Непрерывная функция

Шаблон:О Непрерывная функция — функция, которая меняется без мгновенных «скачков» (называемых разрывами), то есть такая, малые изменения аргумента которой приводят к малым изменениям значения функции.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения. Вариацию этого понятия для функций комплексной переменной см. в статье Комплексный анализ.

Определение

Пусть $D\subset ℝ$ и $f:D\to ℝ$. Существует несколько эквивалентных определений непрерывности функции в точке $x_0\in D$.

• Определение через предел: функция $f$ непрерывна в точке $x_0$, предельной для множества $D$, если $f$ имеет предел в точке $x_0$, и этот предел совпадает со значением функции $f(x_0)$:

  $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$

• Определение, использующее ε-δ-формализм: функция $f$ непрерывна в точке $x_0\in D$, если для любого $\epsilon >0$ существует $\delta >0$ такое, что для любого $x\in D$,

  $|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon .$

Комментарий: По сравнению с определением предела функции по Коши в определении непрерывности нет требования, обязывающего все значения аргумента $x$ удовлетворять условию $0<|x-a|$, то есть быть отличными от а.

• Определение, использующее o-символику: функция $f$ непрерывна в точке $x_0$, если

  $f(x_0+\delta )=f(x_0)+o(1)$, при $\delta \to 0$.

• Определение через колебания: функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.

Функция $f$ непрерывна на множестве $E$, если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция $f$ класса $C^0$ и пишут: $f\in C^0(E)$ или, подробнее, $f\in C^0(E,ℝ)$.

Точки разрыва

Шаблон:Перенаправление Если условие, входящее в определение непрерывности функции, в некоторой точке нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если $A$ — значение функции $f$ в точке $a$, то предел такой функции (если он существует) не совпадает с $A$. На языке окрестностей условие разрывности функции $f$ в точке $a$ получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки $A$ области значений функции $f$, что как бы мы близко не подходили к точке $a$ области определения функции $f$, всегда найдутся такие точки, чьи образы будут за пределами окрестности точки $A$.

Классификация точек разрыва в ℝ¹

Классификация разрывов функций $f:X\to Y$ зависит от того, как устроены множества X и Y. Здесь приведена классификация для простейшего случая — $f:ℝ\to ℝ$. Таким же образом классифицируют и особые точки (точки, где функция не определена). Стоит заметить, что классификация в $ℝ$ различается от автора к автору.

Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:

• если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода. К точкам разрыва первого рода относят устранимые разрывы и скачки.
• если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода. К точкам разрыва второго рода относят полюса и точки существенного разрыва.

• 
  Устранимый разрыв
• 
  Разрыв типа «скачок»
• 
  Особая точка типа «полюс». Если доопределить функцию для x=2 — получится разрыв «полюс».
• 
  Точка существенного разрыва

Устранимая точка разрыва

Если предел функции существует и конечен, но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}f(x)\ne f(a)$,

то точка $a$ называется точкой устранимого разрыва функции $f$ (при отсутствии $f(a)$ — устранимая особая точка).

Если «поправить» функцию $f$ в точке устранимого разрыва и положить $f(a):=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}f(x)$, то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности, что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.

Точка разрыва «скачок»

Разрыв «скачок» (особая точка «скачок») возникает, если

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a-0}f(x)\ne \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a+0}f(x)$, и пределы конечны.

Точка разрыва «полюс»

Разрыв «полюс» (особая точка «полюс») возникает, если один из односторонних пределов бесконечен.

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a-0}f(x)=\pm \mathrm{\infty }$ или $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a+0}f(x)=\pm \mathrm{\infty }$.Шаблон:Нет АИ

Точка существенного разрыва

В точке существенного разрыва (существенной особой точке) хотя бы один из односторонних пределов вообще отсутствует.

Классификация изолированных особых точек в ℝⁿ, n>1

Для функций $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ и $f:ℂ\to ℂ$ нет нужды работать с точками разрыва, зато часто приходится работать с особыми точками (точками, где функция не определена). Классификация изолированных особых точек (то есть таких, где в какой-то окрестности нет других особых точек) сходная.

• Если $\mathrm{\exists }\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}f(x)$, то это устранимая особая точка (аналогично функции действительного аргумента).
• Полюс определяется как $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}f(x)=\mathrm{\infty }$. В многомерных пространствах, если модуль числа растёт, считается, что $f(x)\to \mathrm{\infty }$, каким путём бы он ни рос.Шаблон:Нет АИ
• Если предел вообще не существует, это существенная особая точка.

Понятие «скачок» отсутствует. То, что в $ℝ$ считается скачком, в пространствах бо́льших размерностей — существенная особая точка.

Свойства

Локальные

• Функция, непрерывная в точке $a$, является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
• Если функция $f$ непрерывна в точке $a$ и $f(a)>0$ (или $f(a)<0$), то $f(x)>0$ (или $f(x)<0$) для всех $x$, достаточно близких к $a$.
• Если функции $f$ и $g$ непрерывны в точке $a$, то функции $f+g$ и $f\cdot g$ тоже непрерывны в точке $a$.
• Если функции $f$ и $g$ непрерывны в точке $a$ и при этом $g(a)\ne 0$, то функция $f/g$ тоже непрерывна в точке $a$.
• Если функция $f$ непрерывна в точке $a$ и функция $g$ непрерывна в точке $b=f(a)$, то их композиция $h=g\circ f$ непрерывна в точке $a$.

Глобальные

• Теорема о равномерной непрерывности: функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.
• Теорема Вейерштрасса о функции на компакте: функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
• Областью значений функции $f$, непрерывной на отрезке $[a,b]$, является отрезок $[\min f,\max f],$ где минимум и максимум берутся по отрезку $[a,b]$.
• Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и $f(a)\cdot f(b)<0,$ то существует точка $\xi \in (a,b),$ в которой $f(\xi )=0$.
• Теорема о промежуточном значении: если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и число $\phi$ удовлетворяет неравенству $f(a)<\phi <f(b)$ или неравенству $f(a)>\phi >f(b),$ то существует точка $\xi \in (a,b),$ в которой $f(\xi )=\phi$.
• Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.
• Монотонная функция на отрезке $[a,b]$ непрерывна в том и только в том случае, когда область её значений является отрезком с концами $f(a)$ и $f(b)$.
• Если функции $f$ и $g$ непрерывны на отрезке $[a,b]$, причем $f(a)<g(a)$ и $f(b)>g(b),$ то существует точка $\xi \in (a,b),$ в которой $f(\xi )=g(\xi ).$ Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.
• График непрерывной на отрезке функции является кривой.

Примеры

Элементарные функции

Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (прямые и обратные) непрерывны везде в своей области определения.

Функция с устранимым разрывом

Функция $f:ℝ\to ℝ,$ задаваемая формулой

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$

непрерывна в любой точке $x\ne 0.$ Точка $x=0$ является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0}f(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\ne f(0).$

Функция знака

Функция

$f(x)=\mathrm{sgn}x=\{\begin{array}{cc}-1,& x<0\\ 0,& x=0\\ 1,& x>0\end{array},x\in ℝ$

называется функцией знака.

Эта функция непрерывна в каждой точке $x\ne 0$.

Точка $x=0$ является точкой разрыва первого рода, причём

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0-}f(x)=-1\ne 1=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0+}f(x)$,

в то время как в самой точке функция обращается в нуль.

Функция Хевисайда

Функция Хевисайда, определяемая как

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x⩾0\\ 0,& x<0\end{array},x\in ℝ$

является всюду непрерывной, кроме точки $x=0$, где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке $x=0$ существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, данная функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения.

Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x>0\\ 0,& x⩽0\end{array},x\in ℝ$

является примером непрерывной слева функции на всей области определения.

Функция Дирихле

Шаблон:Main Функция

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x\in \mathbb{Q}\\ 0,& x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\end{array}$

называется функцией Дирихле. По сути, функция Дирихле — это характеристическая функция множества рациональных чисел. Эта функция разрывна в каждой точке, поскольку в сколь угодно малой окрестности любой точки имеются как рациональные, так и иррациональные числа.

Функция Римана

Шаблон:Main Функция

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{n},& x=\frac{m}{n}\in \mathbb{Q},\text{НОД}(m,n)=1\\ 0,& x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\end{array}$

называется функцией Римана или «функцией Тома».

Эта функция непрерывна на множестве иррациональных чисел ($ℝ\setminus \mathbb{Q}$), поскольку предел функции в каждой иррациональной точке равен нулю (если последовательность $x_k=m_k/n_k\to x\notin \mathbb{Q}$, то с необходимостью $n_k\to \mathrm{\infty }$). Во всех же рациональных точках она разрывна.

Вариации и обобщения

Равномерная непрерывность

Функция $f$ называется равномерно непрерывной на $E$, если для любого $\epsilon >0$ существует $\delta >0$ такое, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ таких, что $|x_1-x_2|<\delta$, выполняется $|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$.

Каждая равномерно непрерывная на множестве $E$ функция, очевидно, является также и непрерывной на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если область определения — компакт, то непрерывная функция оказывается также и равномерно непрерывной на данном отрезке.

Полунепрерывность

Существует два симметричных друг другу свойства — полунепрерывность снизу и полунепрерывность сверху:

• функция $f$ называется полунепрерывной снизу в точке $a$, если для любого $\epsilon >0$ существует такая окрестность $U_E(a)$, что $f(x)>f(a)-\epsilon$ для всякого $x\in U_E(a)$;
• функция $f$ называется полунепрерывной сверху в точке $a$, если для любого $\epsilon >0$ существует такая окрестность $U_E(a)$, что $f(x)<f(a)+\epsilon$ для всякого $x\in U_E(a)$.

Между непрерывностью и полунепрерывностью имеется следующая связь:

• если взять функцию $f$, непрерывную в точке $a$, и уменьшить значение $f(a)$ (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную снизу в точке $a$;
• если взять функцию $f$, непрерывную в точке $a$, и увеличить значение $f(a)$ (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную сверху в точке $a$.

В соответствии с этим можно допустить для полунепрерывных функций бесконечные значения:

• если $f(a)=-\mathrm{\infty }$, то будем считать такую функцию полунепрерывной снизу в точке $a$;
• если $f(a)=+\mathrm{\infty }$, то будем считать такую функцию полунепрерывной сверху в точке $a$.

Односторонняя непрерывность

Функция $f$ называется непрерывной слева (справа) в точке $x_0$ её области определения, если для одностороннего предела выполняется равенство: $f(x_0)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0-}f(x)$ $(f(x_0)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0+}f(x)).$

Непрерывность почти всюду

На вещественной прямой обычно рассматривается простая линейная мера Лебега. Если функция $f$ такова, что она непрерывна всюду на $E$, кроме, быть может, множества меры нуль, то такая функция называется непрерывной почти всюду.

В том случае, когда множество точек разрыва функции не более чем счётно, мы получаем класс интегрируемых по Риману функций (см. критерий интегрируемости функции по Риману).

Литература

• Шаблон:Книга