Тензоры в физической кинетике

Масса, заряд, импульс и энергия в уравнениях механики сплошной среды

Основные уравнения механики сплошной среды – непрерывности, движения и энергии – демонстрируют причины изменения во времени плотностей трех основных механических величин: массы $\mathrm{m}$, импульса $\overrightarrow{\mathrm{p}}$ и энергии $\epsilon$.

При этом:

• первое слагаемое левой части каждого из названных уравнений представляет собой изменение плотности (количества в единице объема) соответствующей величины в единицу времени;
• второе – результат обмена этой величиной выделенного единичного объема с соседними объемами;
• третье – изменение плотности соответствующей величины в единицу времени под действием внешних сил;
• правая часть – изменение плотности соответствующей величины в единицу времени в результате столкновений частиц в объеме.

При описании газа заряженных частиц одной из форм уравнения непрерывности является закон сохранения заряда в дифференциальной форме, в котором количество вещества представлено не массой $\mathrm{m}$, а зарядом $\mathrm{q}$.

Общими характеристиками массы, заряда, импульса и энергии являются:

• сохраняемость в замкнутых системах;
• аддитивность.

Однако, по одному признаку импульс в этом списке стоит особняком. А именно: масса, заряд и энергия – скаляры. Соответственно плотности массы, заряда и энергии – скаляры, плотности потока массы, заряда и энергии – векторы.

Импульс же сам является вектором. Соответственно, плотность импульса есть вектор – полностью описывается тремя величинами. Плотность же потока импульса полностью описывается уже девятью величинами: любая из трех проекций импульса вместе с частицей может переноситься в любом из трех пространственных направлений. Таким образом, плотность потока импульса представляет собой тензор второго ранга (кинетический тензор):

$𝜫=\begin{array}{ccc}{\mathrm{\Pi }}_{11}& {\mathrm{\Pi }}_{12}& {\mathrm{\Pi }}_{13}\\ {\mathrm{\Pi }}_{21}& {\mathrm{\Pi }}_{22}& {\mathrm{\Pi }}_{23}\\ {\mathrm{\Pi }}_{31}& {\mathrm{\Pi }}_{32}& {\mathrm{\Pi }}_{33}\end{array}$, ${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{m}\mathrm{n}}\mathrm{=}\mathrm{m}\mathrm{\int }\mathrm{f}\mathrm{(}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{)}{\mathrm{v}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{d}}^{\mathrm{3}}\mathrm{v}$,

где

• ${\mathrm{\Pi }}_{mn}$ – количество $\mathrm{m}$-й проекции импульса, которое в единицу времени переносится через единицу поверхности в $\mathrm{n}$-м направлении.
• $\mathrm{f}\mathrm{(}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{)}$ – функция распределения частиц по скоростям.

Можно заметить, что половина следа (суммы диагональных компонент) кинетического тензора равна плотности кинетической энергии:

$\frac{{\mathrm{\Pi }}_{11}+{\mathrm{\Pi }}_{22}+{\mathrm{\Pi }}_{33}}{2}\mathrm{=}\frac{m}{2}\mathrm{\int }\mathrm{f}\mathrm{(}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{)}\mathrm{(}{\mathrm{v}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}{\mathrm{v}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}{\mathrm{v}}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}\mathrm{)}{\mathrm{d}}^{\mathrm{3}}\mathrm{v}\mathrm{=}{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{K}}^{\mathrm{(}\mathrm{V}\mathrm{)}}$

В результате форма записи уравнения движения в традиционном представлении отличается от формы записи уравнений непрерывности:

$\frac{\partial \rho }{\partial t}\mathrm{+}\mathrm{\nabla }\mathrm{\cdot }{\overrightarrow{\mathrm{p}}}^{\mathrm{(}\mathrm{V}\mathrm{)}}\mathrm{=}\frac{\delta \rho }{\delta t}$

и энергии:

$\frac{\partial {\epsilon }^{(V)}}{\partial t}\mathrm{+}\mathrm{\nabla }\mathrm{\cdot }\overrightarrow{\mathrm{q}}\mathrm{-}\overrightarrow{\mathrm{V}}\mathrm{\cdot }{\overrightarrow{\mathrm{F}}}^{\mathrm{(}\mathrm{V}\mathrm{)}}\mathrm{=}\frac{\delta {\epsilon }^{(V)}}{\delta t}$.

А именно:

$\frac{\partial p_m^{(V)}}{\partial t}\mathrm{+}\mathrm{\sum }_{\mathrm{m}\mathrm{n}}\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}_{mn}}{\partial r_n}\mathrm{-}{\mathrm{F}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{(}\mathrm{V}\mathrm{)}}\mathrm{=}\frac{\delta p_m^{(V)}}{\delta t}$

где:

• $\rho$ – плотность массы;
• ${\overrightarrow{\mathrm{p}}}^{\mathrm{(}\mathrm{V}\mathrm{)}}\mathrm{=}\mathrm{\rho }\overrightarrow{\mathrm{V}}$– плотность потока массы, математически тождественная плотности импульса;
• $\overrightarrow{\mathrm{V}}$ – среднемассовая скорость;
• ${\mathrm{\epsilon }}^{\mathrm{(}\mathrm{V}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{K}}^{\mathrm{(}\mathrm{V}\mathrm{)}}\mathrm{+}\frac{\rho }{m}{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{\chi }}$ – плотность энергии;
• $\overrightarrow{\mathrm{q}}\mathrm{=}\frac{m}{2}\mathrm{\int }\mathrm{f}\mathrm{(}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{)}{\mathrm{v}}^{\mathrm{2}}\overrightarrow{\mathrm{v}}{\mathrm{d}}^{\mathrm{3}}\mathrm{v}\mathrm{+}\mathrm{\int }\mathrm{f}\mathrm{(}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{)}{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{\chi }}\overrightarrow{\mathrm{v}}{\mathrm{d}}^{\mathrm{3}}\mathrm{v}$ – плотность потока энергии;
• ${\epsilon }_{\chi }$ – внутренняя энергия частицы;
• ${\overrightarrow{\mathrm{F}}}^{\mathrm{(}\mathrm{V}\mathrm{)}}$ – внешняя сила, действующая на единицу объема газа;
• $\frac{\delta }{\delta t}$ – изменение в единицу времени в результате столкновений (здесь приведены уравнения для компоненты многокомпонентной среды).

Можно заметить три основных неудобства последней записи по сравнению с двумя предыдущими:

• громоздкость;
• необходимость записи в трех проекциях;
• привязанность конкретно к декартовым координатам.

Последнее, например, означает, что в зависимости от системы координат, в которых решается задача, запись уравнения движения в проекциях будет иметь разные формы.

Такими же недостатками обладает и запись кинетического тензора в развернутой форме:

${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{m}\mathrm{n}}\mathrm{=}\mathrm{\rho }{\mathrm{V}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{n}}\mathrm{+}{\mathrm{\delta }}_{\mathrm{m}\mathrm{n}}\mathrm{P}\mathrm{-}{\mathrm{\sigma }}_{\mathrm{m}\mathrm{n}}^{\mathrm{I}}$

и запись последнего слагаемого в приведенном выражении:

${\mathrm{\sigma }}_{\mathrm{m}\mathrm{n}}^{\mathrm{I}}\mathrm{=}\mathrm{\eta }\mathrm{(}\frac{\partial V_m}{\partial r_n}\mathrm{+}\frac{\partial V_n}{\partial r_m}\mathrm{-}\frac{2}{3}{\mathrm{\delta }}_{\mathrm{m}\mathrm{n}}\mathrm{\nabla }\mathrm{\cdot }\overrightarrow{\mathrm{V}}\mathrm{)}$

где  

• $\mathrm{P}$ – давление;
• ${\mathrm{\sigma }}_{\mathrm{m}\mathrm{n}}^{\mathrm{I}}$ – компонента тензора вязких напряжений

Наличие названных недостатков скорее всего можно объяснить тем, что кинетика в физике и тензорный анализ в математике – это сравнительно молодые направления в науке, возникшие уже после того, как натурфилософия, фактически, уже разделилась на отдельные отрасли: физику, химию, математику и т.п. В отличие от Эйлера, Гаусса, Стокса физики уже были только физиками, а математики – только математиками.

В результате тензорный анализ в математике, с одной стороны, оказался достаточно отстраненным от проблем современной физики и, с другой стороны, не сформировал еще общепринятой и достаточно компактной символики.

Необходимость выбора

Развитие математического аппарата любой естественной науки часто ставит исследователя перед выбором:

1. Оставаться в кругу уже определенных категорий, правил и символики, за счет громоздкости, необщности и большого количества выражений.

2. Обобщить понятия, упростить и сократить количество выражений за счет введения новых категорий, правил и символики.

Первый выбор оправдан в случае, когда круг объектов с особенными свойствами узок и редко употребляется в соответствующем направлении науки. В противоположном случае, необходимость дополнительных интеллектуальных усилий в течение определенного времени очень скоро окупается экономией времени и средств представления (бумаги, мела, компьютерной памяти) в дальнейшем массированном обращении с соответствующими объектами.

Примером преимущества второго выбора в математике и физике является появление векторного анализа, возникшего ввиду трехмерности геометрического пространства.

Первый выбор – использование категорий исключительно скалярного анализа – требовал бы в данном случае использования трех определений в описании положения объекта – различных в различных системах координат (декартовой, цилиндрической или сферической), трех определений в описании изменения положения во времени. При этом использование исключительно скалярной символики означало бы разные правила дифференцирования характеристик положения по времени для получения соответствующих характеристик изменения положения. В каждой задаче вместо одного уравнения движения необходимо было бы записывать три, строго оговаривая при этом систему координат, в которой справедлива такая запись. Точно так же пришлось бы поступать в выражениях для связи потенциальной энергии и силы, характеристик электромагнитного поля и движения частиц и т.п.

Второй выбор – введение понятия вектора – означает необходимость усвоения немногих новых определений: вектор, скалярное произведение, векторное произведение и т.п., но легко окупается следующими выгодами:

- вектор сохраняет свою целостность в любой системе координат, в то время как значения проекций меняются;

- правила преобразования положения в скорость, скорости в ускорение как векторов, связь между скоростью и импульсом, характеристиками поля и силой как между векторами сохраняются в различных системах координат.

Наиболее существенную новизну сравнительно со скалярным анализом представляет здесь само понятие вектора – нужно просто привыкнуть к тому, что в геометрии и математике одна величина может характеризоваться не одним, а тремя числами – по числу пространственных измерений в нашей Вселенной. В операциях с кинетическим тензором мы сталкиваемся с названной выше необходимостью выбора – по-прежнему оперировать объектами двух типов (векторами и скалярами), описывая перенос импульса девятью скалярами или тремя векторами (со всеми издержками, названными выше) или ввести понятие и правила операций с новыми объектами, характеризующимися девятью числами. Массовость обращений к переносу импульса в механике сплошной среды скорее располагает ко второму выбору. Кроме того, есть соображения, по которым оптимальным здесь становится не просто определение нового класса объектов, но введение некоего "над-класса", к которому равно относятся и скаляры, и векторы и вновь вводимые объекты. Таким "над-классом" в математике и физике являются тензоры соответствующих рангов.

Понятие тензора определенного ранга

В нашем случае тензоры являются математическим представлением конкретных физических величин, но не операторами в матричном анализе. Предлагаемая символика и правила относятся именно к такому случаю и не обязательно полностью соответствуют символике матричного анализа.

Тензором определенного ранга $\mathrm{M}$ в $\mathrm{I}$-мерном пространстве называют величину, которая полностью описывается ${\mathrm{I}}^{\mathrm{M}}$ числами – элементами тензора. Предметом механики сплошной среды является обычное трехмерное пространство ($\mathrm{I}\mathrm{=}\mathrm{3}$), поэтому в дальнейшем мы и будем говорить только о нем. Таким образом, в нашем случае тензором ранга $\mathrm{M}$ является величина, которая полностью описывается ${\mathrm{3}}^{\mathrm{M}}$ элементами.

В таком случае:

• скаляр, имеющий один элемент, есть тензор нулевого ранга;
• вектор, имеющий три элемента, есть тензор первого ранга.

Появление нового класса объектов требует новой символики. А именно:

• единственный элемент, из которого состоит скаляр $\mathrm{\Phi }$, не требует индекса в записи значения;
• каждый из трех элементов ${\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}$ вектора $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ обозначается индексом $\mathrm{m}$, изменяющимся от 1 до 3 – соответственно числу измерений геометрического пространства;
• каждый из ${\mathrm{3}}^{\mathrm{M}}$ элементов ${\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{3}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}\mathrm{-}\mathrm{1}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}$  тензора $\mathrm{M}$-го ранга $𝐀$ обозначается $\mathrm{M}$ индексами ${\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{3}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}\mathrm{-}\mathrm{1}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}$, изменяющимися от 1 до 3 – в дальнейшем для краткости вместо ${\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{3}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}\mathrm{-}\mathrm{1}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}$ будем писать ${\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}$.

В тензорном анализе, так же, как и в векторном, важным является понятие базиса, основанное на определении единичного тензора.

Единичным тензором $\mathrm{M}$-го ранга  есть тензор ${\mathrm{e}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}$, в котором равны нулю все элементы, кроме равного единице ${\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}$-го элемента.

В таком случае:

• $e^{()}$: единичный тензор нулевого ранга есть единица (единичный скаляр);
• ${\mathrm{e}}^{\mathrm{(}\mathrm{m}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}$: единичный тензор первого ранга есть орта (единичный вектор).

Операции с тензорами

Для облегчения восприятия правила операций с тензорами покажем сравнительно с правилами аналогичных операций с векторами.

 Правило 1. Сложение тензоров и умножение тензора на скаляр

Вектор $\overrightarrow{\mathrm{D}}$ равен сумме векторов $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ и $\overrightarrow{\mathrm{B}}$, если элемент вектора $\overrightarrow{\mathrm{D}}$ равен сумме соответствующих элементов векторов  $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ и $\overrightarrow{\mathrm{B}}$:

1.1. $\overrightarrow{\mathrm{D}}\mathrm{=}\overrightarrow{\mathrm{A}}\mathrm{+}\overrightarrow{\mathrm{B}}$          $⟶$          ${\mathrm{D}}_{\mathrm{m}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}\mathrm{+}{\mathrm{B}}_{\mathrm{m}}$.

Прямым следствием правила сложения векторов является правило умножения вектора на скаляр: вектор $\overrightarrow{\mathrm{D}}$ равен произведению вектора $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ и скаляра $\mathrm{C}$, если элемент вектора $\overrightarrow{\mathrm{D}}$  равен произведению соответствующего элемента вектора $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ и скаляра $\mathrm{C}$:

1.2. $\overrightarrow{\mathrm{D}}\mathrm{=}\mathrm{C}\overrightarrow{\mathrm{A}}$           $⟶$          ${\mathrm{D}}_{\mathrm{m}}\mathrm{=}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}$.

Тензор $\mathrm{M}$-го ранга $𝐃$ равен сумме тензоров такого же ранга $𝐀$ и $𝐁$, если элемент тензора $𝐃$ равен сумме соответствующих элементов тензоров $𝐀$ и $𝐁$:

1.3. $𝐃=𝐀+𝐁$           $⟶$       ${\mathrm{D}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}\mathrm{+}{\mathrm{B}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}$.

Прямым следствием правила сложения тензоров является правило умножения тензора на скаляр: тензор $𝐃$ равен произведению тензора $𝐀$ и скаляра $\mathrm{C}$, если элемент тензора $𝐃$ равен произведению соответствующего элемента тензора $𝐀$ и скаляра $\mathrm{C}$:

1.4. $𝐃\mathrm{=}\mathrm{C}𝐀$           $⟶$       ${\mathrm{D}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}\mathrm{=}\mathrm{C}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}$.

Правило 2. Запись тензоров как суммы элементов

Вектор $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ может быть представлен как векторная сумма элементов с использованием орт:

1.5. $\overrightarrow{\mathrm{A}}\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\mathrm{m}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}$.

При этом нет смысла говорить о результате произведения ${\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}$ – единственный смысл записи ${\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}$ состоит в указании, что величине ${\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}$ равен именно  $\mathrm{m}$-й элемент вектора .

Тензор $\mathrm{M}$-го ранга $𝐀$ может быть представлен как тензорная сумма элементов с использованием единичных тензоров:

1.6. $𝐀\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}$.

При этом нет смысла говорить о результате произведения ${\mathrm{e}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}$ – единственный смысл записи ${\mathrm{e}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}$ состоит в указании, что величине ${\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}$  равен именно ${\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}$-й элемент тензора $𝐀$.

Правило 3. Инвариантность произведения скаляра и единичного тензора

"Результат" произведения скаляра и орты не зависит от последовательности сомножителей:

1.7. ${\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}$.

"Результат" произведения скаляра и единичного тензора не зависит от последовательности сомножителей:

1.8.  ${\mathrm{e}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}$.

Правило 4. Тензорное произведение и представление единичных тензоров через орты

Внимание !!! Правило 4 является, фактически, единственным новым правилом тензорного анализа, не представленным в векторном анализе.

Тензорным произведением тензора $\mathrm{M}$-го ранга $𝐀$ и тензора $\mathrm{N}$-го ранга $𝐁$ является тензор $\mathrm{M}\mathrm{+}\mathrm{N}$-го ранга $𝐃$, если ${\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}{\mathrm{n}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{n}}_{\mathrm{N}}$-й элемент тензора $𝐃$ равен произведению ${\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}$-го элемента тензора $𝐀$ и ${\mathrm{n}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{n}}_{\mathrm{N}}$-го элемента тензора $𝐁$:

1.9. $𝐃=𝐀𝐁$           $⟶$       ${\mathrm{D}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}{\mathrm{n}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{n}}_{\mathrm{N}}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}{\mathrm{B}}^{\mathrm{(}{\mathrm{n}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{n}}_{\mathrm{N}}\mathrm{)}}$.

Таким образом, тензорное скаляра и тензора произвольного ранга есть, фактически, "простое" произведение скаляра на тензор (1.4).

С учетом (9) единичный тензор $\mathrm{M}$-го ранга может быть представлен как кратное тензорное произведение орт:

1.10. ${\mathrm{e}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}$.

Выражения (1.6) и (1.8) с использованием (1.10) можно записать так:

1.11, $𝐀\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}$,

1.12. ${\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{i}\mathrm{+}\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}$.

В дальнейшем вместо (1.6) можно использовать запись (1.11) как более удобную в случаях, которые будут названы ниже.

Правило 5. Произведение тензоров

Существуют три вида произведений тензоров: тензорное, векторное и скалярное. Каждому из произведений соответствует знак: пробел в тензорном, крестик в векторном и точка в скалярном. Кроме того, удобно использование обобщенного знака произведения "$\circ$", соответствующего трем различным случаям:

1.13.   $\circ =($ "    ", " × ", " · "$)$.

Правило 5 является прямым следствием (1.11) и (1.12) – скаляры в произведениях можно произвольно перемещать относительно знаков произведений – знак произведения тензоров фактически относится к ближайшим ортам:

1.14. $\overrightarrow{\mathrm{A}}\mathrm{\circ }\overrightarrow{\mathrm{B}}\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\mathrm{m}\mathrm{n}}\mathrm{\left(}{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}\mathrm{\right)}\mathrm{\circ }\mathrm{\left(}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\mathrm{m}\mathrm{n}}\mathrm{(}{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}\mathrm{\circ }{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\mathrm{)}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\mathrm{m}\mathrm{n}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}\mathrm{(}{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}\mathrm{\circ }{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\mathrm{)}$,

1.15. $𝐀\mathrm{\circ }𝐁\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\begin{array}{c}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\\ {\mathrm{n}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{n}}_{\mathrm{N}}\end{array}}\mathrm{\left(}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}\mathrm{\right)}\mathrm{\circ }\mathrm{\left(}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_{\mathrm{N}}}{\mathrm{B}}^{\mathrm{(}{\mathrm{n}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{n}}_{\mathrm{N}}\mathrm{)}}\mathrm{\right)}\mathrm{=}$

$\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\begin{array}{c}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\\ {\mathrm{n}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{n}}_{\mathrm{N}}\end{array}}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}\mathrm{-}\mathrm{1}}}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}\mathrm{(}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}\mathrm{\circ }{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{)}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_{\mathrm{2}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_{\mathrm{N}}}{\mathrm{B}}^{\mathrm{(}{\mathrm{n}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{n}}_{\mathrm{N}}\mathrm{)}}\mathrm{=}$

$\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\begin{array}{c}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\\ {\mathrm{n}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{n}}_{\mathrm{N}}\end{array}}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}{\mathrm{B}}^{\mathrm{(}{\mathrm{n}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{n}}_{\mathrm{N}}\mathrm{)}}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}\mathrm{-}\mathrm{1}}}\mathrm{(}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}\mathrm{\circ }{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{)}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_{\mathrm{2}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_{\mathrm{N}}}$.

Правило 6. Произведение орт

Тензорное, векторное и скалярное произведение орт имеют следующие значения:

1.16. ${\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\mathrm{=}{\mathrm{e}}^{\mathrm{(}\mathrm{m}\mathrm{n}\mathrm{)}}$,

1.17. ${\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}\mathrm{\times }{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}\mathrm{=}\mathrm{0}$,

${\mathrm{i}}_{\mathrm{1}}\mathrm{\times }{\mathrm{i}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{-}{\mathrm{i}}_{\mathrm{2}}\mathrm{\times }{\mathrm{i}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=}{\mathrm{i}}_{\mathrm{3}}$,

$\mathrm{-}{\mathrm{i}}_{\mathrm{1}}\mathrm{\times }{\mathrm{i}}_{\mathrm{3}}\mathrm{=}{\mathrm{i}}_{\mathrm{3}}\mathrm{\times }{\mathrm{i}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=}{\mathrm{i}}_{\mathrm{2}}$,

${\mathrm{i}}_{\mathrm{2}}\mathrm{\times }{\mathrm{i}}_{\mathrm{3}}\mathrm{=}\mathrm{-}{\mathrm{i}}_{\mathrm{3}}\mathrm{\times }{\mathrm{i}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{i}}_{\mathrm{1}}$,

1.18. ${\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}\mathrm{\cdot }{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\mathrm{=}{\mathrm{\delta }}_{\mathrm{m}\mathrm{n}}$,

где   ${\mathrm{\delta }}_{\mathrm{m}\mathrm{n}}$ – символ Кронекера:

1.19. ${\mathrm{\delta }}_{\mathrm{m}\mathrm{n}}\mathrm{=}\{\begin{array}{cc}1,& \mathrm{m}\mathrm{=}\mathrm{n}\\ 0,& \mathrm{m}\mathrm{\ne }\mathrm{n}\end{array}$.

Правило 7. Извлечение элемента из вектора и тензора

Произвольный вектор $\overrightarrow{\mathrm{A}}$  в различных выражениях может встречаться не в прямой записи (1.5), а как результат операций с другими векторами или скалярами. При необходимости "извлечения" конкретной проекции вектора $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ из такой записи можно на основании (1.5) и (1.18) использовать операцию:

1.20. ${\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}\mathrm{=}{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}\mathrm{\cdot }\overrightarrow{\mathrm{A}}\mathrm{=}\overrightarrow{\mathrm{A}}\mathrm{\cdot }{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}$

Аналогично, на основании (11) и (18) можно записать для элемента тензора ранга выше нулевого:

1.21. ${\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}\mathrm{\cdot }\mathrm{(}\mathrm{...}\mathrm{\cdot }\mathrm{(}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{\cdot }𝐀\mathrm{\left)}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{\left(}\mathrm{\right(}𝐀\mathrm{\cdot }{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}\mathrm{)}\mathrm{\cdot }\mathrm{...}\mathrm{)}\mathrm{\cdot }{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}$.

Дифференциальные операторы в применении к тензорам

Правило 8. Операторы Гамильтона и Лапласа

Любой из трех знаков (1.13) может использоваться не только в произведениях, но и в обозначениях действия оператора Гамильтона $\mathrm{\nabla }$, имеющего, как известно, запись:

1.22. $\mathrm{\nabla }\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\mathrm{n}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\frac{\partial }{\partial r_n}$.

Результатом тензорного действия оператора $\mathrm{\nabla }$ является градиент, векторного – ротор, скалярного – дивергенция. К сожалению,  в большинстве источников отсутствуют общие правила развернутой записи результатов действия оператора $\mathrm{\nabla }$ в произвольной (не декартовой) системе координат. Приводятся общие записи в декартовой системе – единственной системе координат с неизменными ортами, а также частные случаи записи для наиболее часто используемых ортогональных криволинейный координат – сферических, цилиндрических.

Правильные результаты в использовании оператора можно, однако, получить, распространив Правило 5 на скалярные дифференциальные операторы – скалярные дифференциальные операторы в произведениях можно произвольно перемещать относительно знаков произведений:

1.23. $\mathrm{\nabla }\mathrm{\circ }\mathrm{=}\mathrm{\left(}\mathrm{\sum }_{\mathrm{n}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\frac{\partial }{\partial r_n}\mathrm{\right)}\mathrm{\circ }\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\mathrm{n}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\circ }\frac{\partial }{\partial r_n}$.

Таким образом, имеем:

• градиент скаляра:

1.24. $\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\mathrm{n}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial r_n}$;

• ротор вектора:

1.25. $\mathrm{\nabla }\mathrm{\times }\overrightarrow{\mathrm{A}}\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\mathrm{n}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\times }\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial r_n}\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\mathrm{n}\mathrm{m}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\times }\frac{\partial }{\partial r_n}\mathrm{\left(}{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\mathrm{n}\mathrm{m}}\mathrm{(}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\times }{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}\frac{\partial A_m}{\partial r_n}\mathrm{+}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\times }\frac{\partial i_m}{\partial r_n}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}\mathrm{)}$;

• дивергенция вектора:

1.26. $\mathrm{\nabla }\mathrm{\cdot }\overrightarrow{\mathrm{A}}\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\mathrm{n}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\cdot }\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial r_n}\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\mathrm{n}\mathrm{m}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\cdot }\frac{\partial }{\partial r_n}\mathrm{\left(}{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\mathrm{n}\mathrm{m}}\mathrm{(}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\cdot }{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}\frac{\partial A_m}{\partial r_n}\mathrm{+}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\cdot }\frac{\partial i_m}{\partial r_n}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}\mathrm{)}$.

Аналогично (1.24) – (1.26) правило (1.23) в применении к тензору дает:

• градиент тензора произвольного ранга:

1.27. $\mathrm{\nabla }𝐀\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\mathrm{n}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\frac{\partial 𝐀}{\partial r_n}\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ {\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\end{array}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\frac{\partial }{\partial r_n}\mathrm{\left(}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}\mathrm{\right)}\mathrm{=}$

$\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ {\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\end{array}}\mathrm{(}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}\frac{\partial A^{(m_1\mathrm{...}{m}_M)}}{\partial r_n}\mathrm{+}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\frac{\partial }{\partial r_n}\mathrm{(}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}\mathrm{)}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}\mathrm{)}$;

• ротор тензора ранга выше нулевого:

1.28. $\mathrm{\nabla }\mathrm{\times }𝐀\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\mathrm{n}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\times }\frac{\partial 𝐀}{\partial r_n}\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ {\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\end{array}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\times }\frac{\partial }{\partial r_n}\mathrm{\left(}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}\mathrm{\right)}\mathrm{=}$

$\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ {\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\end{array}}\mathrm{(}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\times }{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}\frac{\partial A^{(m_1\mathrm{...}{m}_M)}}{\partial r_n}\mathrm{+}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\times }\frac{\partial }{\partial r_n}\mathrm{(}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}\mathrm{)}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}\mathrm{)}$;

• дивергенция тензора ранга выше нулевого:

1.29. $\mathrm{\nabla }\mathrm{\cdot }𝐀\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\mathrm{n}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\cdot }\frac{\partial 𝐀}{\partial r_n}\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ {\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\end{array}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\cdot }\frac{\partial }{\partial r_n}\mathrm{\left(}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}\mathrm{\right)}\mathrm{=}$

$\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ {\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\end{array}}\mathrm{(}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\cdot }{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}\frac{\partial A^{(m_1\mathrm{...}{m}_M)}}{\partial r_n}\mathrm{+}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\cdot }\frac{\partial }{\partial r_n}\mathrm{(}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}\mathrm{)}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}\mathrm{)}$.

Обобщенно выражения (1.27) – (1.29) можно записать так:

1.30. $\mathrm{\nabla }\mathrm{\circ }𝐀\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\mathrm{n}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\circ }\frac{\partial 𝐀}{\partial r_n}\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ {\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\end{array}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\circ }\mathrm{\left(}\frac{\partial }{\partial r_n}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}\mathrm{\right)}\mathrm{=}$

$\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\begin{array}{c}\mathrm{n}\\ {\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\end{array}}\mathrm{(}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\circ }{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}\frac{\partial A^{(m_1\mathrm{...}{m}_M)}}{\partial r_n}\mathrm{+}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\mathrm{\circ }\frac{\partial }{\partial r_n}\mathrm{(}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}\mathrm{)}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\mathrm{)}}\mathrm{)}$.

Правила дифференцирования производных орт в (1.27) – (1.30) аналогичны правилам дифференцирования произведений скаляров:

1.31. $\frac{\partial }{\partial r_n}\mathrm{\left(}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\frac{\partial i_{m_1}}{\partial r_n}\mathrm{\left(}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{2}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}\mathrm{\right)}\mathrm{+}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}\frac{\partial i_{m_2}}{\partial r_n}\mathrm{\left(}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{3}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}\mathrm{\right)}\mathrm{+}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{2}}}\frac{\partial i_{m_3}}{\partial r_n}\mathrm{\left(}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{4}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}\mathrm{\right)}\mathrm{+}\mathrm{...}$

При этом конкретная система координат представлена просто набором значений производных орт по проекциям координаты $\frac{\partial i_m}{\partial r_n}$.

В тензорном анализе, как и в векторном, используется также оператор Лапласа $\mathrm{\Delta }$:

1.32. $\mathrm{\Delta }={\mathrm{\nabla }}^2=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }$.

Результат действия оператора $\mathrm{\Delta }$ на произвольный тензор в произвольной ортогональной системе координат можно получить с использованием тех же, что и выше, правил:

1.33. $\mathrm{\Delta }𝐀\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\mathrm{m}\mathrm{n}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}\mathrm{\cdot }\frac{\partial }{\partial r_m}\mathrm{\left(}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\frac{\partial 𝐀}{\partial r_n}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\mathrm{m}}\mathrm{(}\frac{{\partial }^2𝐀}{\partial r_m^2}\mathrm{+}\mathrm{(}\mathrm{\sum }_{\mathrm{n}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}\mathrm{\cdot }\frac{\partial i_n}{\partial r_m}\mathrm{\left)}\frac{\partial 𝐀}{\partial r_n}\mathrm{\right)}$.

Некоторые характеристики тензоров второго ранга

• Представление тензора как матрицы

Тензор $𝐀$ второго ранга может быть представлен как матрица:

1.34. $𝐀\mathrm{=}\begin{array}{ccc}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{11}\mathrm{)}}& {\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{12}\mathrm{)}}& {\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{13}\mathrm{)}}\\ {\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{21}\mathrm{)}}& {\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{22}\mathrm{)}}& {\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{23}\mathrm{)}}\\ {\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{31}\mathrm{)}}& {\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{32}\mathrm{)}}& {\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{33}\mathrm{)}}\end{array}$.

• След тензора второго ранга

Следом $\mathrm{T}\mathrm{r}𝐀$ тензора второго ранга $𝐀$ называют сумму его диагональных элементов:

1.35. $\mathrm{T}\mathrm{r}𝐀\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\mathrm{n}}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{11}\mathrm{)}}\mathrm{+}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{22}\mathrm{)}}\mathrm{+}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{33}\mathrm{)}}$.

• Сопряженный тензор

Тензор ${𝐀}^{\ast }$  называют сопряженным тензору $𝐀$, если элементы тензора ${𝐀}^{\ast }$ получаются перестановкой индексов элементов тензора $𝐀$:

1.36. $𝐁={𝐀}^{\ast }$           $⟶$       ${\mathrm{B}}^{\mathrm{(}\mathrm{m}\mathrm{n}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{)}}$.

Можно заметить, что:

1.37. $({𝐀}^{\ast }{)}^{\ast }\equiv 𝐀$.

• Симметричный тензор

Тензор $𝐀$ называют симметричным, если его элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны друг другу:

1.38. $𝐀={𝐀}^{\ast }$           $⟶$       ${\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{m}\mathrm{n}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{)}}$.

• Унитарный тензор

Унитарный тензор $𝜹$ есть тензор второго ранга, недиагональные элементы которого равны нулю, а диагональные – единице:

1.39. ${\mathrm{\delta }}^{\mathrm{(}\mathrm{m}\mathrm{n}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{\delta }}_{\mathrm{m}\mathrm{n}}$            $⟶$       $𝜹\mathrm{=}\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\mathrm{m}\mathrm{n}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{\delta }}_{\mathrm{m}\mathrm{n}}\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\mathrm{n}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}$.

Можно показать следующие свойства унитарного тензора:

1.40. $𝜹\cdot 𝐀=𝐀$,

1.41. $\mathrm{\nabla }\cdot \left(𝜹𝐀\right)=\mathrm{\nabla }𝐀$,

1.42. $\mathrm{\nabla }\cdot (𝜹\cdot 𝐀)=\mathrm{\nabla }\mathbf{\cdot }A$,

1.43. $\mathrm{\nabla }\cdot \left(\overrightarrow{A}𝜹\right)=𝜹\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{A}$,

1.44. $\mathrm{\nabla }\cdot \left(𝜹\overrightarrow{A}𝜹\right)=(\mathrm{\nabla }\overrightarrow{A}{)}^{\ast }$,

где тензор, сопряженный градиенту вектора $\overrightarrow{\mathrm{A}}$:

1.45. $\mathrm{(}\mathrm{\nabla }\overrightarrow{\mathrm{A}}{\mathrm{)}}^{\mathrm{\ast }}\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\mathrm{n}}\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial r_n}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}$

и внутреннее произведение  унитарного тензора и вектора $\overrightarrow{A}$:

1.46. $𝜹\overrightarrow{\mathrm{A}}𝜹\mathrm{=}{\mathrm{\sum }}_{\mathrm{n}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\overrightarrow{\mathrm{A}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}$.

Симметричные тензоры. Операция симметрии

Тензор $𝐀$ произвольного ранга является симметричным, если перестановка любой пары индексов не изменяет значение компоненты тензора, например:

- для симметричных тензоров 2-го ранга:

1.47. ${\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{m}\mathrm{n}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{)}}$;

- для симметричных тензоров 3-го ранга:

1.48. ${\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{n}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{k}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{n}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{m}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{)}}$;

- для симметричных тензоров 4-го ранга:

1.49. ${\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{n}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{n}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{)}}\mathrm{=}$

${\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{n}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{n}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{)}}\mathrm{=}$

${\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{n}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{k}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{m}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{)}}\mathrm{=}$

${\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{k}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{m}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{)}}$

и так далее.

Можно заметить, что число независимых комбинаций индексов для тензора $\mathrm{n}$-го ранга равно $\mathrm{n}\mathrm{!}$.

Любой тензор ${𝐀}^{\mathrm{[}\mathrm{n}\mathrm{]}}$  произвольного ранга $n$ может быть преобразован в симметричный тензор  с помощью операции симметрии:

1.50.$\mathrm{\lfloor }{𝐀}^{\mathrm{[}\mathrm{n}\mathrm{]}}\mathrm{\rfloor }\mathrm{=}\frac{1}{n!}\mathrm{\sum }{𝐀}^{\mathrm{[}\mathrm{n}\mathrm{]}\mathrm{\ast }}$,

где $\mathrm{\sum }{𝐀}^{\mathrm{[}\mathrm{n}\mathrm{]}\mathrm{\ast }}$  – сумма исходного тензора ${𝐀}^{\mathrm{[}\mathrm{n}\mathrm{]}}$  и всех тензоров, получаемых путем перестановки индексов его компонент аналогично (1.47) – (1.49).

Можно заметить, что если исходный тензор ${𝐀}^{\mathrm{[}\mathrm{n}\mathrm{]}}$  уже является симметричным, имеет место $\mathrm{\lfloor }{𝐀}^{\mathrm{[}\mathrm{n}\mathrm{]}}\mathrm{\rfloor }\mathrm{=}{𝐀}^{\mathrm{[}\mathrm{n}\mathrm{]}}$.

Тензорная степень вектора. Бином и дифференциал тензорной степени вектора

Тензор ${𝐀}^{\mathrm{[}\mathrm{n}\mathrm{]}}$ произвольного ранга $\mathrm{n}$ может быть результатом кратного тензорного произведения одного и того же вектора $\overrightarrow{\mathrm{a}}$:

1.51. ${𝐀}^{\mathrm{[}\mathrm{n}\mathrm{]}}\mathrm{=}\underset{\mathrm{n}}{\underbrace{\overrightarrow{\mathrm{a}}\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{...}\overrightarrow{\mathrm{a}}}}$.

Для краткости можно использовать символ тензорной степени вектора (итерации вектора):

1.52. $\underset{\mathrm{n}}{\underbrace{\overrightarrow{\mathrm{a}}\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{...}\overrightarrow{\mathrm{a}}}}\mathrm{=}{\overrightarrow{\mathrm{a}}}^{\mathrm{\lceil }\mathrm{n}\mathrm{\rceil }}$.

Показатель тензорной степени нужно записывать в скобках $\mathrm{\lceil }\mathrm{n}\mathrm{\rceil }$, чтобы не путать тензорный квадрат вектора:

1.53. ${\overrightarrow{\mathrm{a}}}^{\mathrm{\lceil }\mathrm{2}\mathrm{\rceil }}\mathrm{=}\overrightarrow{\mathrm{a}}\overrightarrow{\mathrm{a}}$

с принятым в векторном анализе обозначением квадрата вектора (квадрата модуля):

1.54. ${\overrightarrow{\mathrm{a}}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{\cdot }\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{=}\mathrm{|}\overrightarrow{\mathrm{a}}{\mathrm{|}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{a}}^{\mathrm{2}}$.

Можно убедиться, что:

1.55. $\mathrm{\lfloor }{\overrightarrow{\mathrm{a}}}^{\mathrm{\lceil }\mathrm{n}\mathrm{\rceil }}\mathrm{\rfloor }\mathrm{\equiv }{\overrightarrow{\mathrm{a}}}^{\mathrm{\lceil }\mathrm{n}\mathrm{\rceil }}$.

