой стороны равно половине длины противоположной стороныШаблон:Sfn.
• Во вписанном ортодиагональном четырёхугольнике расстояние между серединами диагоналей равно расстоянию между центром описанной окружности и точкой пересечения диагоналейШаблон:Sfn.
• Ортодиагональный четырёхугольник, являющийся также равнодиагональным, является среднеквадратным четырёхугольником, поскольку его параллелограмм Вариньона является квадратом. Его площадь может быть выражена чисто в терминах сторон.

Прямоугольники вписанные в ортодиагональный четырехугольник

В любой ортодиагональный четырехугольник можно вписать бесконечно много прямоугольников, относящихся к следующим двум множествам:

(i) прямоугольники, чьи стороны параллельны диагоналям ортодиагонального четырехугольника

(ii) прямоугольники, определяемые окружностями точек Паскаля.

$ABCD$ - ортодиагональный четырехугольник, $P_1{X}_1{Z}_1{Y}_1$ и $P_2{X}_2{Z}_2{Y}_2$ прямоугольники, вписанные в $ABCD$, и стороны которых параллельны диагоналям четырехугольник.

$ABCD$ - ортодиагональный четырехугольник. $P_1$ и $Q_1$ точки Паскаля, формируемые с помощью окружности ${\omega }_1$, ${\sigma }_{P_1{Q}_1}$ – окружность точек Паскаля, определяющая остальные вершины прямоугольника $P_1{V}_1{Q}_1{W}_1$ вписанного в $ABCD$. $P_2$ и $Q_2$ точки Паскаля, формируемые с помощью окружности ${\omega }_2$, ${\sigma }_{P_2{Q}_2}$ – окружность точек Паскаля, определяющая остальные вершины прямоугольника $P_2{V}_2{Q}_2{W}_2$ вписанного в $ABCD$.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга (Переиздание книги 1952 года, Barnes & Noble)

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья — No. 86.
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга