Подера

Геометрическое построение красных точек подеры, контраподеры и ортотомики точки P кривой C относительно полюса O

Поде́ра (Шаблон:Lang-fr, от др.-греч. πούς, род. пад. ποδός — ногаШаблон:SfnШаблон:Sfn, то есть стопа перпендикуляра; Шаблон:Lang-en) кривой относительно точки — некоторая кривая, составленная из оснований перпендикуляров, опущенных из данной точки на касательные к данной кривойШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Устаревший термин подэ́раШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn, или подэ́рная крива́яШаблон:Sfn.

В некоторых математических текстах вместо русского термина «подера» используется калька с английского «педаль»Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Например, подера окружности относительно точки, лежащей не в центре окружности, — это улитка ПаскаляШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Подера кривой есть инверсия полярного преобразования кривой, полюсы которых совпадают с полюсом подерыШаблон:Sfn.

Впервые подера рассмотрена 30 июня 1718 года Колином Маклореном (Шаблон:Lang-en), профессором математики из Абердина, в журнале Философские труды Королевского общества (Шаблон:Lang-en) в статье на латинском языке «III. Трактат о построении и измерении кривых, где большинство бесконечных серий кривых сводятся либо к прямым линиям, либо к более простым кривым. Автор Колин Маклорен, профессор математики в Шаблон:Iw Шаблон:Iw» (Шаблон:Lang-la)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Определения

Определения подеры и антиподеры на плоскости

Поде́ра, или (первая) позитивная подераШаблон:SfnШаблон:Sfn, или подошвенная криваяШаблон:Sfn (Шаблон:Lang-en), кривой — некоторая кривая, составленная из оснований перпендикуляров, опущенных из фиксированной точки, которая называется полюсомШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn, или центромШаблон:Sfn, или точкой подерыШаблон:SfnШаблон:Sfn, на касательные к исходной кривойШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Подера кривой порядка $n$, $n⩾1$, имеет порядок $⩽2n(n-1)$Шаблон:Sfn.

Устаревший термин подэ́раШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn, или подэ́рная крива́яШаблон:Sfn.

В некоторых математических текстах вместо русского термина «подера» используется калька с английского «педаль»Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Парабола — антиподера прямой

Антиподе́ра, или (первая) негативная подераШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn (Шаблон:Lang-en), кривой относительно точки — кривая, подера которой относительно той же точки есть исходная криваяШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Другими словами, антиподера — огибающая кривая перпендикуляров, проведённых через точки исходной кривой к прямым, соединяющим точки исходной кривой с фиксированной точкой — полюсомШаблон:Sfn.

Например, парабола есть антиподера прямой, если полюс антиподеры совпадает с фокусом параболыШаблон:SfnШаблон:Sfn, как показано на рисунке справа.

Построение антиподеры исходя из уже построенной её подеры называется построением с помощью подерыШаблон:Sfn.

Например, всегда получится коническое сечение, если осуществить построение с помощью подеры из окружности или прямойШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Поде́ры степене́й вы́ше пе́рвой обеих разновидностей определяются как подеры подер предыдущей степени с одним и тем же полюсомШаблон:Sfn.

• Подеры кубики Чирнгауза и антиподеры секстики Кэли шести степеней
• 
  Парабола — 1-я подера кубики Чирнгауза — 6-я антиподера Шаблон:Iw
• 
  Прямая — 2-я подера кубики Чирнгауза, парабола — 5-я антиподера секстики Кэли
• 
  Точка — 3-я подера кубики Чирнгауза, прямая — 4-я антиподера секстики Кэли
• 
  Окружность — 4-я подера кубики Чирнгауза, точка — 3-я антиподера секстики Кэли
• 
  Кардиоида — 5-я подера кубики Чирнгауза, окружность — 2-я антиподера секстики Кэли
• 
  Секстика Кэли — 6-я подера кубики Чирнгауза, кардиоида — 1-я антиподера секстики Кэли

Определение подеры через инверсию и полярное преобразование

Имеет место схема преобразований кривых для подеры, инверсии и полярного преобразования кривой, показанная на рисунке справа, из которой вытекает следующее утверждениеШаблон:Sfn:

• подера кривой есть инверсия полярного преобразования кривой, окружности преобразования которых совпадают, а полюсы совпадают с полюсом подеры.

Другие связанные определения

Шаблон:Основная статья Поде́рное преобразова́ние — преобразование плоскости, отображающее точки каждой кривой в соответствующие точки её подеры. Это преобразование неточечное, то есть оно не сохраняет точки, прямые и окружностиШаблон:Sfn. Подерное преобразование есть касательное преобразование (преобразование Ли)Шаблон:Sfn.

Шаблон:Основная статья Поде́рная систе́ма координа́т — система координат, основанная на подерном преобразовании и состоящие из двух величин: расстояний от полюса до точки кривой и до соответствующей точки её подерыШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Поде́ра пове́рхности, или подерная поверхностьШаблон:Sfn — некоторая поверхность, составленная из оснований перпендикуляров, опущенных из постоянной точки на касательные плоскости данной поверхностиШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Подо́ида, или втори́чная ка́устика (Шаблон:Lang-en), кривой относительно данного полюса — кривая, получающаяся из подеры растяжением в два раза относительно полюсаШаблон:SfnШаблон:Sfn. Другими словами, подоида — некоторая кривая, составленная из точек, симметричных полюсу относительно касательных данной кривойШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Эволюта ортотомики есть каустикаШаблон:Sfn.

В некоторых математических текстах вместо русского термина «подоида» используется калька с английского «ортото́мика»Шаблон:Sfn.

Например, подоида конического сечения относительно его фокуса естьШаблон:Sfn:

• окружность с центром в другом фокусе эллипса или гиперболы;
• директриса параболы.

Антиподо́ида кривой относительно полюса — кривая, подоида которой относительно полюса есть исходная криваяШаблон:Sfn. Другими словами, антиподоида — огибающая кривая перпендикуляров, проведённых через середины отрезков, соединяющих точки исходной кривой с полюсомШаблон:Sfn.

Контраподе́раШаблон:SfnШаблон:Sfn, или норма́льная поде́ра, или норма́льная поде́рная кри́вая (Шаблон:Lang-en), кривой относительно полюса — подера эволюты этой кривой относительно того же полюса. Другими словами, котраподера — некоторая кривая, составленная из оснований перпендикуляров, опущенных из полюса на нормали данной кривойШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Соответственно, подера кривой относительно полюса — это контраподера эвольвенты этой кривой относительно того же полюсаШаблон:Sfn

Уравнения подеры

Параметрические уравнения подеры

Параметрические уравнения подеры на вещественной плоскости

В общем случае, для параметрически заданной кривой $𝐳(t)=(x(t),y(t))$, имеющей производную ${𝐳}^{\prime }(t)=(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))$, подера

$\mathrm{pedal}[𝐳,{𝐳}_0](t)=𝐙(t)=(X(t),Y(t))$

относительно точки ${𝐳}_0=(x_0,y_0)$ задаётся следующими уравнениямиШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$X=\frac{x_{0}x{\text{'}}^2+xy{\text{'}}^2+(y_0-y)x^{\prime }{y}^{\prime }}{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}=$

$=x-x^{\prime }\frac{(x-x_0)x^{\prime }+(y-y_0)y^{\prime }}{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2},$

$Y=\frac{y_{0}y{\text{'}}^2+yx{\text{'}}^2+(x_0-x)x^{\prime }{y}^{\prime }}{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}=$

$=y-y^{\prime }\frac{(x-x_0)x^{\prime }+(y-y_0)y^{\prime }}{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}.$

Эти основные уравненияШаблон:Sfn можно принять за определение подерыШаблон:Sfn.