В алгебре скаляров существует запись для степени суммы скаляров (бином Ньютона):

1.56. $\mathrm{(}\mathrm{a}\mathrm{+}\mathrm{b}{\mathrm{)}}^{\mathrm{n}}\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\mathrm{k}\mathrm{=}\mathrm{0}}^{\mathrm{n}}\frac{n!}{k!(n-k)!}{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{k}}{\mathrm{b}}^{\mathrm{k}}$.

С использованием принятых здесь обозначений можно показать для тензорной степени суммы векторов:

1.57. $\mathrm{(}\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{+}\overrightarrow{\mathrm{b}}{\mathrm{)}}^{\mathrm{\lceil }\mathrm{n}\mathrm{\rceil }}\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{\mathrm{k}\mathrm{=}\mathrm{0}}^{\mathrm{n}}\frac{n!}{k!(n-k)!}\mathrm{\lfloor }{\overrightarrow{\mathrm{a}}}^{\mathrm{\lceil }\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{k}\mathrm{\rceil }}{\overrightarrow{\mathrm{b}}}^{\mathrm{\lceil }\mathrm{k}\mathrm{\rceil }}\mathrm{\rfloor }$.

Для дифференциала степени скаляра известно, что:

1.58. $\mathrm{d}{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}\mathrm{=}\mathrm{d}\mathrm{(}\underset{\mathrm{n}}{\underbrace{\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{...}\mathrm{a}}}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{(}\underset{\mathrm{n}}{\underbrace{\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{(}\underset{\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{1}}{\underbrace{\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{...}\mathrm{a}}}\mathrm{)}\mathrm{+}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{(}\underset{\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{2}}{\underbrace{\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{...}\mathrm{a}}}\mathrm{)}\mathrm{+}\mathrm{...}}}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{n}{\mathrm{a}}^{\mathrm{\lceil }\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\rceil }}\mathrm{d}\mathrm{a}$.

Можно показать, что для дифференциала тензорной степени вектора:

1.59. $\mathrm{d}{\overrightarrow{\mathrm{a}}}^{\mathrm{\lceil }\mathrm{n}\mathrm{\rceil }}\mathrm{=}\mathrm{d}\mathrm{(}\underset{\mathrm{n}}{\underbrace{\overrightarrow{\mathrm{a}}\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{...}\overrightarrow{\mathrm{a}}}}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{(}\underset{\mathrm{n}}{\underbrace{\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{(}\underset{\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{1}}{\underbrace{\overrightarrow{\mathrm{a}}\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{...}\overrightarrow{\mathrm{a}}}}\mathrm{)}\mathrm{+}\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{(}\underset{\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{2}}{\underbrace{\overrightarrow{\mathrm{a}}\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{...}\overrightarrow{\mathrm{a}}}}\mathrm{)}\mathrm{+}\mathrm{...}}}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{n}\mathrm{\lfloor }{\overrightarrow{\mathrm{a}}}^{\mathrm{\lceil }\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\rceil }}\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{\rfloor }$.

Кратное скалярное произведение

В операциях с тензорами часто встречается необходимость кратного скалярного произведения тензоров, для которого можно использовать следующую символику:

1.60. ${\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{m}}}\stackrel{(k)}{\bullet }{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_{\mathrm{n}}}\mathrm{=}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{m}\mathrm{-}\mathrm{k}}}\mathrm{(}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{m}\mathrm{-}\mathrm{k}\mathrm{+}\mathrm{1}}}\mathrm{\cdot }{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_{\mathrm{k}}}\mathrm{)}\mathrm{...}\mathrm{(}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{m}}}\mathrm{\cdot }{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{)}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_{\mathrm{k}\mathrm{+}\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_{\mathrm{n}}}$,

то есть:

1.61. ${𝐂}^{\mathrm{[}\mathrm{m}\mathrm{+}\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{k}\mathrm{]}}\mathrm{=}{𝐀}^{\mathrm{[}\mathrm{m}\mathrm{]}}\stackrel{(k)}{\bullet }{𝐁}^{\mathrm{[}\mathrm{n}\mathrm{]}}\mathrm{\sum }_{\begin{array}{c}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{m}}\\ {\mathrm{n}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{n}}_{\mathrm{n}}\end{array}}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{m}}\mathrm{)}}{\mathrm{B}}^{\mathrm{(}{\mathrm{n}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{n}}_{\mathrm{n}}\mathrm{)}}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{m}}}\stackrel{(k)}{\bullet }{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_{\mathrm{n}}}$

и

1.62. ${\mathrm{C}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{m}\mathrm{+}\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{k}}\mathrm{)}}\mathrm{=}\mathrm{\sum }_{{\mathrm{k}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{k}}_{\mathrm{k}}}{\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{m}\mathrm{-}\mathrm{k}}{\mathrm{k}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{k}}_{\mathrm{k}}\mathrm{)}}{\mathrm{B}}^{\mathrm{(}{\mathrm{k}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{k}}_{\mathrm{k}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{m}\mathrm{-}\mathrm{k}\mathrm{+}\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{m}\mathrm{+}\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{k}}\mathrm{)}}$.

Например, с использованием символа кратного скалярного произведения выражение (1.21) приобретает более компактную форму:

1.63. ${\mathrm{A}}^{\mathrm{(}{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}\mathrm{...}{\mathrm{m}}_{\mathrm{m}}\mathrm{)}}\mathrm{=}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{m}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}\stackrel{(m)}{\bullet }{𝐀}^{\mathrm{[}\mathrm{m}\mathrm{]}}\mathrm{=}{𝐀}^{\mathrm{[}\mathrm{m}\mathrm{]}}\stackrel{(m)}{\bullet }{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{m}}}\mathrm{...}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{1}}}$

Уравнение движения. кинетический тензор и тензор вязких напряжений

 Использование предложенной символики и правил позволяет записать уравнение движения в универсальной и компактной форме без привязки к конкретной системе координат:

1.64. $\frac{\partial {\overrightarrow{p}}^{(V)}}{\partial t}\mathrm{+}\mathrm{\nabla }\mathrm{\cdot }𝜫\mathrm{=}\frac{\delta {\overrightarrow{p}}^{(V)}}{\delta t}$

Аналогично, для развернутой формы записи кинетического тензора имеем:

1.65. $𝜫\mathrm{=}\mathrm{\rho }\overrightarrow{\mathrm{V}}\overrightarrow{\mathrm{V}}\mathrm{+}𝜹\mathrm{P}\mathrm{-}{𝝈}^{\mathrm{I}}$

и для тензора вязких напряжений:

1.66. ${𝝈}^{\mathrm{I}}\mathrm{=}\mathrm{2}\mathrm{\eta }\mathrm{(}\mathrm{\lfloor }\mathrm{\nabla }\mathrm{V}\mathrm{\rfloor }\mathrm{-}\frac{𝜹}{3}\mathrm{\nabla }\mathrm{\cdot }\overrightarrow{\mathrm{V}}\mathrm{)}$.

Следует отметить, что последнее выражение, так же как и выражение для кондуктивной составляющей плотности потока энергии (теплопроводность):

1.67. ${\overrightarrow{\mathrm{q}}}^{\mathrm{\kappa }}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{\kappa }\mathrm{\nabla }\mathrm{T}$

представляют собой приближенные формы, применимые только при описании относительно плотных средств, когда производными величин ${𝝈}^{\mathrm{I}}$ и ${\overrightarrow{\mathrm{q}}}^{\mathrm{\kappa }}$ по времени и координатам можно пренебречь по сравнению с их изменением в единицу времени в единице объема в результате столкновений.

Одним из часто встречающихся недоразумений, связанных с "урезанностью" (1.66) и (1.67) является представление о том, что причинам вязкого переноса импульса и теплопроводности являются переменность среднемассовой скорости и температуры в пространстве. Аналогично, в диффузионном приближении, когда производными среднемассовой скорости по времени и координатам можно пренебречь по сравнению с ее изменением в единицу времени в единице объема в результате столкновений, причиной течения называют переменность давления в пространстве.

На самом деле, с учетом отброшенных в обоих названных случаях слагаемых течение, теплопроводность, вязкий перенос импульса, переменность скорости, температуры и давления являются следствиями общей в каждом из названных случаев причины. Например: изменение среднемассовой скорости и давления – как следствия переменности сечения канала в реактивных системах.

Уравнения моментов функции распределения

Механические моменты и моменты функции распределения

Основные уравнения газодинамики представляют собой уравнения моментов функции распределения частиц по скоростям. Функция ${\mathrm{f}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{(}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{)}$

2.1. ${\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{N}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{=}{\mathrm{f}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{(}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{)}{\mathrm{d}}^{\mathrm{3}}\mathrm{r}{\mathrm{d}}^{\mathrm{3}}\mathrm{v}$,

где

• ${\mathrm{d}}^{\mathrm{3}}\mathrm{r}$ – элемент объема в пространстве координат;
• ${\mathrm{d}}^{\mathrm{3}}\mathrm{v}$ – элемент объема в пространстве скоростей;
• ${\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{N}}_{\mathrm{\alpha }}$ – количество частиц в элементе объема ${\mathrm{d}}^{\mathrm{3}}\mathrm{r}$ в пространстве координат и элементе объема ${\mathrm{d}}^{\mathrm{3}}\mathrm{v}$ в пространстве скоростей.

