Диффеотоп

Диффеото́п (от Шаблон:Lang-en, образованного словослиянием Шаблон:Lang-en — «дифференциал» и Шаблон:Lang-en — «многообразие»Шаблон:SfnШаблон:Sfn) — вторичное многообразиеШаблон:Sfn, то есть многообразие всех формальных решений дифференциального уравненияШаблон:Sfn. Вообще говоря, бесконечномерное многообразие $𝒪$ с дополнительной структурой (контактной структурой бесконечного порядка) — интегрируемым распределением $𝒞$, которое локально эквивалентно бесконечному продолжению дифференциального уравнения ${ℰ}^{\mathrm{\infty }}$. Причём при локальности «функции склейки» должны сохранять соответствующие распределенияШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Размерность диффеотопа $\mathrm{Dim}𝒪$ — это размерность $𝓃$ распределения $𝒞$. Размерность диффеотопа не равна «обычной» размерности многообразия $𝒪$, обычно бесконечнойШаблон:Sfn.

Понятие диффеотопа отражает концепцию общих систем дифференциальных уравнений в частных производных (обычно нелинейных) по аналогии с тем, как понятие аффинного алгебраического многообразия отражает концепцию общих систем алгебраических уравненийШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Предварительные сведения

Пример. Проективный диффеотоп. Рассмотрим гладкое $(n+m)$-мерное многообразие $E=E^{n+m}$ и множество $E_n^k$ пар $(\theta ,[M{]}_{\theta }^k)$, где $\theta \in E$, а $[M{]}_{\theta }^k$ — класс подмногообразий размерности $n$, проходящих через точку $\theta$ и касающихся друг друга с порядком $k$. Из конструкции пространств $J^k(\pi )$, $k=0,1,\dots ,\mathrm{\infty }$ (пространств $k$-джетов расслоения $\pi$Шаблон:Sfn) следует, чтоШаблон:Sfn:

• множества $E_n^k$ наделены естественной структурой гладкого многообразия;
• существуют естественные проекции $E_n^{k+1}\to E_n^k$;
• обратный предел данных проекций — пространство $J^{\mathrm{\infty }}(E,n)=E_n^{\mathrm{\infty }}$ — наделено естественным интегрируемым распределением;
• пространство $J^{\mathrm{\infty }}(E,n)$:

• локально имеет вид $J^{\mathrm{\infty }}(\pi )$ для некоторого $m$-мерного расслоения $\pi$ над $n$-мерным многообразием;
• есть диффеотоп размерности $n$.

Диффеотоп — естественное обобщение понятия бесконечно продолженного уравнения, которое возникает приШаблон:Sfn:

• факторизации,
• рассмотрении нелокальных симметрий,
• в других ситуациях.

На произвольные диффеотопы переносятся, буквально или в модифицированном виде, все естественные конструкции геометрической теории дифференциальных уравненийШаблон:Sfn.

Структура диффеотопа позволяет развить на нём определённую версию дифференциального исчисления, называемую вторичным исчислением. Различные естественные свойства диффеотопа и соответствующей ему системы дифференциальных уравнений раскрываются в терминах вторичного исчисления, и наоборотШаблон:Sfn.

Диффеотоп есть объект категории дифференциальных уравнений. Морфизмами этой категории являются гладкие отображения, которые сохраняют распределенияШаблон:Sfn.

Накрытие в категории дифференциальных уравнений — локальный изоморфизм $\tau :{𝒪}^{\prime }\to 𝒪$Шаблон:Sfn.

$\tau$-нелокальная симметрия для $𝒪$ в категории дифференциальных уравнений — симметрия объекта ${𝒪}^{\prime }$. Нелокальные симметрии типа $\tau$ составляют алгебру Ли, которая совпадает с $\mathrm{sym}{𝒪}^{\prime }$Шаблон:Sfn.

Паутина — категория, образованная всеми накрытиями данного диффеотопа. Из неё следует ряд следствий, важных для вторичного исчисления. Диффеотоп — аналог аффинного многообразия в алгебраической геометрии, паутина — аналог поля рациональных функций на аффинном многообразииШаблон:Sfn.

Вторичное дифференциальное исчисление, то есть дифференциальное исчисление на диффеотопах, определяетШаблон:Sfn:

• истинную когомологическую природу теории дифференциальных уравнений;
• новые направления дальнейшего развития этой теории.

Историческая справка

Рихард Курант

Данный исторический экскурс свидетельствует об удивительном единстве дифференциальной математики — в противовес следующему замечанию немецкого и американского математика Рихарда Куранта (1888—1972)(1842—1899)Шаблон:Sfn: Шаблон:Начало цитаты Вопросы, связанные с дифференциальными уравнениями в частных производных порядка выше первого, настолько разнообразны, что построение единой общей теории ([как для уравнений первого порядка]) не представляется возможным. Шаблон:Конец цитаты

Софус Ли

Эли Жозеф Картан

Шарль Эресманн

Эрих Келер

Шаблон:Iw

Александр Михайлович Виноградов

Шаблон:Iw

Филипп Гриффитс

1. Зарождение. Современная геометрическая теория дифференциальных уравнений была заложена в конце XIX века в классических работах норвежского математика Софуса Ли (1842—1899)Шаблон:Sfn созданием:

• законченной теории дифференциальных уравнений первого порядка;
• фундамента классической теории симметрии.

На рубеже веков французский математик Эли Жозеф Картан (1869—1951), в свою очередь:

• доказал значимость инвариантных методов в общей теории дифференциальных уравнений;
• применил эти методы на геометрическом языке векторных полей и дифференциальных форм,

но, поскольку координаты играли ещё заметную роль в его работах, он так и не дал полных доказательств ряда своих глубоких результатовШаблон:Sfn.

2. Забвение. В конце XIX — начале XX века великая симфония Софуса Ли, его краеугольный камень общей теории нелинейных уравнений с частными производными, был почётным разделом чистой математики. Но это славное время прекратило своё существование сразу после Первой мировой войны, как будто эта война убила великую нелинейную культуру старых мастеров. Назовём две причины, по которым из храма, созданного Софусом Ли, остались только группы Ли и алгебры ЛиШаблон:Sfn:

• всеобъемлющее искушение линеаризовать всё на свете (пример — функциональный анализ);
• при исследовании дифференциальных уравнений в частных производных (пусть и линейных) приходится использовать разные математические структуры, часть которых, особенно из гомологической алгебры, тогда ещё не была открыта.

3. Возрождение. В 50-е и 60-е годы XX века теория Картана была развита дальше в том числе в трудах японского математика Шаблон:Iw (1924—2021), занимающих центральное место в этом развитии. В этот же период французский математик Шарль Эресманн (1905—1979) ввёл язык джетоа (струй), который эволюционировал в полезный рабочий язык теории дифференциальных уравнений. В частности, используя язык джетовШаблон:Sfn:

• американский математик Губерт Леопольд Гольдшмидт (род. 1942) значительно улучшил формулировки следующих теоремШаблон:Sfn:

• Шаблон:Iw (Эрих Келер (1906—2000) — немецкий математик);
• Шаблон:Iw;

• американский математик Шаблон:Iw (1912—2001) открыл механизм Шаблон:Iw — важную составную часть рассматриваемого дифференциального исчисления.

В итоге многообразия джетов стали естественной геометрической основой теории дифференциальных уравнений. В частности, пространство касательных элементов, фундамент теории Софуса Ли, есть многообразие джетов первого порядка. Наконец, отметим влияние исследований американских математиков Дональда Клейтона Спенсера и Шломо Цви Штернберга (1936—2024) на общее развитие данной теорииШаблон:Sfn.

4. Развитие. Вторичное дифференциальное исчисление — естественное продолжение исследований Софуса Ли и его последователей, дополненное работами математиков в области формальной теорией дифференциальных уравнений с частными производными. Было вскрыто глубокое когомологическое основание прежней формальной теории, разработанной французскими — Шаблон:Iw (1853–1929), Шаблон:Iw (1888–1983) — и другими математикамиШаблон:Sfn.

В начале 80-х годов XX века при исследованиях геометрии уравнений с частными производными, начатых в 70-х годах, были открыты первые структуры вторичного дифференциального исчисления московскими математиками посредством естественного синтеза прежних теорий, который основывался на алгебраической «перестройке» анализаШаблон:Sfn. Геометрические основания теории нелинейных дифференциальных уравнений были предметом обсуждения на семинаре, работающем на механико-математическом факультете МГУ под руководством Александром Михайловичем Виноградовым (1938—2019) и участниками Валентином Васильевичем Лычагиным, Борисом Абрамовичем Купершмидтом, Иосифом Семёновичем Красильщиком и другимиШаблон:Sfn.

Впервые понятие «диффеотопов», названных «объектами категории нелинейных дифференциальных уравнений», которые «оказываются именно бесконечно продолженные уравнения», появилось в статье Александра Михайловича Виноградова «Геометрия нелинейных дифференциальных уравнений» в 1980 году, которая была переведена на английский язык в 1981 годуШаблон:Sfn. Впервые термин «диффеотоп» появился в статье Александра Михайловича Виноградова «Локальные симметрии и законы сохранения», вышедшей в марте 1984 года на английском языке, русский вариант которой поступил в редакцию 24 декабря 1982 годаШаблон:Sfn.

5. Современное состояние. Два основных направление современной теории нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными следующиеШаблон:Sfn:

• вторичное дифференциальное исчисление. Этот раздел современной математики представляет собой:

• фундамент теории нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными;
• объединяющую теорию с приложениями от арифметической алгебраической геометрии до современных теорий элементарных частиц;

• внешние дифференциальные системы. Имеют место два аспекта:

• начиная с работ Эли Жозефа Картана, имеет место традиция представлять дифференциальные уравнения с частными производными в виде внешних дифференциальных систем;
• как геометрические структуры внешние дифференциальные системы аналогичны дифференциальным уравнениям с частными производными, поэтому затронутые теории можно перевести на их язык, как это сделано в работах Шаблон:Iw (род. 1953) и Филиппа Огастаса Гриффитса (род. 1938).

Определения

Элементарный диффеотоп

1. Элементарный диффеотоп. Элементарный диффеотоп — пара Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪} = (\text{𝒴}_\infty, \text{𝒞}\,(\text{𝒴}_\infty))} , то есть объект в категории дифференциальных уравнений DE как (вообще говоря, бесконечномерное) многообразие Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}} с алгеброй гладких функций Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle A = \text{ℱ}\,(\text{𝒪})} и конечномерным структурным распределением Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞} = \text{𝒞}\,(\text{𝒪})} такое, что тройка Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle (\text{𝒪}, \text{ℱ}\,(\text{𝒪}), \text{𝒞}\,(\text{𝒪}))} локально представлена тройкой Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle (\text{𝒴}_\infty, \text{ℱ}\,(\text{𝒴}_\infty), \text{𝒞}\,(\text{𝒴}_\infty))} для некоторого уравнения с частными производными Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒴}} и его продолжения Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒴}_\infty)} . Термин «локально» понимается в смысле топологии Зарисского, происходящей из алгебры Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{ℱ}\,(\text{𝒪})} Шаблон:Sfn.

Элементарные диффеотопы взаимодействуют с уравнениями с частными производными так же, как аффинные алгебраические многообразия с алгебраической геометриейШаблон:Sfn.

2. Размерность. Диффеотопная размерность Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \operatorname{Dim}\text{𝒪}} элементарного диффеотопа Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪} = (\text{𝒴}_\infty, \text{𝒞}\,(\text{𝒴}_\infty))} — размерность конечномерного структурного распределения Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞}\,(\text{𝒴}_\infty)} . Другими словами, это количество «независимых переменных» в уравнении с частными производными Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒴}} Шаблон:Sfn.

Диффеотоп — склейка элементарных диффеотопов одной диффеотопной размерностиШаблон:Sfn.

Морфизмы

1. Морфизм. Морфизм диффеотопов Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}} и Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}\,'} — гладкое отображение Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \Phi\colon \text{𝒪} \to \text{𝒪}\,'} , согласованное с распределениями Картана. Используемые термины означаютШаблон:Sfn:

• гладкое отображение — если Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle f \in \text{ℱ}\,(\text{𝒪}\,')} , то Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \Phi \circ f \in \text{ℱ}\,(\text{𝒪})}
• согласованность с распределениями — образ распределения Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞}\,(\text{𝒪})} относительно дифференциала $\mathrm{\Phi }$ лежит в Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞}\,(\text{𝒪})\,'} , другими словами,

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle d_\theta\Phi\colon\, \text{𝒞}_\theta \to \text{𝒞}_{\Phi(\theta)} \quad \forall\, \theta \in \text{𝒪},}

где $d_{\theta }\mathrm{\Phi }$ — дифференциал $\mathrm{\Phi }$ в точке $\theta$.

2. Координатное представление. При координатном представлении морфизмы диффеотопов из Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}} в Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}\,'} суть бесконечные продолжения дифференциальных операторов, которые отображают решения уравнения Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒴}\,} в решения уравнения Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒴}\,\,'} , где Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒴}_\infty} и Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒴}\,\,'_\infty} локально есть Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}} и Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}\,'} . В более точной терминологии, если $\mathrm{\Delta }$ — такой оператор, а Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \theta = [L]^\infty_{x_0} \in \text{𝒴}_\infty} и $u=f(x)$ — локальное описание подмногообразия $L$, то значения производных от $\mathrm{\Delta }(f)$ в соответствующей точке $y$ суть джетовые координаты для Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \Phi(\theta) \in \text{𝒴}\,\,'_\infty} Шаблон:Sfn.

Накрытия

1. Накрытие. Накрытие (в категории DE) — представитель класса морфизмов диффеотопов Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \Phi\colon \text{𝒪} \to \text{𝒪}\,'} таких, чтоШаблон:Sfn:

• $\mathrm{\Phi }$ — сюръекция;
• Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle d_\theta\Phi\colon\, \text{𝒞}_\theta \to \text{𝒞}_{\Phi(\theta)}} — изоморфизм для всех Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \theta \in \text{𝒪}\,'} .

2. Нелокальная симметрия. Для заданного уравнения с частными производными Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒴}\,} понятие нелокальной симметрии (например, закона сохранения) формализуется с помощью понятия накрытияШаблон:Sfn.

$\mathrm{\Phi }$-нелокальная симметрия (например, соответственно, закон сохранения) для Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒴}\,} — симметрия например, соответственно, закон сохранения) для Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒴}\,\,'_\infty} , где Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \Phi\colon\, \text{𝒴}\,\,'_\infty \to \text{𝒴}_\infty} — накрытиеШаблон:Sfn.

Естественно называть нелокальными такие объекты дифференциального исчисления (например, гладкие функции), которые на Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒴}\,\,'_\infty} включают в себя, вообще говоря, разные «нелокальности» (например, интегралы), если они выражены через соответствующие объекты на Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒴}\,\,} Шаблон:Sfn.

3. Примеры. В теории уравнений с частными производными имеются конструкции, которые неявно используют накрытия, например:

• Шаблон:Iw,
• факторизация уравнений,
• структуры продолжения Уолквиста — Эстабрука,

что демонстрирует важность этого понятияШаблон:Sfn.

Пусть преобразование Беклунда связывает решения уравнений Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒴}\,\,'} и Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒴}\,\,''} . Тогда его можно интерпретировать как следующую диаграмму накрытий:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}\,' \xleftarrow{\Phi'} \text{𝒪} \xrightarrow{\Phi''} \text{𝒪}\,'',}

где

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}\,' = (\text{𝒴}\,\,'_\infty, \text{𝒞}\,(\text{𝒴}\,\,'_\infty)), \quad \text{𝒪}\,'' = (\text{𝒴}\,\,''_\infty, \text{𝒞}\,(\text{𝒴}\,\,''_\infty)), \quad \text{𝒪} = (\text{𝒴}_\infty, \text{𝒞}\,(\text{𝒴}_\infty))} —

элементарные диффеотопы для некоторого уравнения с частными производными Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒴}\,\,} Шаблон:Sfn.

Общий диффеотоп

Важно, что нелокальные величины определённого типа несмотря на то, что «живут» на разных накрытиях, всё равно образуют «сообщество», например, симметрии одного уравнения образуют алгебру Ли. Эта закономерность даёт возможность создать для этих нелокальных величин общее для них исчисление, сильно увеличивая возможности теории, например, анализа симметрий. Чтобы включить и нелокальные величины в рамки категории DE, расширим их, обобщив понятие диффеотопаШаблон:Sfn.

(Общий) диффеотоп — локально обратный предел последовательности накрытий

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}_1 \xleftarrow{\Phi_1} \text{𝒪}_2 \xleftarrow{\Phi_2} \cdots \xleftarrow{\Phi_{i - 1}} \text{𝒪}_i \xleftarrow{\Phi_i} \cdots,}

где Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}_i} — элементарные диффеотопыШаблон:Sfn.

Общий диффеотоп естественным порядком оснащён $n$-мерным распределением Картана Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞}\,(\text{𝒪})} , где Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle n = \operatorname{Dim}(\text{𝒪}_i), i = 1, 2, \ldots} Шаблон:Sfn.

Распределение Картана (контактная структура бесконечного порядка) Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞}\,(\text{𝒪})} на общем диффеотопе Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}} — обратный предел распределений Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞}\,(\text{𝒪}_i)} Шаблон:Sfn.

Распределение Картана Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞}\,(\text{𝒪})} есть фробениусово (интегрируемое) распределениеШаблон:Sfn.

Секондаризация

Вторичные векторные поля

Алгебра Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{ℱ}(\text{𝒪})} гладких функций на общем диффеотопе Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}} , то есть прямой предел алгебр Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{ℱ}(\text{𝒪}_i)} , оснащена выделенным классом эквивалентных фильтраций, то есть фильтраций, вписанных друг в друга. Это даёт возможность не только определить $FG$-категорию Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{ℱ}(\text{𝒪})} -модулей, но и развить в ней дифференциальное исчисление на объектах, связанных с бесконечно продолженными дифференциальными уравнениямиШаблон:Sfn.

Пример. Фильтрованные дифференциальные алгебры Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{ℱ}(\text{𝒪})} составляют Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{ℱ}(\text{𝒪})} -модуль Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle D(\text{𝒪})} . Элементы этого модуля интерпретируются как первичные векторные поля на общем диффеотопе Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}} . Структура алгебры Ли определяется на Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{ℱ}(\text{𝒪})} -модуле обычной операцией коммутирования. То, что идеал этой алгебры Ли — подмодуль Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞}\,D(\text{𝒪}) \subset D(\text{𝒪})} , который образован векторными полями, касающихся распределения Картана, равносильно тому, что Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞}\,(\text{𝒪})} есть фробениусово распределение. Другими словами, определена алгебра Ли

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \operatorname{sym}(\text{𝒪}) = D_\text{𝒞}(\text{𝒪})/\text{𝒞}\,D(\text{𝒪})} ,

где

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle D_\text{𝒞}(\text{𝒪}) = \{X \in D(\text{𝒪}) \mid [X, \text{𝒞}\,D(\text{𝒪})] \subset \text{𝒞}\,D(\text{𝒪})\}} ,

а элементы этой алгебры Ли суть вторичные векторные поля на общем диффеотопе Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}} Шаблон:Sfn.

Вторичное дифференциальное исчисление

1. Вторичная дифференциальная форма. Зададим на произвольном диффеотопе Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}} Шаблон:Sfn:

• Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{ℱ}(\text{𝒪})} -модуль Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \Lambda^p(\text{𝒪})} (первичных) p-дифференциальных форм;
• соответствующий подмодуль Картана Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \,\text{𝒞}\,\Lambda^p(\text{𝒪}) \subset \Lambda^p(\text{𝒪})} ;
• Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞}\,} -спектральную последовательность c $r$-м членом

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \{\text{𝒞}\,E^{p, q}_r(\text{𝒪}), d^{p, q}_r\}.}

Вторичная дифференциальная форма на диффеотопе Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}} — элемент первого члена Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \{\text{𝒞}\,E^{p, q}_1(\text{𝒪}), d^{p, q}_1\}} Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \,\text{𝒞}\,} -спектральной последовательности этого диффеотопа, где $p$ — фильтрационный индекс, $p+q$ — степеньШаблон:Sfn.

2. Вторичные аналоги отображений. Рассмотрим отображение Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{ℱ}(\text{𝒪})} -модулей Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \Phi^* \colon \Lambda^*(\text{𝒪}\,') \to \Lambda^*(\text{𝒪})} , которое ассоциировано с морфизмом диффеотопов Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \Phi \colon \text{𝒪}\,' \to \text{𝒪}} . Это отображение для любого $p$ переводит подмодуль Картана Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \,\text{𝒞}\,\Lambda^*(\text{𝒪}\,')} в Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \,\text{𝒞}\,\Lambda^*(\text{𝒪})} , а следовательно, и Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \,\text{𝒞}\,^p\Lambda^*(\text{𝒪}\,')} в Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \,\text{𝒞}\,^p\Lambda^*(\text{𝒪})} для любого $p$. Другими словами, ${\mathrm{\Phi }}^{*}$ есть цепное отображение, которое сохраняет Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \,\text{𝒞}\,} -фильтрациюШаблон:Sfn.

Отсюда следует, что это цепное отображение ${\mathrm{\Phi }}^{*}$ порождает следующее отображение Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \,\text{𝒞}\,} -спектральных последовательностей:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \Phi^*_r\, \colon \,\text{𝒞}\,E^{p, q}_r(\text{𝒪}\,') \to \,\text{𝒞}\,E^{p, q}_r(\text{𝒪}) \quad \forall\, r \geqslant 0,}

которое есть уже коцепное отображение комплексов из Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \{\text{𝒞}\,E_r(\text{𝒪}\,'), d_r\}} в Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \{\text{𝒞}\,E_r(\text{𝒪}), d_r\}.} При этом индуцированное отображение когомологий совпадает с ${\mathrm{\Phi }}_{r+1}^{*}$Шаблон:Sfn.

Существуют естественные интерпретации следующих отображений как вторичных аналоговШаблон:Sfn:

• ${\mathrm{\Phi }}_1^{*}$ — вторичный аналог отображения алгебр дифференциальных форм, которое индуцировано гладким отображением;
• ${\mathrm{\Phi }}_2^{*}$ — вторичный аналог соответствующего отображения алгебр когомологий де Рама.

Задача секондаризации

1. Секондаризация. Из предыдущего изложения можно сделать два выводаШаблон:Sfn:

• диффеотоп — объект, на котором естественным образом возникает вторичное дифференциальное исчисление;
• первичное исчисление на диффеотопе Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}} , интерпретируемое как вторичное исчисление в $FG$-категории над Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{ℱ}(\text{𝒪})} -модулями, есть исходный материал для построения вторичного исчисления на диффеотопе Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}} .

Задача секондаризации (основная задача вторичного исчисления) — определить вторичный аналог данного объекта классического анализа, а затем вычислить его. Этот процесс называется алгоритмом секондаризацииШаблон:Sfn.

2. Дифференциальное исчисление. Объекты, с которыми имеет дело секондаризация, приходится не токо определять, но также и вычислять. Например, при конструировании вторичных дифференциальных форм приходится вычислять первый член Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \,\text{𝒞}\,} -спектральной последовательности, то есть соответствующие когомологии. Так что вторичную дифференциальную форму нельзя определить как однозначно заданное аналитическое выражение, как это делается в обычном анализеШаблон:Sfn.

Практически невозможное предприятие формализации задачи секондаризации таким образом, чтобы у неё было общее решение, сводится к формализации дифференциального исчисления, то есть к выяснению, что такое в точности «дифференциальное исчисление»Шаблон:Sfn.

Принцип соответствия

Диффеотопы разных размерностей

Рассмотрим $n$-мерное многообразие $M$ как диффеотоп двумя разными и одинаково естественными способами в зависимости от выбора распределения КартанаШаблон:Sfn:

• нульмерное распределение Картана

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle M \ni a \mapsto \{0\} = \,\text{𝒞}_a \subset T_aM}

определяет диффеотоп диффеотопной размерности нуль. Его Шаблон:Iw — просто точки исходного многообразия $M$;

• другое распределение Картана

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle M \ni a \mapsto \,\text{𝒞}_a = T_aM}

определяет диффеотоп диффеотопной размерности $n$. Его интегральные многообразия — открытые области в $M$.

В итоге получаем, что самые маленькие диффеотопы диффеотопной размерности $n$ — это $n$-мерные многообразия, возникающие как решения уравнений с частными производнымиШаблон:Sfn.

Итак, $n$-мерное многообразие $M$ как диффеотоп может быть интерпретировано двумя крайними способамиШаблон:Sfn:

• как диффеотоп диффеотопной размерности нуль. В этом случае оно представляет собой «сообществом», «члены» которого, то есть его точки, несут тривиальную внутреннюю структуру;
• как диффеотоп диффеотопной размерности $n$. В том случае оно не сообщество, а одиночка (точка под социальным углом зрения), оснащённая богатой внутренней структурой.

Общий диффеотоп может представлять собой смесь этих двух крайностейШаблон:Sfn.

Спектральные последовательности

Рассмотрим два диффеотопа, соответствующих $n$-мерному многообразию $M$Шаблон:Sfn:

• нульмерный диффеотоп Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}_M} . В этом случае Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \,\text{𝒞}\,D(\text{𝒪}_M) = 0} , поэтому Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \operatorname{sym}(\text{𝒪}_M) = D(M)} , и вторичные векторные поля на многообразии $M$ совпадают со стандартными (первичными);
• $n$-мерный диффеотоп Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}_M^{\,\bullet}} . В этом случае Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \operatorname{sym}(\text{𝒪}_M^{\,\bullet}) = 0} .

1. Нульмерный диффеотоп. Вычислим Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \,\text{𝒞}\,} -спектральную последовательность для нульмерного диффеотопа Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}_M} . Пусть

${\mathrm{\Lambda }}_{+}^k(M)=\sum _{i⩾k}{\mathrm{\Lambda }}^i(M).$

Отсюда Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \,\text{𝒞}\,\Lambda(\text{𝒪}_M) = \Lambda^1_+(M)} , следовательно, Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \,\text{𝒞}\,^k\Lambda(\text{𝒪}_M) = \Lambda^k_+(M)} , поэтому

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞}\,E^{p, 0}_0(\text{𝒪}_M) = \Lambda^p(M) \quad} и Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \quad \text{𝒞}\,E^{p, q}_0(\text{𝒪}_M) = 0,} если $q\ne 0.$

Так как Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle d_0 \colon \text{𝒞}\,E^{p, q}_0 \to \text{𝒞}\,E^{p, q + 1}_0} , то Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle d_0(\text{𝒪}_M) = 0} . Следовательно,

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞}\,E^{p, q}_1(\text{𝒪}_M) = \text{𝒞}\,E^{p, q}_0(\text{𝒪}_M),}

в частности,

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞}\,E^{p, 0}_1(\text{𝒪}_M) = \Lambda^p(M) \quad} и $d_1^{p,0}=d$ (внешний дифференциал).

Получаем, что первый член Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \,\text{𝒞}\,} -спектральной последовательности $n$-мерного многообразия $M$ совпадает с комплексом де Рама для $M$Шаблон:Sfn.

2. $n$-мерный диффеотоп. Вычислим Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \,\text{𝒞}\,} -спектральную последовательность для Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}_M^{\,\bullet}} , которая совершенно другая:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞}\,\Lambda(\text{𝒪}_M^{\,\bullet}) = 0,}

и тогда

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞}\,^k\Lambda(\text{𝒪}_M^{\,\bullet}) = 0 \quad} при $k>0.$

Следовательно,

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞}\,E^{0, q}_0(\text{𝒪}_M^{\,\bullet}) = \Lambda^q(M) \quad} и Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \quad \text{𝒞}\,E^{p, q}_0(\text{𝒪}_M^{\,\bullet}) = 0,} если $p\ne 0.$

Стало быть, $d_0^{0,q}=d$ (внешний дифференциал), но $d_0^{p,q}=0$ при $p\ne 0.$

Поэтому

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞}\,E^{0, q}_1(\text{𝒪}_M^{\,\bullet}) = H^q(M)} (когомологии де Рама для $M$)

и

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞}\,E^{p, q}_1(\text{𝒪}_M^{\,\bullet}) = 0,} если $p\ne 0$Шаблон:Sfn.

Принцип соответствия секондаризации

Рассмотренный материал означает, что в классе диффеотопов нулевой размерности идентичны стандартным как вторичные векторные поля, так и дифференциальные формы. Обобщим это обстоятельство до следующего общего принципа, которым руководствуются при поиске решения задачи секондаризацииШаблон:Sfn.

Принцип соответствия секондаризации. Любое понятие вторичного дифференциального исчисления должно совпадать со своим классическим (первичным) аналогом в случае нулевой диффеотопной размерностиШаблон:Sfn.

Замечание. Принцип соответствия секондаризации аналогичен боровскому принципу соответствия в квантовой механике в формулировке Дирака, относящемуся к проблеме квантования.