Иногда основные уравнения записывают в более сложном видеШаблон:Sfn:

$X=\frac{x_{0}x{\text{'}}^2+xy{\text{'}}^2+(y_0-y)x^{\prime }{y}^{\prime }}{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}=$

$=x_0+y^{\prime }\frac{(x-x_0)y^{\prime }-(y-y_0)x^{\prime }}{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2},$

$Y=\frac{y_{0}y{\text{'}}^2+yx{\text{'}}^2+(x_0-x)x^{\prime }{y}^{\prime }}{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}=$

$=y_0-x^{\prime }\frac{(x-x_0)y^{\prime }-(y-y_0)x^{\prime }}{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}.$

В частном случае, относительно полюса ${𝐳}_0=(0,0)$ в начале координат, основные уравнения будут такимиШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$X=\frac{(x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime })y^{\prime }}{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}=x-x^{\prime }\frac{x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }}{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}=y^{\prime }\frac{x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }}{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2},$

$Y=\frac{(y{x}^{\prime }-x{y}^{\prime })x^{\prime }}{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}=y-y^{\prime }\frac{x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }}{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}=x^{\prime }\frac{x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }}{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}.$

Параметрические уравнения подеры в двумерном векторном пространстве

В векторном виде основное уравнение будет прощеШаблон:Sfn:

$\mathrm{pedal}[𝐳,{𝐳}_0](t)=𝐙(t)=𝐳(t)-{𝐳}^{\prime }(t)\frac{(𝐳(t)-{𝐳}_0){𝐳}^{\prime }(t)}{|{𝐳}^{\prime }(t){|}^2},$

или в более сложном видеШаблон:Sfn:

$\mathrm{pedal}[𝐳,{𝐳}_0](t)=𝐙(t)={𝐳}_0+𝐳{\text{'}}_{\mathrm{\perp }}(t)\frac{(𝐳(t)-{𝐳}_0)𝐳{\text{'}}_{\mathrm{\perp }}(t)}{|{𝐳}^{\prime }(t){|}^2},$

где $𝐳{\text{'}}_{\mathrm{\perp }}(t)=\pm (y^{\prime }(t),-x^{\prime }(t))$ — вектор нормали, перпендикулярный касательнойШаблон:Sfn.

Относительно полюса ${𝐳}_0=(0,i0)$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\mathrm{pedal}[𝐳,{𝐳}_0](t)=𝐙(t)=𝐳(t)-{𝐳}^{\prime }(t)\frac{𝐳(t){𝐳}^{\prime }(t)}{|{𝐳}^{\prime }(t){|}^2}.$

или в более сложном видеШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\mathrm{pedal}[𝐳,{𝐳}_0](t)=𝐙(t)=𝐳{\text{'}}_{\mathrm{\perp }}(t)\frac{𝐳(t)𝐳{\text{'}}_{\mathrm{\perp }}(t)}{|{𝐳}^{\prime }(t){|}^2}.$

Параметрические уравнения подеры на комплексной плоскости

В комплексных числах для параметрически заданной кривой $z(t)=(x(t),iy(t))$, имеющей производную $z^{\prime }(t)=(x^{\prime }(t),i{y}^{\prime }(t))$, основное уравнение подеры

$\mathrm{pedal}[z,z_0](t)=Z(t)=(X(t),iY(t))$

относительно точки $z_0=(x_0,i{y}_0)$ будут ещё прощеШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\mathrm{pedal}[z,z_0](t)=Z(t)=\frac{(z(t)-z_0)\overline{z^{\prime }(t)}-\overline{z(t)-z_0}{z}^{\prime }(t)}{2\overline{z^{\prime }(t)}}=$

$=\frac{1}{2}(z(t)-z_0-\frac{\overline{z(t)-z_0}{z}^{\prime }(t)}{\overline{z^{\prime }(t)}}).$