Инструментом для отыскания функции ${\mathrm{f}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{(}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{)}$  является кинетическое уравнение:

2.2. $\frac{\partial f_{\alpha }(\overrightarrow{\mathrm{v}})}{\partial t}\mathrm{+}\mathrm{\nabla }\mathrm{\cdot }\mathrm{(}{\mathrm{f}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{(}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{)}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{)}\mathrm{+}{\mathrm{\nabla }}_{\mathrm{v}}\mathrm{\cdot }\mathrm{(}{\mathrm{f}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{(}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{)}\frac{{\overrightarrow{F}}_{\alpha }(\overrightarrow{\mathrm{v}})}{m_{\alpha }}\mathrm{)}\mathrm{=}\frac{\delta f_{\alpha }(\overrightarrow{\mathrm{v}})}{\delta t}$,

где

• ${\overrightarrow{\mathrm{F}}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{(}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{)}$– сила, действующая на частицу сорта $\alpha$, имеющую скорость $\overrightarrow{\mathrm{v}}$;
• ${\mathrm{\nabla }}_{\mathrm{v}}\mathrm{=}{\mathrm{i}}_{\mathrm{x}}\frac{\partial }{\partial {\mathrm{v}}_x}\mathrm{+}{\mathrm{i}}_{\mathrm{y}}\frac{\partial }{\partial {\mathrm{v}}_y}\mathrm{+}{\mathrm{i}}_{\mathrm{z}}\frac{\partial }{\partial {\mathrm{v}}_z}$– оператор Гамильтона в пространстве скоростей;
• $\frac{\delta f_{\alpha }(\overrightarrow{\mathrm{v}})}{\delta t}$– интеграл столкновений – изменение ${\mathrm{f}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{(}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{)}$ в единицу времени в результате столкновений.

Основные механические характеристики частицы представляют собой моменты массы , где момент массы ${𝐦}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{[}\mathrm{n}\mathrm{]}}\mathrm{(}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{)}$ порядка $\mathrm{n}$ определяется выражением:

2.3. ${𝐦}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{[}\mathrm{n}\mathrm{]}}\mathrm{(}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{)}\mathrm{=}{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha }}{\overrightarrow{\mathrm{v}}}^{\mathrm{\lceil }\mathrm{n}\mathrm{\rceil }}$.

Например:

• момент массы 0-го порядка ${𝐦}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{[}\mathrm{n}\mathrm{]}}\mathrm{(}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{)}\mathrm{=}{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha }}{\overrightarrow{\mathrm{v}}}^{\mathrm{\lceil }\mathrm{n}\mathrm{\rceil }}$ представляет собой просто массу частицы;
• момент массы 1-го порядка ${𝐦}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{[}\mathrm{1}\mathrm{]}}\mathrm{(}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{)}\mathrm{=}{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha }}{\overrightarrow{\mathrm{v}}}^{\mathrm{\lceil }\mathrm{1}\mathrm{\rceil }}\mathrm{=}{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha }}\overrightarrow{\mathrm{v}}$ представляет собой импульс частицы;
• момент массы 2-го порядка ${𝐦}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{[}\mathrm{2}\mathrm{]}}\mathrm{(}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{)}\mathrm{=}{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha }}{\overrightarrow{\mathrm{v}}}^{\mathrm{\lceil }\mathrm{2}\mathrm{\rceil }}\mathrm{=}{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha }}\overrightarrow{\mathrm{v}}\overrightarrow{\mathrm{v}}$ представляет собой тензор 2-го ранга, не имеющий специального названия, но половина следа которого $\frac{1}{2}\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{(}{𝐦}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{[}\mathrm{2}\mathrm{]}}\mathrm{(}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{)}\mathrm{)}\mathrm{=}\frac{1}{2}{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{v}}^{\mathrm{2}}$ есть кинетическая энергия частицы,

Основные газодинамические параметры представляют собой моменты функции распределения :

2.4. ${𝐌}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{[}\mathrm{n}\mathrm{]}}\mathrm{=}{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}{𝐦}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{[}\mathrm{n}\mathrm{]}}\mathrm{(}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{\int }{𝐦}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{[}\mathrm{n}\mathrm{]}}\mathrm{(}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{)}{\mathrm{f}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{(}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{)}{\mathrm{d}}^{\mathrm{3}}\mathrm{v}\mathrm{=}{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{⟨}{\overrightarrow{\mathrm{v}}}^{\mathrm{\lceil }\mathrm{n}\mathrm{\rceil }}\mathrm{⟩}$,

где   

• ${\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}$ – концентрация (количество частиц в единице объема);
• $⟨⟩$ – символ осреднения по скоростям.

Например:

• момент 0-го порядка ${𝐌}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{[}\mathrm{0}\mathrm{]}}\mathrm{=}{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{⟨}{\overrightarrow{\mathrm{v}}}^{\mathrm{\lceil }\mathrm{0}\mathrm{\rceil }}\mathrm{⟩}\mathrm{=}{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{=}{\mathrm{\rho }}_{\mathrm{\alpha }}$ представляет собой плотность массы (массу единицы объема);
• момент 1-го порядка ${𝐌}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{[}\mathrm{1}\mathrm{]}}\mathrm{=}{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{⟨}{\overrightarrow{\mathrm{v}}}^{\mathrm{\lceil }\mathrm{1}\mathrm{\rceil }}\mathrm{⟩}\mathrm{=}{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{⟨}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{⟩}\mathrm{=}{\overrightarrow{\mathrm{p}}}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{(}\mathrm{V}\mathrm{)}}$ представляет собой плотность импульса (количество импульса в единице объема), количественно равную плотности потока массы (количеству массы, в единицу времени переносимое через единицу поверхности);
• момент 2-го порядка ${𝐌}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{[}\mathrm{2}\mathrm{]}}\mathrm{=}{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{⟨}{\overrightarrow{\mathrm{v}}}^{\mathrm{\lceil }\mathrm{2}\mathrm{\rceil }}\mathrm{⟩}\mathrm{=}{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{⟨}\overrightarrow{\mathrm{v}}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{⟩}\mathrm{=}{𝜫}_{\mathrm{\alpha }}$ представляет собой плотность потока импульса (кинетический тензор, количество импульса, в единицу времени переносимое через единицу поверхности), половина следа которого $\frac{1}{2}𝜹\stackrel{(2)}{\bullet }{𝐌}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{[}\mathrm{2}\mathrm{]}}\mathrm{=}{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{V}}$ есть плотность энергии (количество энергии в единице объема);
• момент 3-го порядка ${𝐌}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{[}\mathrm{3}\mathrm{]}}\mathrm{=}{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{⟨}{\overrightarrow{\mathrm{v}}}^{\mathrm{\lceil }\mathrm{3}\mathrm{\rceil }}\mathrm{⟩}\mathrm{=}{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{⟨}\overrightarrow{\mathrm{v}}\overrightarrow{\mathrm{v}}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{⟩}\mathrm{=}{𝐐}_{\mathrm{\alpha }}$ представляет собой тензор 3-го ранга, не имеющий специального названия, но половина вектор-следа которого $\frac{1}{2}𝜹\stackrel{(2)}{\bullet }{𝐌}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{[}\mathrm{3}\mathrm{]}}\mathrm{=}{\overrightarrow{\mathrm{q}}}_{\mathrm{\alpha }}$ равна плотности потока энергии (количеству энергии, в единицу времени переносимое через единицу поверхности).

Похожее описание приведено в работе R. Fitzpatrick Plasma Physics : An Introduction, но для моментов, отнесенных к единице массы, и с записью только для следа-вектора момента третьего порядка ${𝐐}_{\alpha }$.

Уравнения моментов функции распределения

Уравнение момента $\mathrm{n}$-го порядка функции распределения частиц по скоростям может быть получено умножением всех слагаемых кинетического уравнения (2.2) на момент массы $\mathrm{n}$-го порядка с последующим интегрированием всех слагаемых по всем значениям скорости.

В результате в применении к заряженной компоненте газа возникает уравнение следующего общего вида:

2.5. $\frac{\partial {𝐌}_{\alpha }^{[n]}}{\partial t}\mathrm{+}\mathrm{\nabla }\mathrm{\cdot }{𝐌}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{[}\mathrm{n}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{]}}\mathrm{-}\mathrm{n}\frac{q_{\alpha }}{m_{\alpha }}\mathrm{\lfloor }{𝐌}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{[}\mathrm{n}\mathrm{]}}\mathrm{\times }\overrightarrow{\mathrm{B}}\mathrm{+}{𝐌}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{[}\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{]}}\overrightarrow{\mathrm{E}}\mathrm{\rfloor }\mathrm{=}\frac{\delta {𝐌}_{\alpha }^{[n]}}{\delta t}$,

где   $\frac{\delta {𝐌}_{\alpha }^{[n]}}{\delta t}$   – изменение момента   в единицу времени в результате столкновений:

2.6. $\frac{\delta {𝐌}_{\alpha }^{[n]}}{\delta t}\mathrm{=}\mathrm{\int }{𝐦}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{[}\mathrm{n}\mathrm{]}}\mathrm{(}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{)}\frac{\delta f_{\alpha }(\overrightarrow{\mathrm{v}})}{\delta t}{\mathrm{d}}^{\mathrm{3}}\mathrm{v}$.

