Группа кос

Произведение кос

Группа кос — группа, образованная для заданного $n$ всеми косами из $n$ нитей относительно операции произведения кос. Является центральным объектом изучения теории кос и обозначается символом $B_n$.

Группа кос наделяется рядом математических структур, происходящих из алгебры, комбинаторики, геометрии и топологии, и допускает множество различных интерпретаций.

Группа $B_n$ впервые явно описана Эмилем Артином в 1925 году (см. Шаблон:Ссылка на раздел).

Определение

Группа кос имеет несколько различных воплощений, которые приводят к изоморфным группам. Ниже представлены основные такие воплощения, рассматриваемые в литературе.

Геометрические косы

Шаблон:Основная статья Классический подход к определению группы кос основан на конструкции умножения кос. Так, произведением двух кос $\alpha$ и $\beta$ из одинакового числа нитей называется коса $\alpha \beta$, полученная путём соединения правых концов нитей первой косы с левыми концами нитей второй косыШаблон:Sfn.

Такое умножение задаёт на множестве $B_n$ всех кос из $n$ нитей ассоциативную бинарную операцию. Тривиальная коса из $n$ нитей, то есть такая, у которой все нити являются прямыми, является нейтральным элементом относительно умножения кос. Далее, все элементы из $B_n$ обратимы относительно данной операции, а именно, обратным элементом к данному является обратная коса, которая получается из исходной косы отражением относительно плоскости, перпендикулярной её нитямШаблон:Sfn. Таким образом, вместе с операцией умножения множество $B_n$ является группой, которая называется группой кос из $n$ нитейШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Данный подход к определению группы кос восходит к теории узлов.

Образующие Артина, обратные к ним и коса, заданная некоторым артиновским словом

Задание образующими и соотношениями

Шаблон:Основная статья Согласно теореме Артина, группа кос порождается образующими Артина и допускает в этих образующих следующее конечное задание:

$B_n\cong ⟨{\sigma }_1,{\sigma }_2,\dots ,{\sigma }_{n-1}\mid {\sigma }_i{\sigma }_{i+1}{\sigma }_i={\sigma }_{i+1}{\sigma }_i{\sigma }_{i+1}$ для $1\le i\le n-2;{\sigma }_i{\sigma }_j={\sigma }_j{\sigma }_i$ для $|i-j|\ge 2⟩$.

Данный изоморфизм предоставляет независимое определение группы кос, которое восходит к комбинаторной теории групп.

Траектории движения точек на плоскости

Шаблон:Основная статья Группа кос может быть задана своим Шаблон:Iw, а именно, она изоморфна фундаментальной группе конфигурационного пространства ${\mathrm{UConf}}_n({ℝ}^2)$ неупорядоченных наборов $n$ различных точек евклидовой плоскостиШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$B_n\cong {\pi }_1({\mathrm{UConf}}_n({ℝ}^2))$.

Данный изоморфизм предоставляет независимое определение группы кос, которое восходит к теории гомотопий.

Автоморфизмы свободной группы

Шаблон:Основная статья Группа кос изоморфна группе сплетающих автоморфизмов свободной группыШаблон:Sfn.

Автогомеоморфизмы проколотого диска

Группа кос изоморфна группе классов отображений замкнутого диска с $n$ проколамиШаблон:Sfn:

$B_n\cong \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}(D_n^2;\partial D_n^2)$.

Данный изоморфизм предоставляет независимое определение группы кос, которое восходит к двумерной топологии.

Свойства

Согласно теореме Артина, группы кос из малого числа нитей допускают следующие элементарные описания. Группа кос из одной нити тривиальна:

$B_1=\{1\}$.

Группа кос из двух нитей является бесконечной циклической:

$B_2\cong ⟨{\sigma }_1\mid \varnothing ⟩\cong \mathbb{Z}$.

Группа кос из трёх нитей изоморфна группе трилистника:

$B_3\cong ⟨{\sigma }_1,{\sigma }_2\mid {\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_1={\sigma }_2{\sigma }_1{\sigma }_2⟩$.

При $n\ge 3$ ранг группы кос $B_n$ равен двум. Так, она не является циклической (и даже не является абелевойШаблон:Sfn), но может быть порождена двумя элементами ${\sigma }_1$ и ${\sigma }_1{\sigma }_2\dots {\sigma }_{n-1}$Шаблон:Sfn.

Абелианизация и коммутант

При $n\ge 2$ абелианизация группы кос $B_n$ изоморфна бесконечной циклической группеШаблон:Sfn:

$B_n/[B_n,B_n]\cong \mathbb{Z}$.

Гомоморфизм абелианизации $B_n\to \mathbb{Z}$ сопоставляет косе $\beta$ её экспоненциальную сумму $\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\beta )$.

Таким образом, коммутант группы кос состоит из тех кос, у которых экспоненциальная сумма равна нулю:

$[B_n,B_n]=\{\beta \in B_n\mid \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\beta )=0\}$.

Например, группа $[B_3,B_3]$ является свободной ранга два с базисом ${\sigma }_2{\sigma }_1^{-1}$ и ${\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_1^{-2}$Шаблон:Sfn.

Центр

Полный оборот лежит в центре группы кос

Центр группы кос является циклическим. А именно, при $n\ge 3$ он порождается полным оборотомШаблон:Sfn:

$Z(B_n)=⟨{\mathrm{\Delta }}_n^2⟩$.

Кроме того,

$Z(B_2)=⟨{\mathrm{\Delta }}_1⟩=B_2$.

Данное свойство позволяет установить, что при $n\ne m$ группы $B_n$ и $B_m$ не изоморфныШаблон:Sfn.

Автоморфизмы

Задача описания автоморфизмов группы кос была поставлена Эмилем Артином в 1947 годуШаблон:Sfn и решена в 1981 году в работе Джоан Дайер и Эдны ГроссманШаблон:Sfn.

При $n\ge 2$ Шаблон:Нп5 $\mathrm{O}\mathrm{u}\mathrm{t}(B_n)$ группы кос $B_n$ является циклической и порождена классом автоморфизма-отражения ${\tau }_n$, действующего на образующих Артина формулой

${\sigma }_i\mapsto {\sigma }_i^{-1}$.

Данный автоморфизм имеет порядок два, и имеется изоморфизм

$\mathrm{O}\mathrm{u}\mathrm{t}(B_n)\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

Точная последовательность

$1\to \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}(B_n)\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(B_n)\to \mathrm{O}\mathrm{u}\mathrm{t}(B_n)\to 1$

расщепляется, и группа автоморфизмов группы кос раскладывается в полупрямое произведение:

$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(B_n)\cong \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}(B_n)⋊⟨{\tau }_n⟩$.

Группа внутренних автоморфизмов $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}(B_n)$ группы кос, будучи изоморфной её факторгруппе по центру, также изоморфна группе классов отображений сферы с $n$ проколами:

$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}(B_n)\cong B_n/Z(B_n)\cong \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}(S_n^2)$.

Например, группа внутренних автоморфизмов группы кос из трёх нитей изоморфна модулярной группе:

$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}(B_3)\cong B_3/Z(B_3)\cong \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}(S_3^2)\cong {\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z})$.

Подводя итог, группа автоморфизмов группы кос изоморфна расширенной группе классов отображений сферы с $n$ проколами:

$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(B_n)\cong {\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}}^{\pm }(S_n^2)$.

Кручение

При $n\ge 2$ группа кос не имеет кручения. Иными словами, любая коса, кроме тривиальной, имеет бесконечный порядок.

Одна из причин отсутствия кручения — наличие линейных порядков на группах косШаблон:Sfn. Например, порядка Деорнуа.

Другая причина состоит в том, что фундаментальная группа любого асферического конечномерного CW-комплекса не имеет кручения, а конфигурационное пространство ${\mathrm{UConf}}_n({ℝ}^2)$ является асферическимШаблон:Sfn многообразием.

Остаточная конечность и хопфовость

При $n\ge 2$ группа кос $B_n$ является остаточно конечнойШаблон:Sfn. В частности, она хопфова.

Извлечение корней

Извлечение корней из кос однозначно с точностью до сопряженности

Для данных косы $\beta \in B_n$ и целого числа $m$ задача определения того, существует ли коса $\alpha \in B_n$ со свойством ${\alpha }^m=\beta$, алгоритмически разрешима. Но такая коса $\alpha$ не обязательно единственна. Например, для любого $n\ge 2$ в группе кос $B_n$ фундаментальная коса ${\mathrm{\Delta }}_n^2$ допускает следующие представления:

$({\sigma }_1{\sigma }_2\dots {\sigma }_{n-1}{)}^n=({\sigma }_{n-1}{\sigma }_{n-2}\dots {\sigma }_1{)}^n$.

При $n\ge 3$ косы ${\sigma }_1{\sigma }_2\dots {\sigma }_{n-1}$ и ${\sigma }_{n-1}{\sigma }_{n-2}\dots {\sigma }_1$ различны, поскольку, например, различны их перестановки.

В сборнике открытых проблем комбинаторной теории группШаблон:Sfn Геннадий Семёнович Маканин сформулировал гипотезу о том, что любые два решения предыдущего уравнения сопряжены в группе кос. Вскоре, с помощью Шаблон:Нп5, она была доказанаШаблон:Sfn. Таким образом, извлечение корней из кос является однозначным с точностью до сопряженности.

Псевдохарактеры

При $n\ge 3$ пространство псевдохарактеров группы кос $B_n$ бесконечномерноШаблон:Sfn. Примечательный псевдохарактер на группе кос задаёт закрученность косы.

Линейность

При всех $n\ge 1$ группа кос $B_n$ является линейной, то есть допускает точное представление в полную линейную группу над некоторым полем. Например, Шаблон:Нп5 является точнымШаблон:SfnШаблон:Sfn. Представление Бурау, напротив, имеет нетривиальное ядро при всех $n\ge 5$, но является точным при $n\le 3$, а вопрос о его точности при $n=4$ остаётся открытым.

Подгруппы

Образующие Маркова группы крашеных кос

Группа крашеных кос

Шаблон:Основная статья Множество всех крашеных кос из $n$ нитей образует нормальную подгруппу группы кос $B_n$, которая обозначается символом $P_n$.

Для каждого $n\in \mathbb{N}$ группа $P_n$ является конечнопорождённой, а именно, она порождается $n(n-1)/2$ косами

$A_{i,j}:={\sigma }_{j-1}{\sigma }_{j-2}\dots {\sigma }_{i+1}{\sigma }_i^2{\sigma }_{i+1}^{-1}\dots {\sigma }_{j-2}^{-1}{\sigma }_{j-1}^{-1},$

называющимися образующими Маркова, где $i$ и $j$ таковы, что $1\le i<j\le n.$

Факторгруппы

Симметрическая группа

Сопоставление $\beta \mapsto {\pi }_{\beta }$ косе её перестановки задаёт групповой эпиморфизм

$\pi :B_n\to S_n$

из группы кос в симметрическую группу. Он переводит образующие Артина ${\sigma }_i$ в элементарные транспозиции $s_i:=(i,i+1)$.

С помощью данного эпиморфизма косы из $n$ нитей можно рассматривать как физический аналог перестановок множества $\{1,2,\dots ,n\}$. Утверждение о том, что каждая коса представляется в виде произведения образующих Артина и их обратных, обобщает тот факт, что каждую перестановку можно представить в виде композиции транспозиций $s_i$. Принципиальное отличие состоит в том, что ${\sigma }_i\ne {\sigma }_i^{-1}$, в то время как $s_i=s_i^{-1}$. Таким образом, грубо говоря, при описании косы в терминах элементарных транспозиций $(i,i+1)$ необходимо задать не только индексы $i$, но то, как именно на этом участке нити под номерами $i$ и $i+1$ меняются местами — проходит первая или под второй. Игнорирование этой информации и приводит к понятию перестановки, соответствующей косе.

Ядром эпиморфизма $\pi$ является группа крашеных кос $P_n$. Согласно теореме о гомоморфизме,

$B_n/P_n\cong S_n$.

В частности, группа крашеных кос является нормальной подгруппой группы $B_n$ индекса $n!$.

Усечённая группа кос

Шаблон:См. также Для $n,m\in \mathbb{N}$ группа $B_n(m)$, заданная стандартными образующими и соотношениями группы кос $B_n$, а также дополнительной серией соотношений вида

${\sigma }_i^m=1$ для $1\le i\le n-1,$

называется усечённой группой косШаблон:Sfn.

Например, при $m=2$ данное описание является стандартным заданием симметрической группы:

$B_n(2)\cong S_n$.

Две косы из $n$ нитей имеют совпадающие образы относительно канонической проекции

$B_n\to B_n(m)$

в том и только том случае, если одну косу можно получить из другой конечной последовательностью $m$-преобразований (см. Шаблон:Ссылка на раздел).

Как показал Гарольд Коксетер, при $n,m\ge 3$ группа $B_n(m)$ конечна тогда и только тогда, когдаШаблон:Sfn

$(n,m)\in \{(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3)\}$,

причем в этих случаях порядок группы $B_n(m)$ равен, соответственно, $24,$ $96,$ $600,$ $648$ и $155520.$

Группа гомотопических кос

Шаблон:См. также Для $n\in \mathbb{N}$ группа ${\hat{B}}_n$, заданная стандартными образующими и соотношениями группы кос $B_n$, а также дополнительной бесконечной серией соотношений вида

$[A_{j,k},g{A}_{j,k}{g}^{-1}]=1$ для $1\le j<k\le n$ и элемента $g$ подгруппы группы крашеных кос, порождённой элементами $A_{1,k},A_{2,k},\dots ,A_{k-1,k},$

где символ $[x,y]:=xy{x}^{-1}{y}^{-1}$ обозначает коммутатор элементов $x$ и $y$, а символ $A_{j,k}$ обозначает образующую Маркова группы крашеных кос, называется группой гомотопических косШаблон:Sfn.

Две косы из $n$ нитей имеют совпадающие образы относительно канонической проекции

$B_n\to {\hat{B}}_n$

в том и только том случае, если они гомотопны.

См. также

• Коса (математика)
• Теория кос
• Группа крашеных кос

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• CRAG: CRyptography and Groups at Algebraic Cryptography Center Contains extensive library for computations with Braid Groups
• P. Fabel, Completing Artin’s braid group on infinitely many strands, Journal of Knot Theory and its Ramifications, Vol. 14, No. 8 (2005) 979—991
• P. Fabel, The mapping class group of a disk with infinitely many holes, Journal of Knot Theory and its Ramifications, Vol. 15, No. 1 (2006) 21-29
• Шаблон:Из
• Java-приложение Шаблон:Wayback, моделирующее группу B₅.
• C. Nayak and F. Wilczek’s connection of projective braid group representations to the fractional quantum Hall effect [1] Шаблон:Wayback
• Presentation for FradkinFest by C. V. Nayak [2]
• N. Read’s criticism of the reality of Wilczek-Nayak representation [3] Шаблон:Wayback