Принцип соответствия Дирака. Соответствие между квантовой и классической теориями состоит не столько в предельном согласии при $\hslash \to 0$, сколько в том, что математические операции двух теорий подчиняются во многих случаях тем же законамШаблон:Sfn.

Аналог условия «$\hslash \to 0$» для задачи секондаризации есть условие Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \operatorname{Dim}(\text{𝒪}) \to 0} . То, что постоянная Планка $\hslash$ действительно постоянна, приводит к двум обстоятельствамШаблон:Sfn:

• условие $\hslash \to 0$ имеет исключительно эвристический смысл и его нельзя строго формализовать:
• возможно, существует более «тонкая» версия понятия диффеотопной размерности, при которой эта размерность принимает действительные значения, в этом случае условию Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \operatorname{Dim}(\text{𝒪}) \to 0} будет иметь точный смысл.

Скаляры вторичного исчисления

Вторичная точка

В контексте предыдущего раздела естественно неформально рассмотреть диффеотоп Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}} (диффеотопной) размерности $n$ как «сообщество», состоящее из «индивидуумов» вида Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}_M^{\,\bullet}} , где $M$ — $n$-мерное интегральное подмногообразие в Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞}(\text{𝒪})} . Эти подмногообразия суть аналог точек конечномерного гладкого многообразия. Получаем следующее определениеШаблон:Sfn.

Вторичная точка — интегральное подмногообразие распределения КартанаШаблон:Sfn.

В частности, вторичные точки элементарного диффеотопа Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒴}_\infty)} совпадают с решениями дифференциального уравнения Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒴}} Шаблон:Sfn.

Вторичное значение в точке

Рассмотрим первичное отображение «значение в точке»

$e_a:C^{\mathrm{\infty }}(M)\to C^{\mathrm{\infty }}(M)/{\text{ℐ}}_a=C^{\mathrm{\infty }}(\{a\})=ℝ,$

где ${\text{ℐ}}_a=\{f\in C^{\mathrm{\infty }}(M)\mid f(a)=0\}$ — идеал точки $a\in M$. Вторичный аналог отображения «значение в точке» получатся заменой всех составных частей этой формулы на их вторичные аналоги так:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle M \Longleftrightarrow \text{𝒪},}

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle M \ni a \Longleftrightarrow L \in \text{𝒪},}

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle C^\infty(M) \Longleftrightarrow \text{𝒞}\,E^{0, *}_1(\text{𝒪}),}

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle C^\infty(\{a\}) = \mathbb{R} \Longleftrightarrow \text{𝒞}\,E^{0, *}_1(\text{𝒪}_L^{\,\bullet}) = H^*(L),}

где $L$ — интегральное подмногообразие в Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞}\,(\text{𝒪})} . В результате получаем, что вторичное «значение в точке» $e_L$ для «вторичной точки» $L$ выглядит следующим образомШаблон:Sfn:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle e_L \colon \text{𝒞}\,E^{0, *}_1(\text{𝒪}) \to H^*(L)} .

Полученное отображение есть отображение между первыми членами Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \,\text{𝒞}\,} -спектральных последовательностей для Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}} и Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}_L^{\,\bullet}} , которое индуцировано каноническим вложением Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle L \hookrightarrow \text{𝒪}} Шаблон:Sfn.

Вторичное исчисление скаляров

Из материала предыдущего раздела получаем, что алгебра когомологий де Рама $H^{*}(L)$ для «вторичной точки» $L$ должна служить вторичным аналогом алгебры скаляров $ℝ$, которая соответствует точке многообразия. Отсюда следуют два соображенияШаблон:Sfn:

• во вторичном исчислении скаляры не являются абсолютными и варьируются от одной вторичной точки к другой. Это идёт вразрез с поведением «классических скаляров» по той причине, что классические точки обладают тривиальной внутренней структурой и поэтому неотличимы друг от друга;
• такая зависимость скаляров от точки не нова. Например, такое бывает в алгебраической геометрии.

По-настоящему новое явление возникает при поиске вторичного аналога понятию векторного пространства над данной алгеброй скаляров, появляется тонкие моменты. Например, поиск правильной интерпретации для умножения скаляров $\mu :ℝ\times ℝ\to ℝ$, для которого внешнее умножение в $H^{*}(L)$ не подходит. В этой ситуации необходимо развить вторичную линейную алгебруШаблон:Sfn.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H

Литература

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H