В частном случае, относительно полюса ${𝐳}_0=(0,i0)$, основное уравнение будет такимШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\mathrm{pedal}[z,0](t)=Z(t)=\frac{z(t)\overline{z^{\prime }(t)}-\overline{z(t)}{z}^{\prime }(t)}{2\overline{z^{\prime }(t)}}=$

$=\frac{1}{2}(z(t)-\frac{\overline{z(t)}{z}^{\prime }(t)}{\overline{z^{\prime }(t)}}).$

Параметрические уравнения подеры в вещественном пространстве

Для параметрически заданной пространственной кривой $(x(t),y(t),z(t))$, имеющей производную $(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t))$, подера $(X(t),Y(t),Z(t))$ относительно точки $(0,0,0)$ задаётся следующими уравнениямиШаблон:Sfn:

$X=x-x^{\prime }\frac{x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }+z{z}^{\prime }}{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2+z{\text{'}}^2},$

$Y=y-y^{\prime }\frac{x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }+z{z}^{\prime }}{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2+z{\text{'}}^2},$

$Z=z-z^{\prime }\frac{x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }+z{z}^{\prime }}{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2+z{\text{'}}^2}.$

Прямоугольная система координат

Для кривой с неявным уравнением $F(x,y)=0$, имеющей частные производные $F_x(x,y)$ и $F_y(x,y),$ подера $(X,Y)$ относительно точки $(a,b)$ задаётся следующими параметрическими уравнениямиШаблон:Sfn:

$X=\frac{x{F}_x^2+(y-b)F_x{F}_y+a{F}_y^2}{F_x^2+F_y^2}=a+F_x\frac{(x-a)F_x+(y-b)F_y}{F_x^2+F_y^2},$

$Y=\frac{b{F}_x^2+(x-a)F_x{F}_y+y{F}_y^2}{F_x^2+F_y^2}=b+F_y\frac{(x-a)F_x+(y-b)F_y}{F_x^2+F_y^2}.$

Для поверхности с неявным уравнением $F(x,y,z)=0$, имеющей частные производные $F_x(x,y,z)$, $F_y(x,y,z)$ и $F_z(x,y,z)$, подера $(X,Y,Z)$ относительно точки $(0,0,0)$ задаётся следующими параметрическими уравнениямиШаблон:Sfn:

$X=F_x\frac{x{F}_x+y{F}_y+z{F}_z}{F_x^2+F_y^2+F_z^2},$

$Y=F_y\frac{x{F}_x+y{F}_y+z{F}_z}{F_x^2+F_y^2+F_z^2},$

$Z=F_z\frac{x{F}_x+y{F}_y+z{F}_z}{F_x^2+F_y^2+F_z^2}.$

Подерная система координат

Самое простое уравнение подеры получается в подерной системе координат. Для кривой, имеющей подерное уравнение

$r=\pi (p),$ или $f(r,p)=0,$

относительно некоторого полюса, подерное уравнение её подеры

$R^2=P\pi (R),$ или $f(\frac{R^2}{P},R)=0,$

относительно того же полюсаШаблон:Sfn

Примеры подеры

Подера окружности

Шаблон:Основная статья Подера окружности с полюсом в центре есть та же самая окружность. Подера окружности с полюсом вне центра есть улитка Паскаля, в частности, если полюс подеры лежит на самой окружности, то подера — кардиоидаШаблон:Sfn.