В зависимости от порядка $n$ можно записать следующие случаи для уравнения (2.5):

• при $\mathrm{n}$=0 – уравнение непрерывности:

2.7. $\frac{\partial {\rho }_{\alpha }}{\partial t}\mathrm{+}\mathrm{\nabla }\mathrm{\cdot }{\overrightarrow{\mathrm{p}}}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{(}\mathrm{V}\mathrm{)}}\mathrm{=}\frac{\delta {\rho }_{\alpha }}{\delta t}$;

• при $\mathrm{n}$=1 – уравнение движения:

2.8. $\frac{\partial {\overrightarrow{p}}_{\alpha }^{(V)}}{\partial t}\mathrm{+}\mathrm{\nabla }\mathrm{\cdot }{𝜫}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{-}\frac{q_{\alpha }}{m_{\alpha }}\mathrm{(}{\overrightarrow{\mathrm{p}}}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{(}\mathrm{V}\mathrm{)}}\mathrm{\times }\overrightarrow{\mathrm{B}}\mathrm{+}{\mathrm{\rho }}_{\mathrm{\alpha }}\overrightarrow{\mathrm{E}}\mathrm{)}\mathrm{=}\frac{\delta {\overrightarrow{p}}_{\alpha }^{(V)}}{\delta t}$;

• при $\mathrm{n}$=2 – уравнение потока импульса:

2.9. $\frac{\partial {𝜫}_{\alpha }}{\partial t}\mathrm{+}\mathrm{\nabla }\mathrm{\cdot }{𝐐}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{-}\mathrm{2}\frac{q_{\alpha }}{m_{\alpha }}\mathrm{\lfloor }{𝜫}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{\times }\overrightarrow{\mathrm{B}}\mathrm{+}{\overrightarrow{\mathrm{p}}}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{(}\mathrm{V}\mathrm{)}}\overrightarrow{\mathrm{E}}\mathrm{\rfloor }\mathrm{=}\frac{\delta {𝜫}_{\alpha }}{\delta t}$;

• при $\mathrm{n}$=3 – уравнение моменте третьего порядка:

2.10. $\frac{\partial {𝐐}_{\alpha }}{\partial t}\mathrm{+}\mathrm{\nabla }\mathrm{\cdot }{𝐌}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{[}\mathrm{4}\mathrm{]}}\mathrm{-}\mathrm{3}\frac{q_{\alpha }}{m_{\alpha }}\mathrm{\lfloor }{𝐐}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{\times }\overrightarrow{\mathrm{B}}\mathrm{+}{𝜫}_{\mathrm{\alpha }}\overrightarrow{\mathrm{E}}\mathrm{\rfloor }\mathrm{=}\frac{\delta {𝐐}_{\alpha }}{\delta t}$.

Незамкнутость системы уравнений моментов функции распределения. Уравнения статических моментов

На основе анализа уравнений (2.5) – (2.10) можно заметить, что система уравнений моментов функции распределения является принципиально незамкнутой – при записи уравнения для очередного неизвестного момента $\mathrm{n}$-го порядка, во втором слагаемом левой части возникает дивергенция момента порядка $\mathrm{n}\mathrm{+}\mathrm{1}$.

В любом описании система уравнений газодинамики замыкается приближенно с использованием предположений того или иного уровня точности.

Оставляя пока открытым вопрос о незамкнутости системы уравнений моментов функции распределения, можно показать возможность ее иного представления с использованием записей статических моментов.

Сопутствующей системой координат называют инерциальную систему отсчета, в которой в данный момент в данной точке среднемассовая скорость компоненты равна нулю. Скорость частицы в сопутствующей системе  (хаотическая скорость) может быть представлена так:

2.11. $\overrightarrow{v}\mathrm{=}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{-}{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}$.

При этом в соответствии с определением среднемассовой скорости ${\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{=}\mathrm{⟨}\overrightarrow{\mathrm{v}}\mathrm{⟩}$ имеем:

2.12. $⟨\overrightarrow{v}⟩\equiv 0$.

Таким образом, первый момент  (плотность потока частиц, плотность импульса) в сопутствующей системе равен нулю по определению.

Моменты функции распределения в сопутствующей системе называются статическими моментами и  могут находиться подстановкой $\overrightarrow{v}$ вместо $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ в выражения для моментов функции распределения:

2.13. ${𝐏}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{=}{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}⟨\overrightarrow{v}\overrightarrow{v}⟩$,

2.14. ${𝐆}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{=}{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}⟨\overrightarrow{v}\overrightarrow{v}\overrightarrow{v}⟩$,

2.15. ${𝐖}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{=}{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}⟨\overrightarrow{v}\overrightarrow{v}\overrightarrow{v}\overrightarrow{v}⟩$,

где 

• ${𝐏}_{\alpha }$ – тензор давления компоненты, равный кинетическому тензору ${𝜫}_{\alpha }$ в сопутствующей системе координат;
• ${𝐆}_{\alpha }$ – третий статический момент, равный третьему моменту ${𝐐}_{\alpha }$ в сопутствующей системе координат;
• ${𝐖}_{\alpha }$ – четвертый статический момент, равный четвертому моменту ${𝐌}_{\alpha }^{[4]}$ в сопутствующей системе координат.

Тензор ${𝐆}_{\alpha }$ можно условно называть потоком давления.

Можно показать следующие связи между величинами полных и статических моментов:

2.16. ${𝜫}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{=}{\mathrm{\rho }}_{\mathrm{\alpha }}{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{+}{𝐏}_{\mathrm{\alpha }}$,

2.17. ${𝐐}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{=}{\mathrm{\rho }}_{\mathrm{\alpha }}{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathrm{\lfloor }{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}{𝐏}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{\rfloor }\mathrm{+}{𝐆}_{\mathrm{\alpha }}$,

2.18. ${𝐌}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{[}\mathrm{4}\mathrm{]}}\mathrm{=}{\mathrm{\rho }}_{\mathrm{\alpha }}{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{+}\mathrm{6}\mathrm{\lfloor }{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}{𝐏}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{\rfloor }\mathrm{+}\mathrm{4}\mathrm{\lfloor }{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}{𝐆}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{\rfloor }\mathrm{+}{𝐖}_{\mathrm{\alpha }}$.

При этом вместо уравнений потока импульса (2.9) и третьего момента (2.10) можно использовать уравнение давления:

2.19. $\frac{\partial {𝐏}_{\alpha }}{\partial t}\mathrm{+}\mathrm{\nabla }\mathrm{\cdot }\mathrm{(}{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}{𝐏}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{+}{𝐆}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{)}\mathrm{-}\mathrm{2}\frac{q_{\alpha }}{m_{\alpha }}\mathrm{\lfloor }{𝐏}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{\times }\overrightarrow{\mathrm{B}}\mathrm{\rfloor }\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\lfloor }{𝐏}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{\nabla }{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{\rfloor }\mathrm{=}\frac{\delta {𝐏}_{\alpha }}{\delta t}$

и уравнение потока давления:

2.20. $\frac{\partial {𝐆}_{\alpha }}{\partial t}\mathrm{+}\mathrm{\nabla }\mathrm{\cdot }\mathrm{(}{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}{𝐆}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{+}{𝐖}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{)}\mathrm{-}\mathrm{3}\frac{q_{\alpha }}{m_{\alpha }}\mathrm{\lfloor }{𝐆}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{\times }\overrightarrow{\mathrm{B}}\mathrm{\rfloor }\mathrm{+}\mathrm{3}\mathrm{\lfloor }{𝐆}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{\nabla }{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{-}\frac{{𝐏}_{\alpha }\mathrm{\nabla }\cdot {𝐏}_{\alpha }}{{\rho }_{\alpha }}\mathrm{\rfloor }\mathrm{=}\frac{\delta {𝐆}_{\alpha }}{\delta t}$,

где $\frac{\delta {𝐏}_{\alpha }}{\delta t}$  и $\frac{\delta {𝐆}_{\alpha }}{\delta t}$ – изменения ${𝐏}_{\alpha }$ и ${𝐆}_{\alpha }$ в единицу времени в результате столкновений, равные:

2.21. $\frac{\delta {𝐏}_{\alpha }}{\delta t}=\frac{\delta {𝜫}_{\alpha }}{\delta t}-2\lfloor {\overrightarrow{V}}_{\alpha }\frac{\delta {\overrightarrow{p}}_{\alpha }^{(V)}}{\delta t}\rfloor +{\overrightarrow{V}}_{\alpha }\frac{\delta {\rho }_{\alpha }}{\delta t}$

2.22. $\frac{\delta {𝐆}_{\alpha }}{\delta t}\mathrm{=}\frac{\delta {𝐐}_{\alpha }}{\delta t}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{\lfloor }{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}\frac{\delta {𝜫}_{\alpha }}{\delta t}\mathrm{+}\frac{{𝐏}_{\alpha }-{\overrightarrow{V}}_{\alpha }{\overrightarrow{p}}_{\alpha }^{(V)}}{{\rho }_{\alpha }}\mathrm{(}\frac{\delta {\overrightarrow{p}}_{\alpha }^{(V)}}{\delta t}\mathrm{-}{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}\frac{\delta {\rho }_{\alpha }}{\delta t}\mathrm{)}\mathrm{\rfloor }$.

Можно заметить, что половина следа тензора ${𝐆}_{\alpha }$ представляет собой кондуктивную составляющую плотности потока энергии:

2.23. $\frac{1}{2}𝜹\stackrel{(2)}{\bullet }{𝐆}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{=}{\overrightarrow{\mathrm{q}}}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{\kappa }}$.

Следует также отметить, что понятие тензора вязких напряжений является реликтом, связанным с попыткой представления единичного объема газа как материального тела, изменение импульса которого происходит в результате действия неких сил.

На самом деле все три слагаемые в (1.65) соответствуют переносу импульса вместе с частицами, а не результата обмена импульсами (действия сил). Поэтому предпочтительным является представление кинетического тензора в виде (2.16) или в виде:

2.24. ${𝜫}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{=}{\mathrm{\rho }}_{\mathrm{\alpha }}{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{+}𝜹{\mathrm{P}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{+}{𝝅}_{\mathrm{\alpha }}$,

где ${𝝅}_{\alpha }$ – тензор вязкости, равный:

2.25. ${𝝅}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{=}{𝐏}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{-}𝜹{\mathrm{P}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{=}\mathrm{-}{𝝈}^{\mathrm{I}}$.

Поток вектора в математике и физике принято считать положительным, если он направлен наружу из выделенного объема, а силу в физике - положительной, если она направлена внутрь. Этим и объясняется разница в знаках ${𝝅}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{=}\mathrm{-}{𝝈}^{\mathrm{I}}$ между тензором вязкости (как составляющей плотности потока импульса вместе с молекулами и тензором вязких напряжений как "силой", действующей на объем.

Уравнение вида (2.19) приведено, например в книге Б. Росси и С. Ольберта "Introduction to the physics of space" , но в форме уравнения для компоненты тензора давления, а не в нашем компактном виде и без каких-либо рекомендаций о способах отыскания тензора ${𝐆}_{\alpha }$.

Приближение третьего ранга

Как уже сказано, система уравнений моментов функции распределения принципиально незамкнута. Замыкание достигается приближенно в зависимости от степени анизотропии функции распределения в сопутствующей системе координат, которую считают необходимым учесть в конкретной решаемой задаче.

Уравнения (2.7), (2.8), (2.19) - (2.22) содержат тензоры от 0-го до 3-го ранга, необходимые для расчета характеристик устройства с учетом, в том числе и диссипативного переноса импульса и энергии. Проблему представляет тензор 4-го ранга ${𝐖}_{\alpha }$. При этом, моменты четных рангов не равны нулю даже при изотропном по $\overrightarrow{v}$ распределении.

Например, при максвелловском распределении имеет место равенство:

2.26. ${𝐖}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{=}\mathrm{3}\mathrm{\lfloor }𝜹𝜹\mathrm{\rfloor }\frac{P_{\alpha }{P}_{\alpha }}{{\rho }_{\alpha }}$.

В работе предложено следующее приближенное обобщение зависимости (2.26):

2.27. ${𝐖}_{\alpha }=3\frac{\lfloor {𝐏}_{\alpha }{𝐏}_{\alpha }\rfloor }{{\rho }_{\alpha }}$.

В таком представлении уравнение (2.20) приобретает вид

2.28. $\frac{\partial {𝐆}_{\alpha }}{\partial t}\mathrm{+}\mathrm{\nabla }\mathrm{\cdot }\mathrm{\left(}{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}{𝐆}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{\right)}\mathrm{-}\mathrm{3}\frac{q_{\alpha }}{m_{\alpha }}\mathrm{\lfloor }{𝐆}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{\times }\overrightarrow{\mathrm{B}}\mathrm{\rfloor }\mathrm{+}\mathrm{3}\mathrm{\lfloor }{𝐆}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{\nabla }{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{\rfloor }\mathrm{+}\mathrm{3}\mathrm{\lfloor }{𝐏}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{\cdot }\mathrm{\nabla }\mathrm{\left(}\frac{{𝐏}_{\alpha }}{{\rho }_{\alpha }}\mathrm{\right)}\mathrm{\rfloor }\mathrm{=}\frac{\delta {𝐆}_{\alpha }}{\delta t}$,

то есть не содержит уже новых неизвестных, что позволяет приближенно замкнуть систему на уровне моментов от 0-го до 3-го ранга.

Найдя след каждого слагаемого в (2.19) можно показать для скаляра давления ${\mathrm{P}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{=}\frac{1}{3}𝜹\stackrel{(2)}{\bullet }{𝐏}_{\mathrm{\alpha }}$:

2.29. $\frac{\partial P_{\alpha }}{\partial t}\mathrm{+}\mathrm{\nabla }\mathrm{\cdot }\mathrm{(}{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}{\mathrm{P}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{+}\frac{2}{3}{\overrightarrow{\mathrm{G}}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{)}\mathrm{+}\frac{2}{3}\mathrm{\lfloor }{\mathrm{P}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{\nabla }\mathrm{\cdot }{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{+}\mathrm{(}{𝝅}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{\cdot }\mathrm{\nabla }\mathrm{)}\mathrm{\cdot }{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{\rfloor }\mathrm{=}\frac{\delta P_{\alpha }}{\delta t}$.

С учетом (2.19), (2.29) для тензора вязкости можно записать:

2.30. $\frac{\partial {𝝅}_{\alpha }}{\partial t}\mathrm{+}\mathrm{\nabla }\mathrm{\cdot }\mathrm{(}{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}{𝝅}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{+}{𝐆}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{-}\frac{𝜹}{3}{\overrightarrow{\mathrm{q}}}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{\kappa }}\mathrm{)}\mathrm{-}\mathrm{2}\frac{q_{\alpha }}{m_{\alpha }}\mathrm{\lfloor }{𝝅}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{\times }\overrightarrow{\mathrm{B}}\mathrm{\rfloor }\mathrm{+}\mathrm{2}{\mathrm{P}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{(}\mathrm{\lfloor }\mathrm{\nabla }{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{\rfloor }\mathrm{-}\frac{𝜹}{3}\mathrm{\nabla }\mathrm{\cdot }{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{)}\mathrm{=}\frac{\delta {𝝅}_{\alpha }}{\delta t}$.

Найдя след каждого слагаемого в (2.28) с учетом (2.23) и подставляя ${𝐏}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{=}𝜹{\mathrm{P}}_{\mathrm{\alpha }}$ (как при максвелловском распределении) можно показать для теплопроводности:

2.31. $\frac{\partial {\overrightarrow{q}}_{\alpha }^{\kappa }}{\partial t}\mathrm{+}\mathrm{\nabla }\mathrm{\cdot }\mathrm{\left(}{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}{\overrightarrow{\mathrm{q}}}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{\kappa }}\mathrm{\right)}\mathrm{+}\frac{3}{2}{\overrightarrow{\mathrm{q}}}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{\kappa }}\mathrm{\cdot }\mathrm{\nabla }{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{-}\frac{3}{2}\frac{q_{\alpha }}{m_{\alpha }}\mathrm{\lfloor }{\overrightarrow{\mathrm{q}}}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{\kappa }}\mathrm{\times }\overrightarrow{\mathrm{B}}\mathrm{\rfloor }\mathrm{+}\frac{5}{2}\frac{P_{\alpha }k}{{\rho }_{\alpha }}\mathrm{\nabla }{\mathrm{T}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{=}\frac{\delta {\overrightarrow{q}}_{\alpha }^{\kappa }}{\delta t}$.

Для однородного газа правые части (2.30) и (2.31) могут быть представлены так:

2.32. $\frac{\delta {𝝅}_{\alpha }}{\delta t}\mathrm{=}\mathrm{-}\frac{3}{2}\frac{{𝝅}_{\alpha }}{{\tau }_{\alpha \alpha }^d}$,

2.33. $\frac{\delta {\overrightarrow{q}}_{\alpha }^{\kappa }}{\delta t}\mathrm{=}\mathrm{-}\frac{{\overrightarrow{q}}_{\alpha }^{\kappa }}{{\tau }_{\alpha \alpha }^d}$,

где ${\mathrm{\tau }}_{\mathrm{\alpha }\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{d}}$– эффективное время передачи давления.

Подстановка (2.32), (2.33) в (2.30) и (2.31) дает для однородного газа:

2.34. $\frac{\partial {𝝅}_{\alpha }}{\partial t}\mathrm{+}\mathrm{\nabla }\mathrm{\cdot }\mathrm{(}{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}{𝝅}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{+}{𝐆}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{-}\frac{𝜹}{3}{\overrightarrow{\mathrm{q}}}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{\kappa }}\mathrm{)}\mathrm{-}\mathrm{2}\frac{q_{\alpha }}{m_{\alpha }}\mathrm{\lfloor }{𝝅}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{\times }\overrightarrow{\mathrm{B}}\mathrm{\rfloor }\mathrm{+}\mathrm{2}{\mathrm{P}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{(}\mathrm{\lfloor }\mathrm{\nabla }{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{\rfloor }\mathrm{-}\frac{𝜹}{3}\mathrm{\nabla }\mathrm{\cdot }{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{-}\frac{3}{2}\frac{{𝝅}_{\alpha }}{{\tau }_{\alpha \alpha }^d}$,

2.35. $\frac{\partial {\overrightarrow{q}}_{\alpha }^{\kappa }}{\partial t}\mathrm{+}\mathrm{\nabla }\mathrm{\cdot }\mathrm{\left(}{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}{\overrightarrow{\mathrm{q}}}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{\kappa }}\mathrm{\right)}\mathrm{+}\frac{3}{2}{\overrightarrow{\mathrm{q}}}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{\kappa }}\mathrm{\cdot }\mathrm{\nabla }{\overrightarrow{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{-}\frac{3}{2}\frac{q_{\alpha }}{m_{\alpha }}\mathrm{\lfloor }{\overrightarrow{\mathrm{q}}}_{\mathrm{\alpha }}^{\mathrm{\kappa }}\mathrm{\times }\overrightarrow{\mathrm{B}}\mathrm{\rfloor }\mathrm{+}\frac{5}{2}\frac{P_{\alpha }k}{{\rho }_{\alpha }}\mathrm{\nabla }{\mathrm{T}}_{\mathrm{\alpha }}\mathrm{=}\mathrm{-}\frac{{\overrightarrow{q}}_{\alpha }^{\kappa }}{{\tau }_{\alpha \alpha }^d}$.

Граничные условия и характеристики столкновений

Можно заметить, что "классические" выражения для вязкости и теплопроводности можно получить из (2.34) и (2.35), оставляя в левых частях только последние слагаемые. Однако в разреженных газах, где роль столкновений в объеме мала, нельзя пренебрегать слагаемыми, связанными с изменением диссипативных характеристик в пространстве и во времени. В отличие от "классических" полные записи являются дифференциальными по искомым параметрам, а значит для их решения необходимы граничные условия.

Названные условия должны отражать факторы изотропии или анизотропии в процессах на границе газа (или плазмы).

Например, на границе плазмы с поверхностью или окружающей нейтральной средой существует пространственный слой заряда (ленгмюовский слой), по своей природе неоднородный и нестационарный. Отражение электронов от потенциального барьера в этом слое не является зеркальным - происходит релаксация импульса и трансформация моментов функции распределения высоких рангов.

Вопрос формулировки граничных условий с учетом названного процесса решался в работах.

Актуальным остается вопрос о записи правых частей для уравнений моментов порядка выше 1 с учетом упругих и неупругих столкновений в объеме.

См. также

• Физическая кинетика
• Статистическая физика
• Физика плазмы

Литература

• Речкалов В.Г. Векторная и тензорная алгебра для будущих физиков и техников: Учебное пособие для вузов [текст]/ В.Г. Речкалов. – Челябинск: ИИУМЦ "Образование", 2008. – 140 с.