• Подеры окружности
• 
  Гиперболическая улитка Паскаля — полюс подеры вне окружности
• 
  Кардиоида — полюс подеры на окружности
• 
  Эллиптическая улитка Паскаля — полюс подеры внутри окружности, но не в её центре

Найдём уравнение подеры окружности. Уравнение окружности в комплексном параметрическом виде

$z=z_0+R{e}^{it},$

где $z_0$ — постоянный комплексный центр окружности; $R$ — постоянный вещественный радиус окружности; $t$ — вещественный параметр. Получаем:

$z^{\prime }=Ri{e}^{it},$

$\overline{z}=z_0+R{e}^{-it},$

${\overline{z}}^{\prime }=-Ri{e}^{-it},$

и уравнение подеры окружности с полюсом $z_1$, то есть улитки ПаскаляШаблон:Sfn:

$Z(t)=\frac{-(z_0-z_1+R{e}^{it})iR{e}^{-it}-(\overline{z_0-z_1}+R{e}^{-it})iR{e}^{it}}{-i2R{e}^{-it}}=$

$=\frac{1}{2}(z_0-z_1+R{e}^{it}+(\overline{z_0-z_1}+R{e}^{-it})e^{i2t})=$

$=\frac{1}{2}(z_0-z_1+2R{e}^{it}+\overline{z_0-z_1}{e}^{i2t})=$

$=\frac{1}{2}(L{e}^{i\phi }+2R{e}^{it}+L{e}^{-i\phi }{e}^{i2t}).$

Уравнение улитки Паскаля упростится, если прямая $z_0{z}_1$ параллельна вещественной оси комплексной плоскости, то есть $\phi =0$ или $\phi =\pi :$

$Z(t)=\frac{1}{2}(\pm L+2R{e}^{it}\pm L{e}^{i2t}).$

Рассмотрим два частных случая подерыШаблон:Sfn:

• если $z_1$ и $z_0$ совпадают, то есть $L=0,$ подера окружности есть сама окружность с центром в начале координат — полюсе подеры:

$Z(t)=R{e}^{it};$

• если $z_1$ лежит на окружности, то есть $L=R,$ имеем уравнение кардиоиды с центром в каспе — полюсе подеры:

$Z(t)=\frac{R}{2}(e^{i\phi }+2e^{it}+e^{-i\phi }{e}^{i2t});$

• если при этом прямая $z_0{z}_1$ параллельна вещественной оси комплексной плоскости, то есть $\phi =0$ или $\phi =\pi ,$ то уравнение кардиоиды

$Z(t)=\frac{R}{2}(\pm 1+2e^{it}\pm e^{i2t})=$

$=\frac{\pm R}{2}(1\pm e^{it}{)}^2;$

• а если при этом окружность имеет радиус $R=1$ и $z_1$ слева от $z_0$, то самое простое уравнение кардиоиды

$=\frac{1}{2}(1+e^{it}{)}^2.$

Подера параболы

Косая конхоида Слюза — подера параболы

Любая парабола имеет подеру — циркулярную кривую 3-го порядка на комплексной проективной плоскостиШаблон:Sfn.

Не умаляя общности, уравнение произвольной параболы можно записать в следующем видеШаблон:Sfn:

$y^2=4px,$ или $x^2=4py,$

где $p$ — расстояние от фокуса параболы до её вершины и от вершины до директрисы.

Тогда подера произвольной параболы $y^2=4px$ относительно произвольного полюса $(a,b)$ есть дефективная гипербола с двойной точкой $(a,b)$, асимптотой $a-p$ и следующим уравнениемШаблон:Sfn:

$(x-a)(y(y-b)+x(x-a))+p(y-b{)}^2=0.$

Подера эллипса

Подера эллипса

• относительно его фокуса — окружность,
• относительно центра эллипса — лемниската Бута.

• Подеры эллипса
• 
  Окружность ${(x+\frac{16}{3})}^2+y^2={\left(\frac{32}{3}\right)}^2$ — полюс подеры в фокусе эллипса ${\left(\frac{3}{32}\right)}^2{(x+\frac{16}{3})}^2+\frac{3}{16^2}{y}^2=1$
• 
  Лемниската Бута — полюс подеры в центре эллипса. Здесь a=2 b=1, уравнение 4x²+y²=(x²+y²)²

См. также

• Подерный треугольник
• Подерная окружность

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H